胡劍

[摘 要]? 從整體出發(fā)來(lái)思考，在單元復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)中得到很廣泛的應(yīng)用。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也可以培養(yǎng)學(xué)生用整體的眼光來(lái)看問(wèn)題，用整體的思維來(lái)解決問(wèn)題，“整體”思維是一個(gè)非常有效的解題策略。

[關(guān)鍵詞]? 小學(xué)數(shù)學(xué);整體思維;解題策略

整體思維又稱系統(tǒng)思維，它認(rèn)為整體是由各個(gè)局部按照一定的秩序組織起來(lái)的，要求以整體和全面的視角把握對(duì)象。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)用到整體思維的方式，比如在單元復(fù)習(xí)中，遵循的就是“整體—部分—整體”的學(xué)習(xí)模式，“整體”把握單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，“部分”研究各個(gè)知識(shí)節(jié)點(diǎn)，再“整體”理順單元知識(shí)脈絡(luò)，而期末復(fù)習(xí)中著眼的整體又是全冊(cè)，部分是個(gè)單元?！爸腔蹟?shù)學(xué)”創(chuàng)始人江蘇省特級(jí)教師陳士文先生指出：“世界是一個(gè)有聯(lián)系的整體，我們的教材設(shè)計(jì)要從整體出發(fā)，在知識(shí)的來(lái)龍去脈中培養(yǎng)學(xué)生整體的眼光、整體的思維，感悟智慧的生長(zhǎng)。切忌‘?dāng)仡^去尾燒中段，把對(duì)世界的整體認(rèn)識(shí)切割成一道道瑣碎的提問(wèn)，而缺少宏觀的思考?！盵1]

其實(shí)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用整體的眼光來(lái)看問(wèn)題，用整體的思維來(lái)解決問(wèn)題，也是一個(gè)非常有效的解題策略。有一道很有意思的題目：小明和小敏家相距1200米，兩人打好電話相約一起出發(fā)。小明牽著一只小狗從家出發(fā)去見(jiàn)好朋友小敏，小明每分鐘50米，小敏每分鐘70米，小狗和小敏也很熟，一出門(mén)就以每分鐘240米的速度奔跑過(guò)去，小狗遇到小敏后立即返回奔向主人，遇到小明后又奔向小敏……一直到小明和小敏相遇了才停了下來(lái)。問(wèn)小狗一共跑了多少米？一位大學(xué)畢業(yè)的實(shí)習(xí)教師看到題目說(shuō)小狗與小敏的相遇是動(dòng)態(tài)的，可以用微積分來(lái)解決，可立馬又說(shuō)可以整體來(lái)看，不去考慮中間的相遇狀態(tài)，只要先求出小明與小敏的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間就是小狗來(lái)回跑的時(shí)間。從一開(kāi)始下意識(shí)用微積分來(lái)思考，到用“整體思維”，成人的思考方式的轉(zhuǎn)變已經(jīng)說(shuō)明了策略上的繁簡(jiǎn)和優(yōu)劣。用“整體”思考的方式，也是一種解決問(wèn)題的好策略，下面是筆者在教學(xué)中應(yīng)用“整體”思維方式解決問(wèn)題的一些思考。

一、整體思考：不考慮中間狀態(tài)

【案例一】蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)P17有一道這樣的題目：

如果按照常規(guī)思路，3只小猴輪流抬西瓜，分別編序號(hào)A、B、C，先AB、再AC、再CB，示意圖如下：

但要畫(huà)出這個(gè)示意圖，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是有一定難度的，班級(jí)里只有少數(shù)學(xué)生才畫(huà)得出來(lái)。于是，筆者這樣來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程：

【片段一】

師：假設(shè)這個(gè)大西瓜就只有2只小猴在抬，到家時(shí)一只小猴一共抬了多少米？

生：走完全程一只小猴抬了300米。

師：2只小猴呢？

生：300×2=600（米）

師：也就是說(shuō)，要想把這只西瓜抬回家，兩只小猴一定一共抬600米。2只小猴所走的路程是一個(gè)整體，這個(gè)整體（總量）是不會(huì)變化的?，F(xiàn)在多了1只小猴，不是2只，而是3只了，所行的總量還是一樣的，只要把這600米平均分配一下就可以了。

