亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        可以充當Frobenius核的有限p群

        2020-08-19 00:50:15常潔
        關(guān)鍵詞:生成元自同構(gòu)子群

        常潔

        [摘? ? ? ? ? ?要]? 設(shè)G是有限群,1

        [關(guān)? ? 鍵? ?詞]? p3階群;p4階群;內(nèi)交換p群;Frobenius核

        [中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603(2020)49-0150-02

        本文主要確定p3階群,p4階群和內(nèi)交換p群中部分可以充當Frobenius的群,關(guān)鍵是找到一個q階無不動點自同構(gòu).

        定理1 設(shè)G為循環(huán)2群,則G不可以充當Frobenius核.

        證明:我們知道Aut(G)≌×C2.可見,G不存在除2階以外的自同構(gòu).所以G不可以充當Frobenius核.

        定理2 設(shè)G是有限初等交換2-群,則G可以充當Frobenius核.

        證明:設(shè)G≌C2n.因為G為初等交換2群,且初等交換p群可以看作域F(p)上的n維向量空間,所以F≌G,F(xiàn)=2n.若F可以找到一個q階無不動點自同構(gòu),則G也存在q階無不動點自同構(gòu).對F*中的任意一個素數(shù)階元a,令o(a)=q,?滓∶xax.

        顯然,?滓為F*的一個自同構(gòu),且o(?滓)=o(a)=q.

        看C(G)(?滓)是否只有單位元.x?滓=x?圳ax=x?圳(a-1)x=0?圳x=0,所以只有F*中的單位元0在C(G)(?滓)中,

        從而?滓為F的q階無不動點自同構(gòu),則G可以充當Frobenius核.

        定理3 設(shè)G是交換2群,若G≌××…×,其中2|d(G),則G可以充當Frobenius核.

        證明:因為Aut(G)≌GL(n,4),知Aut(G)=(22n-1)(2 2 (n-1)-1)…(22-1)(n≥2),則G一定存在3階自同構(gòu)α.

        易證,aα1,aα2,…,aαn為G的生成元,且滿足與G相同的定義關(guān)系,從而α是G的自同構(gòu),且o(α)=3.

        下求CG(α)=1.

        若ai11ai22…ainn∈CG(α),則滿足(ai11ai22…ainn)α=ai11ai22…ainn,其中1≤i1,…in≤4,得a=1,則由直積分解的唯一性有i2=i4=i6…=in=4,4i1+i2,…,4in-1+in,得i1=i2=i3=…=in=4,從而CG(α)=1.

        所以,G存在3階無不動點自同構(gòu),從而G可以充當Frobenius核.

        定理4 設(shè)有限2群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2x,則G不可以充當Frobenius核.

        證明:顯然G不存在異于2的自同構(gòu),從而G不可以充當Frobenius核.

        定理5 設(shè)有限2群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2xp,若G存在一個有不動點的p階自同構(gòu)α,則G不可以充當Frobenius核.

        證明:Aut(G)是可解群,Sylow2子群和Sylow p子群均為Aut(G)的Hall子群.

        若G有p階無不動點自同構(gòu)Aut(G)是可解的,根據(jù)可階群的Hall子群共軛,則<α>,<>是共軛的,即存在β∈Aut(G)使=β-1αmβ.令c為α的不動點,則=cβ,所以cβ為不動點,與假設(shè)為無不動點自同構(gòu)矛盾.從而G不可以充當Frobenius核.

        定理6 設(shè)G是奇階交換p群,則G可以充當Frobenius核.

        證明:顯然映射α:,g∈G是G的2階自同構(gòu)映射,

        又CG(α)=g∈G|[g,α]=1=1,從而G有2階無不動點自同構(gòu),則G可以充當Frobenius核.

        定理7 設(shè)有限非交換p群G的自同構(gòu)群的階數(shù)為2xpy,則G不可以充當Frobenius核.

        證明:具有二階無不動點自同構(gòu)的群必為奇階交換群,而G存在異于p的自同構(gòu)只有2,則G不可以充當Frobenius核.

        定理8 設(shè)G≌Mp(n+1,1)×Cp=

        證明:G=.

        顯然Z(G)=>.

        取Φ∈Aut(G),令aΦ=aibjck,bΦ=arbsct,cΦ=aubvcw則1≤i,r,u≤p1≤j,s,v≤p,1≤k,t,w≤p,且aΦ,bΦ,cΦ生成G并與a,b,c滿足同樣的定義關(guān)系,即滿足

        o(aibj,o(aubvcw)=p,[aΦ,bΦ]=(aΦ),[cΦ,bΦ]=1

        (aibjck)p

        (aibjck),則(i,p)=1.

        (arbsct)p=1,即arpbspctp=arp=1,從而r≡0(mod pn).

