江蘇省海門市四甲中學(xué) 夏 華
蘇教版普通高中教科書必修4 中明確指出本小節(jié)的重點:一方面,讓學(xué)生理解弧度的意義,并能正確地進行弧度與角度之間的換算,其中弧度的概念是本節(jié)課的教學(xué)難點;另一方面,弄清1 弧度的角的含義是我們建立弧度概念的關(guān)鍵所在。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)歷發(fā)現(xiàn),學(xué)生對于“為什么要引入弧度制”以及“如何定義1 弧度的角”始終覺得很突兀,感覺教材中對1 弧度角的“規(guī)定”就像是天上掉下來的一樣。下面結(jié)合筆者在一次市級比賽中對《弧度制》一課的設(shè)計與執(zhí)教,談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中運用數(shù)學(xué)史料,喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程及背景的探究,感悟概念產(chǎn)生的必要性,突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。
著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過:“新的數(shù)學(xué)方法和概念,常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要。”本節(jié)課我們就從這句話開始體會其中的內(nèi)涵。
師:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“任意角”的概念,初中時我們度量角的單位是什么?
生:度。
師:1°角有多大?它是如何定義的?
師:1°角還可以細分,1°=60′,1′=60″。
師:將1°角作為角的度量單位,去度量其他角,像這種用度作單位去度量角的單位制叫作角度制。
【設(shè)計意圖】現(xiàn)已無法考證古人為什么要將圓周分為360 等份,據(jù)說是在公元前4000 年,古希臘人發(fā)現(xiàn)隨著四季更替,天上的星座呈現(xiàn)出周期性的變化,并且近似觀察出每360 天循環(huán)一次,也就是一年。古時候人們認為天圓地方,因此天(圓)就被等分成了360 份, 1 份即為1 度。雖然后來人們發(fā)現(xiàn)了一年大約是365 天,但是因為360 度已經(jīng)使用多年,成為習(xí)慣,并且它在度量一些特殊角(平角、直角和一些正多邊形的內(nèi)角)數(shù)據(jù)都是整數(shù),非常好計算,所以就被保留了下來。
師:比如30°角是1°角的30 倍,那30°與sin 30°這兩個量能相加嗎?
生:30°是一個角度,sin 30°是一個實數(shù),它們度量單位不統(tǒng)一,所以不能相加。
【設(shè)計意圖】在最初的時候,三角學(xué)屬于天文學(xué)的一部分,隨著時代的發(fā)展,它逐漸脫離天文學(xué),成為數(shù)學(xué)的一個分支,特別是隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)用度作為角的單位度量角的大小,已不能滿足科學(xué)研究的需要。人們發(fā)現(xiàn):如果能統(tǒng)一“角”與“實數(shù)”的度量單位,就能解決更多的實際問題。但是“角度運算是60 進制的”,而“實數(shù)運算是10進制的”,它更符合我們的日常習(xí)慣,于是人們就想:“角的大小能否也用一個實數(shù)來度量,這樣實數(shù)與實數(shù)就能相加?!蹦敲础坝檬裁礃拥膶崝?shù)來度量角的大小”就成為我們迫切需要解決的問題。因此,人們就試圖定義一種新的度量角的單位制,經(jīng)過幾代人數(shù)百年的努力,最終確立了另一種度量角的單位制——“弧度制”。
問題1:如圖1,在半徑為r的圓中,隨著弧長l的改變,圓心角α?xí)l(fā)生怎樣的變化?它們之間有怎樣的關(guān)系?
生:弧長越長,角越大;或弧長越短,角越小。
師:反之,是否成立?
生:成立,即角越大,弧長也越長。
師:為什么角隨著弧長的改變而改變呢?大家在已有知識中能否找到依據(jù)?——基于代數(shù)的證明。
【設(shè)計意圖】弧度制不是瞬間確立的,而是經(jīng)過古人長期的探索與反復(fù)實踐,慢慢摸索出來的,在此過程中,人們在思考一個問題:影響角的大小變化的因素有哪些?
師:基于上面的發(fā)現(xiàn),請大家完成以下活動。
學(xué)生活動:如圖2,請各小組設(shè)計方案,比較∠AOB與∠COD的大小。
生:方案一:量角(量角器);方案二:量弧長。
【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)探究活動就是讓學(xué)生自己動手去操作,進行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析,然后歸納、概括獲得概念,并理解和解決問題的一種教學(xué)實施過程。在這個過程中,通過讓學(xué)生自己設(shè)計方案比較兩個角的大小,進一步體會弧長與角的大小變化的關(guān)系。
師:那么是否可以用弧長度量一個角的大小呢?請同學(xué)們思考下面一個問題。
問題2:如圖3,在半徑不同的圓中,長度相等的弧所對的圓心角的大小變化有何規(guī)律?