生：老師我知道了，整體考慮，總量不變，再平均分。300×2÷3=200（米）

【片段二】

師：還是這只西瓜，現(xiàn)在是4只小猴來(lái)輪流抬，平均一只小猴抬多少米呢？

生：300×2÷4=150（米）

師：5只小猴來(lái)抬呢？

生：300×2÷5=120（米）

師：能看出什么規(guī)律？（什么變什么不變）

生：行的總路程不變，平均分?jǐn)偟姆輸?shù)變了。

師：以后遇到這樣的題型怎么做？

生：總路程÷總份數(shù)就可以了。

師：我們?cè)僮鲆坏李}，爸爸買(mǎi)了一輛私家車，還配有一只備用輪胎。爸爸打算帶全家去距離2000千米的西藏自駕游，考慮到對(duì)輪胎的磨損，打算用上備用輪胎。問(wèn)平均一只輪胎走了多少千米？

生：2000×4÷5=1600（千米）

波利亞關(guān)于怎樣解題的四個(gè)步驟，即①問(wèn)題的理解，②制定計(jì)劃，③計(jì)劃的實(shí)施，④結(jié)果的反饋。[2]設(shè)計(jì)這兩個(gè)教學(xué)片段，老師的意圖非常明顯，就是引領(lǐng)學(xué)生對(duì)這一類題目進(jìn)行思考，怎樣有效地來(lái)解決問(wèn)題。【片段一】是基于對(duì)問(wèn)題的理解，幫助學(xué)生從整體出發(fā)來(lái)思考問(wèn)題，建立“整體思維”：這道題的中間過(guò)程比較復(fù)雜，但整體來(lái)看，不管是哪兩只小猴來(lái)抬，所行的總路程是不變的，要先求到實(shí)際發(fā)生的路程是多少米，再去除以一共分?jǐn)偟男『飻?shù)，這是教學(xué)的第一層次，教會(huì)學(xué)生會(huì)做這道題;【片段二】是實(shí)施階段，并對(duì)整體思維的一個(gè)鞏固并延伸，這是非常必要的，授之以魚(yú)不如授之以漁，這是筆者安排教學(xué)的第二層次。僅僅會(huì)一題是不夠的，把3只小猴來(lái)抬變成4只、5只……讓學(xué)生明白，總路程是不變的，改變的只是平均分?jǐn)偟男『飻?shù)，仍然是從整體出發(fā)來(lái)思考，實(shí)際上只是除數(shù)發(fā)生變化。而后面補(bǔ)充練習(xí)是對(duì)知識(shí)的延伸，這樣的題型經(jīng)常會(huì)遇到，都可以用這種思維方式。對(duì)于這類問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生不要機(jī)械地、按部就班地去解題，從整體出發(fā)，不考慮中間狀態(tài)，是一種非常有效的方法。

二、整體思考：不要急著計(jì)算

【案例二】

師：下面是一個(gè)4×3表格，第一行和第一列的數(shù)是已知的，空格的數(shù)是它所在行的第一個(gè)數(shù)與它所在列的第一個(gè)數(shù)的乘積。求下表中所有數(shù)的和是多少？

[1 3 5 7 7 12 ]

生1：比較簡(jiǎn)單，一個(gè)個(gè)數(shù)先算結(jié)果，再把這些數(shù)都加起來(lái)。

生2：這樣要加12個(gè)數(shù)，太復(fù)雜了?？梢岳贸朔ǚ峙渎蓙?lái)算。先算已知數(shù)的和，1+3+5+7+7+12=35;再算第二行空格的數(shù)，7×（3+5+7）=105;再算第三行空格的數(shù)，12×（3+5+7）=180;最后全部加起來(lái)，35+105+180=320。

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)了，還可以再簡(jiǎn)單些。第二行可以把自己加進(jìn)去的，7×（1+3+5+7）=112;第三行也是，12×（1+3+5+7）=192。再把三行的結(jié)果全部加起來(lái)，16+112+192=320。

