李榮玲

（滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 云南·臨滄 677099）

0 引言

“概率論”是研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)課程，它通過認(rèn)識(shí)、描述、分析各種隨機(jī)現(xiàn)象及對(duì)事件發(fā)生可能性的刻畫，幫助人們做出合理的推斷和預(yù)測(cè)，再通過檢驗(yàn)、修改和完善所作的猜想，推廣到更一般結(jié)論。學(xué)好概率論，對(duì)于提升大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力具有重要而深遠(yuǎn)的意義。然而，筆者在概率論教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，常規(guī)的教學(xué)方式存在概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易記等諸多不足，導(dǎo)致學(xué)生提不出問題、也分析不了問題，更解決不了問題。凡此種種，對(duì)于我們培養(yǎng)“高素質(zhì)研究型創(chuàng)新人才”極為不利。基于此，不斷改進(jìn)概率論課程的教學(xué)方式，全面提升大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而提高“概率論”教學(xué)質(zhì)量成為亟待解決的現(xiàn)實(shí)課題。

1 合情推理思想一般概述

合情推理一詞來源于美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家George Polya所著的《數(shù)學(xué)與猜想》，George Polya指出“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?。[1]目前關(guān)于合情推理的界定有多種，但在學(xué)界被廣泛認(rèn)同的有兩種，一種是狹義的合情推理；另一種是更廣泛的合情推理。[2]合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，學(xué)生利用合情推理發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。因此，合情推理思想是人們?cè)谠械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，在一系列非智力因素的作用下，通過觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、直覺、歸納和類比等，開啟非完全演繹的思維大門，順利地借助舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)做出關(guān)于客體的合乎情理的推斷和猜測(cè)的數(shù)學(xué)觀念及思維形式。合情推理思想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要思想，是數(shù)學(xué)的基本思維方式之一，有時(shí)又稱為似真推理思想。

2 合情推理思想視域下的概率論教學(xué)策略

數(shù)學(xué)每一個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都需要猜想，“概率論”由于其獨(dú)特學(xué)科特點(diǎn)，教學(xué)過程需要合情推理方法，如果大學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)學(xué)科提升的演繹推理能力可以影響學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，通過概率論課程學(xué)習(xí)提升的合情推理意識(shí)可以影響學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力、求異精神和冒險(xiǎn)精神。[3]下面結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)労锨橥评硭枷胍曈蛳碌母怕收摻虒W(xué)幾點(diǎn)策略。

2.1 運(yùn)用合情推理思想內(nèi)化概率論基礎(chǔ)知識(shí)

概率論知識(shí)結(jié)構(gòu)是由局部到整體，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)的。學(xué)生只有完善的基礎(chǔ)知識(shí)做鋪墊，才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。沒有計(jì)數(shù)相關(guān)工具，研究第一章隨機(jī)事件及其概率不現(xiàn)實(shí)，而第一章研究的是隨機(jī)試驗(yàn)的局部，第二章研究的是隨機(jī)試驗(yàn)的整體，沒有對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的局部的研究不可能走到第二章，沒有一維隨機(jī)變量及其分布，接受多維隨機(jī)變量及其分布就是天方夜譚。學(xué)習(xí)時(shí)如果不重視知識(shí)形成的原始思維過程，就無法形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，教師在教學(xué)過程中要充分利用合情推理思想引導(dǎo)學(xué)生提出問題，內(nèi)化概率論基礎(chǔ)知識(shí)。例如在概率的公理化定義的學(xué)習(xí)中引入了公理后，教師如果能趁熱打鐵，接著引導(dǎo)學(xué)生提出猜想：最大事件的概率對(duì)應(yīng)概率最大值1，最小事件的概率值是否對(duì)應(yīng)概率最小值0呢？回答是肯定的，這就是概率的性質(zhì)1：不可能事件的概率為零，即。證明（構(gòu)造思想）

2.2 利用類比推理強(qiáng)化對(duì)概率論概念、定理、公式本質(zhì)屬性的認(rèn)知

類比推理是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一個(gè)屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。[4]世界上的事物沒有兩樣完全相同，也沒有兩樣完全不同。桑代克說過“共同要素是產(chǎn)生類比的客觀因素”。概念、定理、公式是概率論知識(shí)體系的基礎(chǔ)，是概率論基礎(chǔ)知識(shí)的核心，是合情推理能力的根基之一，在概率論概念教學(xué)中，如果一個(gè)新概念和大學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊概念有某種關(guān)聯(lián)，教師可以運(yùn)用類比的思維方法將概念橫向聯(lián)系、縱向拓展、小題大做讓學(xué)生充分感受合情推理；在概率論定理和公式教學(xué)中，教師不宜直接給出定理或公式的現(xiàn)成內(nèi)容，而是應(yīng)盡量啟發(fā)大學(xué)生，讓他們通過觀察、類比、分析等步驟，探索規(guī)律，建立猜想，發(fā)現(xiàn)命題或公式。例如，隨機(jī)事件的獨(dú)立性是這樣界定的：對(duì)任意的兩個(gè)事件，若）成立，則稱事件是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱與獨(dú)立。即相互獨(dú)立。

2.3 合理利用歸納完善概率論知識(shí)結(jié)構(gòu)

歸納推理是以個(gè)別（或特殊）的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理，它的思維過程是從特殊到一般。[5]在概率論學(xué)習(xí)過程中，很多學(xué)生覺得概念繁多易混淆，定理抽象不易懂，公式交叉不易記，合理利用歸納推理，考查某研究對(duì)象的局部，推斷和預(yù)測(cè)出一般結(jié)論，可以讓學(xué)生更好地理解與認(rèn)同概率論知識(shí)，不斷完善概率論知識(shí)結(jié)構(gòu)。

再如，若把棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理的條件隨機(jī)變量序列，…同服從兩點(diǎn)分布去掉，提出猜想：設(shè)隨機(jī)變量序列，…相互獨(dú)立同分布，若就是列維—林德伯格中心極限定理。再把列維—林德伯格中心極限定理中隨機(jī)變量序列，…同分布去掉，建立猜想，預(yù)測(cè)出一般結(jié)論，這就是李雅普諾夫中心極限定理。通過這些知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、推理、歸納，分析等思維過程，提升大學(xué)生合情推理能力的同時(shí)，不斷完善學(xué)生概率論知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)語(yǔ)

充分利用合情推理思想開展概率論課程教學(xué)時(shí)，可使學(xué)生更加系統(tǒng)把握課程基礎(chǔ)知識(shí)，更加準(zhǔn)確深入理解知識(shí)“哪里來”“怎么辦”“為什么”“是什么會(huì)引起什么”以及“不是什么會(huì)是什么”等問題，進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。應(yīng)該指出，充分利用合情推理思想開展概率論課程教學(xué)，除了面向全體學(xué)生，還要注意因材施教，使每一個(gè)學(xué)生都能體會(huì)到概率論課程的基礎(chǔ)性和合情推理對(duì)于專業(yè)發(fā)展的重要性，從而使提升合情推理能力成為學(xué)生的自覺需求。全面提高“概率論”教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，整體提升大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。