楊德志

（遼東學(xué)院師范學(xué)院 遼寧丹東 118000）

思考：你會求平均速度嗎？

例：甲乙兩地之間的距離為200公里，一汽車從甲地到乙地行駛了4小時(shí)，請你計(jì)算該汽車的平均速度是多少？

學(xué)生：平均速度為：200÷4=50（公里/小時(shí)）

思考：平均速度能代表瞬時(shí)速度嗎？

學(xué)生：平均速度50公里/小時(shí)不能代表某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，該汽車不一定是勻速行駛的，可能時(shí)快時(shí)慢，也可能中途停車。

思考：你會求第二個(gè)小時(shí)內(nèi)的平均速度嗎？

思考：高中時(shí)，我們學(xué)過通過已知兩點(diǎn)去求曲線的斜率。你能求出下圖這條割線的斜率嗎？

圖1 切線斜率圖

思考：你知道割線斜率與切線斜率的關(guān)系嗎？

為了讓學(xué)生感性認(rèn)識割線轉(zhuǎn)動到切線的過程，筆者借助大學(xué)數(shù)學(xué)工具箱來演示這一變化過程。

思考：在這一變化過程中，k割與k切有什么關(guān)系嗎？

思考：通過上面兩個(gè)實(shí)例你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生：一個(gè)物理上的瞬時(shí)速度問題，一個(gè)是幾何問題切線斜率問題。

思考：拋開物理和幾何的應(yīng)用背景，這兩個(gè)問題有什么共性？

學(xué)生：增量之比的極限。

思考：從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上，其都是研究變化率的極限問題。因此，我們可按照作差、作比值、求極限這三個(gè)步驟來概括這類問題！

你能用作差、作比值、求極限這三個(gè)步驟來刻畫一下這類問題嗎？

學(xué)生：這三個(gè)步驟可概括為：

（1）在x0處給自變量一個(gè)改變量：

導(dǎo)數(shù)定義在微積分課程中的重要性是不言而喻的，是它開始了微積分的篇章，是它開始使用極限為工具來研究變化率的問題。因此，它是微分學(xué)的基石，它是積分學(xué)的逆運(yùn)算，它是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。