安徽省廣德市祠山崗學(xué)校 張?jiān)?/p>

本學(xué)期，我們六年級(jí)數(shù)學(xué)組的課例研究聚焦于 “數(shù)學(xué)思考”新增的兩道例題：例3：“△、□、○、☆、◎各代表一個(gè)數(shù)。（1）已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。（2）已知：○+☆=160，◎+☆=160?！鹗欠竦扔凇?？”例4：“什么是平角？平角與直線有什么區(qū)別？（1）每相鄰兩個(gè)角可以組成一個(gè)平角，一共能組成幾個(gè)平角？（2）您能推出∠1=∠3 嗎？”

從教材編排來看，例3 是等量代換的內(nèi)容，等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，是演繹推理的基礎(chǔ)。例3 中，△ 、□的值是以等量代換為基礎(chǔ)逐步推理得出的。例4 是一道經(jīng)典的用演繹推理來進(jìn)行證明的幾何題。這兩道例題逐層推進(jìn)：從“通過演繹推理得到結(jié)果——例3（1）”到“通過演繹推理得到結(jié)論——例3（2）”，再到“用演繹推理進(jìn)行幾何證明——例4”，這一過程是演繹推理經(jīng)驗(yàn)逐步積累的過程。按教材編排特點(diǎn)，這兩道例題是可以作為一課時(shí)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)的，于是，我們以“數(shù)學(xué)思考——簡單的推理”為課題，開始了磨課活動(dòng)。

一、一磨——生搬硬套

我們以“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理過程”為主要目標(biāo)，以“初識(shí)推理（例3〈1〉）→再識(shí)推理（例3〈2〉）→拓展延伸（例4）”為教學(xué)思路開始第一次磨課。

沒想到，教學(xué)中第一環(huán)節(jié)就出現(xiàn)了問題。當(dāng)出示例3（1）后，大概3 分鐘，多數(shù)學(xué)生都能說出△ 、□的值。指名口答時(shí)，學(xué)生基本都能說出關(guān)鍵：將“△+□=24”中的△換成“□+□+□”。但當(dāng)老師要求學(xué)生一步一步說清楚自己的想法，并說出每一步的依據(jù)時(shí)，學(xué)生面面相覷，不知所措。于是，老師借助課件，一步一步帶領(lǐng)學(xué)生推理，并指導(dǎo)每一步推理的依據(jù)。之后，例3（2）與例4 的教學(xué)，學(xué)生更是畏畏縮縮，教師只得生搬硬套，勉強(qiáng)完成教學(xué)任務(wù)，而“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理過程”的主要目標(biāo)沒有達(dá)成。

為什么會(huì)這樣？這一課的難點(diǎn)在哪兒？如何才能有所突破呢？我們認(rèn)為，這一課最大的困難是學(xué)生缺乏演繹推理的經(jīng)驗(yàn)。

要想有所突破，首先，應(yīng)該要有必要的鋪墊，要讓學(xué)生明白什么是演繹推理的依據(jù)，哪些可以作為演繹推理的依據(jù)。其次，要讓學(xué)生知道演繹推理的過程，應(yīng)是從已知開始，逐步推理出結(jié)論的過程。最后是要幫助學(xué)生構(gòu)建推理的模式，借助模式進(jìn)行有邏輯的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、二磨——越俎代庖

根據(jù)大家的建議修改了教學(xué)設(shè)計(jì)后，二磨開始了。課前老師與學(xué)生以“仔細(xì)地觀察，認(rèn)真地思考，規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎觥睘橹黝}與學(xué)生進(jìn)行了交流，鼓勵(lì)學(xué)生在本節(jié)課能規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鲎约旱南敕?，并說明：嚴(yán)謹(jǐn)，就是要說清楚依據(jù)，然后以兩個(gè)小問題導(dǎo)入本課：

1.∠1+ ∠2=？你的依據(jù)是什么？

2.如果x+5=22，那么x=？依據(jù)是什么？

之后的例2 兩個(gè)小題的教學(xué)中，教師在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了“已知：_，可得：_（依據(jù)：_），所以_（依據(jù)：_）”的表述模式，并引導(dǎo)學(xué)生表述推理過程，教學(xué)比較順利。但當(dāng)老師出示例4（2）“你能推出∠1=∠3 嗎？”的問題，放手讓學(xué)生自主推理時(shí)，問題出現(xiàn)了：全班只有幾個(gè)同學(xué)舉手，而且也是支支吾吾，表述不清。

應(yīng)該說，導(dǎo)入環(huán)節(jié)有一定的鋪墊作用，可以喚起學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，知道“平角=180°”“等式的性質(zhì)”等是進(jìn)行推理的依據(jù)（課中說依據(jù)時(shí)，明顯比上一課順暢），例3 教學(xué)時(shí)的表述模式，也應(yīng)該能讓學(xué)生說清楚推理過程。為什么到例4 教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，還是這樣困難呢？如何才能有進(jìn)一步突破呢？

我們分析，例3 的教學(xué)有“越俎代庖”之嫌，教師根據(jù)學(xué)生的交流進(jìn)行整理，以課件出示的形式完善表述模式，但這只能讓學(xué)生初步感知，而無法逐步內(nèi)化。學(xué)生演繹推理的經(jīng)驗(yàn)積累過程，并不是一個(gè)范例可以解決的。我們考慮，“用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)”的學(xué)習(xí)過程，應(yīng)要讓學(xué)生經(jīng)歷“示范模式→填空模式→自主推理”的過程；推理的體驗(yàn)過程，應(yīng)該要讓學(xué)生經(jīng)歷從最簡單模式（已知→結(jié)果）到稍復(fù)雜模式（已知→過渡結(jié)論→結(jié)論）的過程。只有在這樣的過程中，學(xué)生不斷反思總結(jié)，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，才能最終“水到渠成”。