師：同學(xué)們的方法在一步步改進(jìn)。我們先不要著急去計(jì)算。

隨著老師的一句“先不要著急去計(jì)算”，緩下節(jié)奏，重新進(jìn)行梳理。乘法分配律是蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要運(yùn)算律，運(yùn)用運(yùn)算律對(duì)這道題進(jìn)行理論上的分析，給學(xué)生以理論的支撐。用字母a、b、c、d表示第一行的四個(gè)數(shù)，a、e、f表示第一列的三個(gè)數(shù)。

第一行求和：a+b+c+d=a×（a+b+c+d）;

第二行求和：e×a+e×b+e×c+e×d=e×（a+b+c+d）;

第三行求和：f×a+f×b+f×c+f×d=f×（a+b+c+d）

所有這些數(shù)的和：（a+e+f）×（a+b+c+d）

此時(shí)，學(xué)生會(huì)明白，根據(jù)題目要求，這些數(shù)的和其實(shí)就是第一行的數(shù)之和與第一列的數(shù)之和相乘。此題可以這樣算：（1+3+5+7）×（1+7+12）=16×20=320。

“在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中我們?nèi)匀灰髮W(xué)生在可能的范圍內(nèi)作出必要的論證，因?yàn)椋@正是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、特別是逐步形成一定的理性精神與批判能力的一個(gè)重要手段，包括逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣”。[3]所以，我們要完成這么一個(gè)推導(dǎo)過(guò)程。等一等，不急著去計(jì)算，其實(shí)就是一種整體考量，一個(gè)大整體呈現(xiàn)，來(lái)發(fā)現(xiàn)里面的細(xì)節(jié)，在這道題里，乘法分配律是總基調(diào)，如何更好地利用這個(gè)運(yùn)算律，這就要著眼于整體了。從整體去思考，有效地把“大”計(jì)算化解為“小”運(yùn)算了。我們還可以對(duì)此題進(jìn)行加固，表格可以改為：6×5、10×8……，算理上都是一樣的。

又如，在學(xué)習(xí)圓周率相關(guān)計(jì)算時(shí)，為了提高計(jì)算速度，相信很多學(xué)生背了不少數(shù)據(jù)，1π=3.14，2π=6.28，3π=9.42……有的甚至背到20π，其實(shí)大可不必，從整體來(lái)考慮，不要急著去計(jì)算，也起到很好的效果。如：把一個(gè)底面半徑為6厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊，可以鑄成多少個(gè)底面半徑4厘米、高為3厘米的圓柱體鐵塊？很多學(xué)生拿到題目悶頭就算：先算大圓柱體的體積：3.14×6×6×8=904.32立方厘米，再算小圓柱體的體積3.14×4×4×3=150.72立方厘米，最后再求大體積里有幾個(gè)小體積：904.32÷150.72=6（個(gè)），學(xué)生們做錯(cuò)了嗎？沒(méi)有，但算得很辛苦。計(jì)算量很大，任何一個(gè)計(jì)算環(huán)節(jié)都不能出現(xiàn)差錯(cuò)，否則前功盡棄。可以這樣來(lái)列式：

（π×6×6×8）÷（π×4×4×3）=[π×6×6×8π×4×4×3]=6（個(gè)）

這里，圓周率π與其他數(shù)據(jù)融合在一起，一直沒(méi)有去“動(dòng)”它，特意保留到最后，能約分的先約分。因此，在處理圓周率的相關(guān)計(jì)算時(shí)，讓學(xué)生養(yǎng)成從整體來(lái)把握，保留π到最后的習(xí)慣，大大地提高了計(jì)算的時(shí)效性。

從“整體”著手進(jìn)行思考，把握整體思維，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上面所述，尋找解決問(wèn)題的策略，遵循的是“快捷”和“有效”“引導(dǎo)學(xué)生積極地去尋找更為簡(jiǎn)單、更為迅速的算法和解題方法，更加方便、更為實(shí)用的表征方法，更具有普遍性的結(jié)果”。[4]新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生領(lǐng)悟“基本思想”，積累“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的“整體”思維，起到了很好的推動(dòng)作用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]陳士文.“智慧數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵及特質(zhì)[J].江蘇教育，2011（10）：7-8.

[2]張興華.兒童學(xué)習(xí)心理與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2011（7）：224.

[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2012（9）：146.

[4]鄭毓信.數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功[M].南京：江蘇教育出版社，2011（9）：89.

（責(zé)任編輯：李雪虹）