        (aubvcw)p=1,即aupbvpcwp=aup=1,從而u≡0(mod pn).

        [aΦ,bΦ]=[aibjck,arbsct]=[ai,bs][bj,ar]=[a,b]is[b,a]jr=,

        又[aΦ,bΦ]=(aΦ)

        又因為pn|r,所以is≡i(mod p).

        從而s≡1(mod p)(1≤s≤p),則s=1.

        [cΦ,aΦ]=[aubvcw,aibjck]=[au,bj][bv,ai]=[a,b]ju[b,a]iv=

        由s=1,p|v,1≤j,s,v≤p,

        1≤k,t,w≤p.w=p時,為非生成元,而cΦ為生成元,所以w≠p.

        有計算知自同構(gòu)的一般形式:

        以下分兩類討論:

        (I):y≡1(mod p)

        因為(ap)α=(bxaycz)p=ap,所以ap=CG(α)≠1.

        (II):y≡2,…,p-1(mod p)

        v=p,顯然有不動點c;

        v≠時,要說明有α1非單位元的不動點即找一組(u,w)≠1使得aupcw≠1,(aupcw)=aupcw

        (aupcw)=aupcw即auyp+wvpcw=aupcw,整理得u(y-1)≡-wv(mod p).

        任取一組(y,v),一個u≠p值對應(yīng)一個w值,故一定存在一個非單位元的不動點CG(α)≠1.

        找一組(u,w,

        即=1整理有關(guān)系:

        z1w+0(mod p)(y-1)u+wμ+)

        任給一組(y,μ,v,z1,z2),則由上同余組知一定存在非單位元aupbw∈CG(α2).

        綜上所述可得Mp(n+1,1)×Cp不存在無不動點自同構(gòu),繼而不可以充當Frobenius核.

        參考文獻:

        [1]陳貴云.Frobenius群與Frobenius 2群的結(jié)構(gòu)[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1995(5):185-187.

        [2]黃彥華,胡學(xué)瑞,魏貴民.一類特殊的p階群的自同構(gòu)群的構(gòu)造[J].西南民族大學(xué)學(xué)報,2006(3):454-457.

        [3]呂雷,郭文彬.關(guān)于Frobenius群的三個定理[J]揚州師院自然科學(xué)學(xué)報,1986(1):11-12.

        [4]徐明耀,曲海鵬.有限群導(dǎo)引[M].北京:北京大學(xué)出版社,2010.

        ◎編輯 王亞青

        猜你喜歡
        生成元自同構(gòu)子群
        兩個奇質(zhì)數(shù)乘積長度的二元二次剩余碼的冪等生成元
        超聚焦子群是16階初等交換群的塊
        一類無限?ernikov p-群的自同構(gòu)群
        子群的核平凡或正規(guī)閉包極大的有限p群
        構(gòu)造多維阿基米德Copula生成元的方法
        關(guān)于有限Abel p-群的自同構(gòu)群
        兩類構(gòu)造阿基米德Copula 生成元的方法
        剩余有限Minimax可解群的4階正則自同構(gòu)
        恰有11個極大子群的有限冪零群
        有限秩的可解群的正則自同構(gòu)
        国产精品国产午夜免费福利看| 国产一区二区三区视频网| 亚洲av成人综合网成人| 四虎成人精品国产永久免费无码 | 亚洲av无码专区在线观看下载| 少妇丰满大乳被男人揉捏视频| 国产99久久亚洲综合精品| 亚洲区小说区图片区qvod伊| 国产一起色一起爱| 国产中文字幕一区二区视频| 黄色av亚洲在线观看| 人妻洗澡被强公日日澡电影| 少妇久久久久久被弄到高潮| 亚洲熟妇无码av不卡在线播放| 久久久精品电影| 日本精品少妇一区二区| 爆操丝袜美女在线观看| 亚洲理论电影在线观看| 全免费a级毛片免费看网站| 伊人99re| 少妇激情一区二区三区久久大香香| 国产三级精品和三级男人| 夜夜躁日日躁狠狠久久av| 国产好大好硬好爽免费不卡| 在线观看午夜亚洲一区| 色老头久久综合网老妇女| 国产精品欧美成人片| 国产精品视频一区二区久久| 日韩一区二区三区久久精品| 亚洲av日韩av女同同性| 精品无码中文字幕在线| 午夜性刺激免费视频| 亚洲国产精品日韩专区av| 国产高清在线精品一区二区三区| 久久天天躁狠狠躁夜夜av浪潮| 黑色丝袜秘书夹住巨龙摩擦| 18禁男女爽爽爽午夜网站免费| 久久久亚洲精品午夜福利| 国产午夜精品综合久久久| 青青手机在线观看视频| 特级毛片a级毛片100免费播放|