三、三磨——水到渠成

教學(xué)設(shè)計(jì)在大家的建議下修改完善，由我執(zhí)教開始了第三次磨課。

1.起點(diǎn)——學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

師出示右圖，問：∠1+∠2=？

生：180°。

師追問：為什么？

生：∠1、∠2 可以組成一個(gè)平角。

師：那為什么是180°呢？

生：因?yàn)槠浇鞘?80°。

師出示：因?yàn)?∠1 和∠2 可以組成一個(gè)平角，所以∠1+ ∠2=180°（依據(jù)：平角=180°）。

師：數(shù)學(xué)的表達(dá)重在嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，當(dāng)老師提問“∠1+ ∠2=？”時(shí)，你能像這樣把你的想法說清楚、說完整，你就是最棒的！

師再出示：已知x+5=22，可得x=？

生：已知x+5=22，可得x=17，依據(jù)是等式的性質(zhì)。

教學(xué)的切入點(diǎn)應(yīng)要直擊學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。本課“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理過程”這一目標(biāo)實(shí)現(xiàn)有較大難度的原因在于學(xué)生表達(dá)經(jīng)驗(yàn)的匱乏，那我們就尋找學(xué)生最易表達(dá)的范例，引領(lǐng)學(xué)生走入最近發(fā)展區(qū)，以此為基礎(chǔ)逐步推進(jìn)，幫助學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)。

2.示范——構(gòu)建數(shù)學(xué)表達(dá)模式

師出示：△、□、○各代表一個(gè)數(shù)。已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。

學(xué)生觀察、思考、計(jì)算。

師：△、□的值各是多少？你是怎么想的？

生：□的值是6，△的值是18?？梢园选?□=24 中的“△”換成“□+□+□”，求出□=6，那么△=24-6=18。

師：“△”能換成“□+□+□”嗎？為什么？

生：可以，因?yàn)椤?=□+□+□。

師：一個(gè)量用與它相等的量去代替，這就是“等量代換”。同學(xué)們，你們能規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匕严敕ㄕf清楚嗎？試試看。

師逐步引導(dǎo)學(xué)生說清楚推理過程，并交流每一步推理的依據(jù)，最后課件出示：已知：△+□=24，△ =□+ □+ □。

可得：□+ □+ □ +□=24（依據(jù)：等量代換），

即：4×□=24（依據(jù)：乘法意義），

所以：□=6（依據(jù)：等式性質(zhì)）。

3.填空——模式內(nèi)化的階梯

師再出示：□=6，那么△=？

生齊說：△=18。

師課件出示：已知：_，可得：_（依據(jù)：_），所以：_（依據(jù)：_）。

師：你能借助這個(gè)模式把你的想法說清楚嗎？

生1：已知□=6，△+□=24，可得……

生2：已知□=6，△=□+ □+ □，可得……

教師在教學(xué)中，對(duì)于“□=6，那么△=？”的問題往往一帶而過，但我認(rèn)為這應(yīng)是學(xué)生演繹推理經(jīng)驗(yàn)積累的一大契機(jī)。首先，同一題目中由完整模式的示范到填空模式的嘗試的過程，是學(xué)生將模式逐步內(nèi)化的必要過程，是學(xué)生演繹推理的必要過渡。其次，選擇不同的已知條件：“□=6，△+□=24” “□=6，△=□+ □+ □”推導(dǎo)出相同的結(jié)果：△=18?？梢宰寣W(xué)生初步感知演繹推理的方法多樣性，為例4 推理的方法多樣性埋下伏筆。

4.回想——推理模式建構(gòu)、方法掌握的催化劑

師出示：○、☆、◎各代表一個(gè)數(shù)。已知：○+☆=160， ◎+☆=160。那么：○ 是否等于◎？

學(xué)生觀察思考后交流。

生1：因?yàn)椤啊?160-☆，◎=160-☆”，所以“○=◎”。

生2：因?yàn)椤啊?☆=◎+☆”，所以“○=◎”。

師：回想一下我們之前的表述過程，你們能將他們的想法規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎龀鰜韱幔?/p>

生互相交流后反饋。師以“已知：_， 可得：_（依據(jù)：_），所以：_，（依據(jù)：_）”的模式板書。

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩種推理方法。

5.自主——推理方法的鞏固與拓展

出示右圖。

師：你知道哪些角的和是180°嗎？請(qǐng)規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)鼗卮稹?/p>

生：因?yàn)椤? 和 ∠2 組成一個(gè)平角，所以∠1+ ∠2=180°，依據(jù)是平角=180°……

師根據(jù)學(xué)生口答，逐步出示：∠1+ ∠2=180°，∠2+ ∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠4+ ∠1=180°。

師：以這些為已知條件，你能推出∠1=∠3 嗎？請(qǐng)將推理過程完整地寫在作業(yè)紙上。

師借助展臺(tái)展示學(xué)生推理過程。

……

演繹推理在小學(xué)階段以例題形式出現(xiàn)，可看出編者重視小學(xué)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的延續(xù)性，有意識(shí)地滲透初中內(nèi)容，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作必要的準(zhǔn)備和鋪墊。我們一線教師應(yīng)該要思考編寫意圖，把教學(xué)重心放在對(duì)演繹推理這一方法的感悟和體驗(yàn)，從而積累演繹推理的初步經(jīng)驗(yàn)。