陳永志

[摘要]一元二次方程解決實(shí)際問題是中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).運(yùn)用n（n-1）/2和n（n-1）可以解決一元二次方程實(shí)際問題.

[關(guān)鍵詞]一元二次方程;實(shí)際問題;解決

[中圖分類號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020）23-0027-02

運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，既是中考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)之一，也是教學(xué)的難點(diǎn).新課標(biāo)要求，能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.新課程改革后，初中數(shù)學(xué)的教材中，每一章書的開篇一般都是以實(shí)際問題為背景來導(dǎo)人新學(xué)的知識(shí)，這樣既可以宣傳國(guó)家的相關(guān)政策，具有德育的功能，又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)過程中滲透一些生活實(shí)際問題來提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.幾年來，筆者曾參加中考閱卷工作，在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在完成運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的類型題中出現(xiàn)較多的失誤，甚至有些學(xué)生對(duì)這些題目無從下手，這幾年筆者一直擔(dān)任初三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)工作，在中考備考中也有所收獲，以下就n（n-1）/2和n（n-1）解決實(shí)際問題舉例說明.

類型一：球賽場(chǎng)數(shù)問題

[例1]某初中要進(jìn)行班際足球比賽，要求每?jī)申?duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽45場(chǎng)，共有幾隊(duì)參加比賽？

分析：根據(jù)已知條件，可以引導(dǎo)學(xué)生注意兩隊(duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，即比賽是以單循環(huán)形式進(jìn)行的，

解：設(shè)共有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，于是n（n-1）/2= 45.

解方程得n1= 10，n2= -9.

因?yàn)榍蜿?duì)的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個(gè)球隊(duì)參加比賽.

[例2]某初中要進(jìn)行班際足球比賽，要求每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽90場(chǎng)，共有幾隊(duì)參加比賽？

分析：根據(jù)已知條件，本題是將例1中的兩隊(duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽改為進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，即比賽是以雙循環(huán)形式進(jìn)行的，

解：設(shè)共有n個(gè)球隊(duì)參加比賽，于是

n（n-1）=90，

解方程得：n1= 10，n2= -9.

因?yàn)榍蜿?duì)的數(shù)量是正整數(shù)，所以n2= -9不符合題意，舍去，所以共有10個(gè)球隊(duì)參加比賽，

例1和例2其實(shí)是球賽的賽制問題，是一個(gè)熱點(diǎn)問題，學(xué)生日常生活中經(jīng)常接觸的體育運(yùn)動(dòng)，也是學(xué)生感興趣的問題，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)教材也常用有關(guān)體育問題來作為情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在平時(shí)的學(xué)習(xí)或考試中出現(xiàn)，學(xué)生容易出現(xiàn)分不清的現(xiàn)象，什么時(shí)候用單循環(huán)比賽形式，什么時(shí)候用雙循環(huán)比賽形式，教師可以多舉類似球賽場(chǎng)數(shù)的例子，

類型二：票價(jià)與車票的問題

[例3]某列動(dòng)車從城市A到城市B，中途要停5個(gè)站，且任意兩個(gè)站之間的距離不等，車費(fèi)按公里數(shù)計(jì)算，問動(dòng)車從城市A到城市B共有幾種票價(jià)？

分析：由已知條件，任意兩個(gè)城市之間的動(dòng)車票價(jià)是不同的，而且動(dòng)車在兩個(gè)城市之間的只有一種票價(jià)，

解：由已知可得，動(dòng)車從城市A到城市B的票價(jià)總數(shù)為7x（7 -1） =2

2

（種），所以動(dòng)車從城市A到城市B共有21種票價(jià).

[例4]某列動(dòng)車從城市A到城市B，中途要停5個(gè)站，問動(dòng)車從城市A到城市日共有幾種車票？

分析：由已知條件，任意兩個(gè)城市之間的動(dòng)車往返車票是不同的，因?yàn)檐嚻庇衅鹗颊?，所以兩個(gè)城市之間應(yīng)該有兩種車票，

解：由已知可得，動(dòng)車從城市A到城市B的車票總數(shù)為7x（7 - 1）= 42（種）.

所以，動(dòng)車從城市A到城市B共有42種車票，

中國(guó)已經(jīng)進(jìn)入了高鐵時(shí)代，宣傳中國(guó)的鐵路交通運(yùn)輸也常作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)問題引入的情境，通過學(xué)生熟悉的購(gòu)買車票的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由例3和例4可以看出，車票和票價(jià)屬于不同類型的問題，但又存在互相關(guān)聯(lián)，

類型三：幾何問題

[例5]如圖1，圖中共有幾條線段？共有幾條射線？

分析：本題主要是線段和射線的問題，線段沒有方向，但射線有方向， 解：線段共有5×（5-1）/2= 10（條），射線有5x（5-1）=20（條）.

[例6]在同一平面內(nèi)，任意兩條直線都不平行的100條直線最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析：由題目已知，在同一平面內(nèi)，任意兩條不平行直線必相交，

解：共有100×（100-1）/2= 4950（個(gè)）.

類型四：QQ電話與QQ信息問題

[例7]某個(gè)班級(jí)QQ群里共有n人同學(xué)，如果兩兩同學(xué)互相通電話，且任意兩個(gè)人只通一次，共通了990次電話，求n的值，

分析：本題中，由已知可得，任意兩個(gè)人只通一次電話，

解：由題意得n（n-1）/2=990，解方程得n1=45，

n2= -44.因?yàn)槿说臄?shù)量是正整數(shù)，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

[例8]某個(gè)班級(jí)QQ群里共有n人同學(xué)，如果兩兩同學(xué)互相發(fā)信息，且每個(gè)人都發(fā)給其他同學(xué)一條信息，共發(fā)了1980條信息，求n的值，

分析：由已知，任意兩個(gè)同學(xué)之間要發(fā)兩條信息，

解：由題意得n（n -1）=1980，解方程得：n1=45，n2= -44.因?yàn)槿说臄?shù)量是正整數(shù)，所以n2= -44不符合題意，舍去，所以n的值為45.

當(dāng)今社會(huì)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)高速發(fā)展的時(shí)代，學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)也是非常熟悉的，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中如何處理數(shù)據(jù)的問題也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，

運(yùn)用n（n-1）/2和n（n-1）解決實(shí)際問題除了以上列舉的問題外，還有各種聚會(huì)中所有人兩兩握手的問題、簽合同的問題、一些幾何問題等，在此就不一一列舉了.

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[s].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2012.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）