【設(shè)計意圖】雖然弧長是影響角的大小的一個因素,但不是唯一因素,半徑也是影響角的大小的因素,即在沒有其他限制條件下,弧長與角之間不是一一對應(yīng)關(guān)系。
師:我們能否用一個實數(shù)的大小來度量圓心角的大小呢?
師:我們將這種度量角的方式叫作弧度制。
師:類比角度制,首先要定義“1 個單位的角”(即:度量單位)。
師:你能用自然語言給“1 弧度的角”下個定義嗎?
(學(xué)生思考并概括歸納)
1 弧度的角:長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1 弧度(radian)的角,記作1 rad(如圖4 所示)。這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制叫弧度制(radian measure)。
師:根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向不同,角有正角、負角、零角之分,相應(yīng)地,我們也規(guī)定:正角的弧度數(shù)是正數(shù),負角的弧度數(shù)是負數(shù),零角的弧度數(shù)為0。
概念深化:
若圓的半徑為r,則長度為πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。(生:π)
若圓的半徑為r,則長度為2πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。(生:2π)
生:因為l與r都是長度,所以它們的比值是一個沒有單位的實數(shù)。
師:非常棒,也就是說弧度制其實就是用一個沒有單位的實數(shù)來度量角的大小。我們給它取了個單位“rad”,只是提醒我們這個數(shù)在此表示角。因此,在用弧度表示角的大小時,在不引起誤解的情況下,弧度單位“rad”可以省略不寫。比如:1 rad,2 rad,π rad,可分別簡寫成1,2,π。
師:現(xiàn)在有了兩種度量角的單位制,它們有關(guān)系嗎?與角度制相比,1 rad 大約有多大?
教師引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀,初步感受到1 rad 大約比60°略小一點(如圖5);進一步,2 rad 大約比120°略小一點,是一個鈍角;3 rad 大約比180°略小一點,還是一個鈍角。
師:那么1 rad 到底有多大?弧度制與角度制“如何精確換算”呢?由前面的分析可知,平角的弧度數(shù)為π(如圖6),從而有:
例1:填寫下列各角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表。
度54° 300°2.5弧度
師:根據(jù)以上研究我們發(fā)現(xiàn),在弧度制下,每一個角都能用一個實數(shù)來度量,反之,每一個實數(shù)也都能度量一個角。
這樣,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集R 之間就建立起一一對應(yīng)的關(guān)系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(這個角的弧度數(shù))與之對應(yīng);反之,每一個實數(shù)也有唯一的一個角(弧度數(shù)等于該實數(shù)的角)與之對應(yīng)(如圖7)。
例2:如圖8,設(shè)長度為r的線段OA繞端點O旋轉(zhuǎn)形成角α(α為任意角,單位為弧度),若將此旋轉(zhuǎn)過程中點A所經(jīng)過的路徑看成是圓心角α所對的弧,設(shè)弧長為l。
(1)求弧長l的值(用α與r表示);
(2)若|α|≤2π,求扇形OAB的面積。
注:弧度制與角度制下的弧長公式與扇形面積公式比較。
弧度制 角度制弧長公式 l=|α|r|α|r2=lr S==lr 扇形面積公式 S=
師:可以發(fā)現(xiàn),無論從結(jié)構(gòu)還是數(shù)值上,弧度制下的公式都大為簡化。在今后的學(xué)習(xí)中,我們還將進一步看到弧度制帶來的便利。
師:回到本節(jié)課開始提出的問題,同學(xué)們,30°與sin 30°能相加嗎?
教科書首先通過類比及章頭圖引出弧度制,給出1 弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式,并得出弧度與角度的換算方法。在此基礎(chǔ)上,通過具體例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進一步認識引入弧度制的必要性。這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學(xué)生在探究和解決問題的過程中更好地形成弧度概念,建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng)關(guān)系,為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)?;《戎频囊?,一方面統(tǒng)一了角與實數(shù)的度量單位,讓一些運算成為可能,提高了解決問題的效率;另一方面,在弧度制下,很多數(shù)學(xué)公式能大為簡化(如弧長公式、扇形的面積公式)??傊?,弧度制的引入為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)以及未來大學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
本節(jié)課從高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機、需要、興趣出發(fā),立足課堂實踐,運用數(shù)學(xué)史實施有效的“喚醒”,即從“屏蔽”模式化、經(jīng)驗式的教學(xué)開始,建立基于學(xué)情、優(yōu)化生態(tài)、尊重差異的新型課堂結(jié)構(gòu)與價值訴求。
【備注:本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018 年度課題《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“喚醒”藝術(shù)的美學(xué)建構(gòu)研究》(編號D/2018/02/26)的階段性成果之一】