常潔

[摘? ? ? ? ? ?要]? 設(shè)G是有限群，1

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? p3階群;p4階群;內(nèi)交換p群;Frobenius核

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）49-0150-02

本文主要確定p3階群，p4階群和內(nèi)交換p群中部分可以充當(dāng)Frobenius的群，關(guān)鍵是找到一個(gè)q階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu).

定理1 設(shè)G為循環(huán)2群，則G不可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：我們知道Aut（G）≌×C2.可見(jiàn)，G不存在除2階以外的自同構(gòu).所以G不可以充當(dāng)Frobenius核.

定理2 設(shè)G是有限初等交換2-群，則G可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：設(shè)G≌C2n.因?yàn)镚為初等交換2群，且初等交換p群可以看作域F（p）上的n維向量空間，所以F≌G，F(xiàn)=2n.若F可以找到一個(gè)q階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)，則G也存在q階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu).對(duì)F*中的任意一個(gè)素?cái)?shù)階元a，令o（a）=q，？滓∶xax.

顯然，？滓為F*的一個(gè)自同構(gòu)，且o（？滓）=o（a）=q.

看C（G）（？滓）是否只有單位元.x？滓=x？圳ax=x？圳（a-1）x=0？圳x=0，所以只有F*中的單位元0在C（G）（？滓）中，

從而？滓為F的q階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)，則G可以充當(dāng)Frobenius核.

定理3 設(shè)G是交換2群，若G≌××…×，其中2|d（G），則G可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：因?yàn)锳ut（G）≌GL（n，4），知Aut（G）=（22n-1）（2 2 （n-1）-1）…（22-1）（n≥2），則G一定存在3階自同構(gòu)α.

易證，aα1，aα2，…，aαn為G的生成元，且滿(mǎn)足與G相同的定義關(guān)系，從而α是G的自同構(gòu)，且o（α）=3.

下求CG（α）=1.

若ai11ai22…ainn∈CG（α），則滿(mǎn)足（ai11ai22…ainn）α=ai11ai22…ainn，其中1≤i1，…in≤4，得a=1，則由直積分解的唯一性有i2=i4=i6…=in=4，4i1+i2，…，4in-1+in，得i1=i2=i3=…=in=4，從而CG（α）=1.

所以，G存在3階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)，從而G可以充當(dāng)Frobenius核.

定理4 設(shè)有限2群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2x，則G不可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：顯然G不存在異于2的自同構(gòu)，從而G不可以充當(dāng)Frobenius核.

定理5 設(shè)有限2群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2xp，若G存在一個(gè)有不動(dòng)點(diǎn)的p階自同構(gòu)α，則G不可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：Aut（G）是可解群，Sylow2子群和Sylow p子群均為Aut（G）的Hall子群.

若G有p階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)Aut（G）是可解的，根據(jù)可階群的Hall子群共軛，則<α>，<>是共軛的，即存在β∈Aut（G）使=β-1αmβ.令c為α的不動(dòng)點(diǎn)，則=cβ，所以cβ為不動(dòng)點(diǎn)，與假設(shè)為無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)矛盾.從而G不可以充當(dāng)Frobenius核.

定理6 設(shè)G是奇階交換p群，則G可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：顯然映射α：，g∈G是G的2階自同構(gòu)映射，

又CG（α）=g∈G|[g，α]=1=1，從而G有2階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)，則G可以充當(dāng)Frobenius核.

定理7 設(shè)有限非交換p群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2xpy，則G不可以充當(dāng)Frobenius核.

證明：具有二階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)的群必為奇階交換群，而G存在異于p的自同構(gòu)只有2，則G不可以充當(dāng)Frobenius核.

定理8 設(shè)G≌Mp（n+1，1）×Cp=

證明：G=.

顯然Z（G）=>.

取Φ∈Aut（G），令aΦ=aibjck，bΦ=arbsct，cΦ=aubvcw則1≤i，r，u≤p1≤j，s，v≤p，1≤k，t，w≤p，且aΦ，bΦ，cΦ生成G并與a，b，c滿(mǎn)足同樣的定義關(guān)系，即滿(mǎn)足

o（aibj，o（aubvcw）=p，[aΦ，bΦ]=（aΦ），[cΦ，bΦ]=1

（aibjck）p

（aibjck），則（i，p）=1.

（arbsct）p=1，即arpbspctp=arp=1，從而r≡0（mod pn）.

（aubvcw）p=1，即aupbvpcwp=aup=1，從而u≡0（mod pn）.

[aΦ，bΦ]=[aibjck，arbsct]=[ai，bs][bj，ar]=[a，b]is[b，a]jr=，

又[aΦ，bΦ]=（aΦ）

又因?yàn)閜n|r，所以is≡i（mod p）.

從而s≡1（mod p）（1≤s≤p），則s=1.

[cΦ，aΦ]=[aubvcw，aibjck]=[au，bj][bv，ai]=[a，b]ju[b，a]iv=

由s=1，p|v，1≤j，s，v≤p，

1≤k，t，w≤p.w=p時(shí)，為非生成元，而cΦ為生成元，所以w≠p.

有計(jì)算知自同構(gòu)的一般形式：

以下分兩類(lèi)討論：

（I）：y≡1（mod p）

因?yàn)椋╝p）α=（bxaycz）p=ap，所以ap=CG（α）≠1.

（II）：y≡2，…，p-1（mod p）

v=p，顯然有不動(dòng)點(diǎn)c;

v≠時(shí)，要說(shuō)明有α1非單位元的不動(dòng)點(diǎn)即找一組（u，w）≠1使得aupcw≠1，（aupcw）=aupcw

（aupcw）=aupcw即auyp+wvpcw=aupcw，整理得u（y-1）≡-wv（mod p）.

任取一組（y，v），一個(gè)u≠p值對(duì)應(yīng)一個(gè)w值，故一定存在一個(gè)非單位元的不動(dòng)點(diǎn)CG（α）≠1.

找一組（u，w，

即=1整理有關(guān)系：

z1w+0（mod p）（y-1）u+wμ+）

任給一組（y，μ，v，z1，z2），則由上同余組知一定存在非單位元aupbw∈CG（α2）.

綜上所述可得Mp（n+1，1）×Cp不存在無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)，繼而不可以充當(dāng)Frobenius核.

參考文獻(xiàn)：

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[4]徐明耀，曲海鵬.有限群導(dǎo)引[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

◎編輯 王亞青