王海玲

（廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門 363105）

0 引 言

目前，全球科技技術(shù)進入空前密集活躍期，新一輪科技深刻影響著社會發(fā)展。以大數(shù)據(jù)、人工智能、互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等為主的“新工科”建設(shè)更是提上了高等教育的日程。2015 年8 月，國務(wù)院發(fā)布了《關(guān)于印發(fā)促進大數(shù)據(jù)發(fā)展行動綱要的通知》，鼓勵高校設(shè)立大數(shù)據(jù)相關(guān)專業(yè)。2017 年，政府工作報告提出“加快大數(shù)據(jù)、云計算、物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用”，支持高校開設(shè)大數(shù)據(jù)相關(guān)課程，并鼓勵開展校企合作，加強應(yīng)用人才培養(yǎng)，積極培育大數(shù)據(jù)應(yīng)用型人才。2017 年7 月，國務(wù)院發(fā)布《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》，要求完善人工智能學(xué)科布局，推動大數(shù)據(jù)、人工智能、互聯(lián)網(wǎng)與實體經(jīng)濟深度融合。眾多高校也積極響應(yīng)號召，紛紛申請并開設(shè)相關(guān)專業(yè)課程。2019 年3 月21 日，在2018 年度普通高等學(xué)校本科專業(yè)備案和審批結(jié)果的公布通知中，數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)為新增備案本科專業(yè)最多的專業(yè)，人工智能是新增審批本科專業(yè)最多的專業(yè)，服裝與服飾設(shè)計、教育技術(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)是撤銷最多的專業(yè)。在福建省39 所本科院校中，目前只剩10 所尚有信息與計算科學(xué)專業(yè)，其他高校陸續(xù)向數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)方向調(diào)整，大數(shù)據(jù)幾乎成了高校的標配專業(yè)。

目前與大數(shù)據(jù)相關(guān)的專業(yè)主要有數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、信息與計算科學(xué)、計算機科學(xué)與技術(shù)、軟件工程等。其中，離散數(shù)學(xué)作為這些學(xué)科的重要基礎(chǔ)課程，國內(nèi)外大學(xué)都將它作為一門核心課程重點建設(shè)。由于其內(nèi)容具有抽象性高、邏輯性強、理論性深等特點，很容易被當(dāng)作一門純理論課程，甚至純數(shù)學(xué)課程。因此，為順應(yīng)大數(shù)據(jù)時代下培養(yǎng)應(yīng)用型人才的要求，需要在課程目標定位、課程內(nèi)容組織和課程教學(xué)模式等方面做進一步的改革，以發(fā)揮離散數(shù)學(xué)在創(chuàng)新性、綜合化教育中的重要作用。

1 融合發(fā)展，重塑目標定位

通常人們都將培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力作為離散數(shù)學(xué)的主要教學(xué)目標[1-3]。近年來隨著“計算思維”概念的提出和不斷深入討論，人們逐漸將培養(yǎng)學(xué)生的計算思維能力納入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標[4-5]，不少學(xué)者也提出了將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力作為離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標之一[6-8]。但空泛地將模型構(gòu)建能力培養(yǎng)作為課程教學(xué)目標還不夠，需要根據(jù)不同學(xué)科特點，對課程目標細化，并盡可能量化，挖掘離散數(shù)學(xué)與專業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域切入的實際案例，由點入面、循序漸進，定量化地將素質(zhì)目標、能力目標和知識應(yīng)用目標納入考核體系，以期讓學(xué)生獲得良好的科學(xué)思維素質(zhì)、必備的邏輯推理和抽象思維能力、系統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)建模及多學(xué)科滲透等交叉融合、學(xué)以致用的教學(xué)目標。

2 與時俱進，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

自20 世紀70 年代以來，離散數(shù)學(xué)一直是計算機科學(xué)相關(guān)學(xué)科的核心基礎(chǔ)課程，主要研究具有離散的變量、結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系，一般包括數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論等，涉及內(nèi)容非常廣。但近些年，把離散數(shù)學(xué)作為專業(yè)核心課程爭執(zhí)不休，其學(xué)分和課時數(shù)一直被削減，有些學(xué)校甚至將其改為選修課。出現(xiàn)這種現(xiàn)象，必須從課程內(nèi)部找答案，與時俱進，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，注重知識滲透。

2.1 數(shù)理邏輯是離散數(shù)學(xué)的“源”

數(shù)理邏輯作為離散數(shù)學(xué)的重要“源頭”，一般教材第一部分都是從數(shù)理邏輯開始的，主要包括命題邏輯和一階邏輯兩部分。但在教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常往往一開始對這個“源頭”產(chǎn)生畏懼心理，感覺晦澀難懂，具體表現(xiàn)如下。

問題一：在命題邏輯的推理過程中。例如，如果我離散數(shù)學(xué)考試通過了，則我很開心；如果我開心，則陽光燦爛；現(xiàn)在晚上12 點，天很暖；則問：離散數(shù)學(xué)考試通過了嗎？學(xué)生根據(jù)題意推測，直接會得出“考試通過了”的結(jié)論。但如果采用命題推理的方法，結(jié)論是“考試沒有通過”，學(xué)生會不明白為什么跟題意推測的不一致？

問題二：在一階邏輯的推理過程中。例如，研究所里每位教師都是博士且是教授；有些教師是青年人，因而有的教師是青年教授。學(xué)生根據(jù)題意很容易就可以得出結(jié)論，但在嚴格推導(dǎo)過程中，如果存在量詞和全稱量詞消去規(guī)則前后順序出錯的話，會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果，則學(xué)生會問：既然答案很明顯，為什么還要用那么繁瑣的構(gòu)造性證明？

面對此場景，既要鼓勵學(xué)生別具一格的解題思路，又讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)邏輯對實際問題符號化、推理過程、構(gòu)造性證明方法的掌握是非常必須的。只有對概念熟練掌握，才可以達到將問題轉(zhuǎn)化為自動獲取處理的能力。由此，可結(jié)合人工智能中最典型的專家系統(tǒng)進行內(nèi)容延拓，見圖1，讓學(xué)生感受到實實在在的應(yīng)用，從而克服畏難情緒。

圖1 知識庫與專家系統(tǒng)

2.2 集合論是離散數(shù)學(xué)的“根”

集合論是整個數(shù)學(xué)的“根基”，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念都可用集合論的語言描述。集合論不僅在離散數(shù)學(xué)中起著基石的作用，而且在人工智能與大數(shù)據(jù)專業(yè)中也有著非常重要的作用。如二元關(guān)系是所有可能的數(shù)據(jù)關(guān)系，包括結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)和半結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，也是數(shù)據(jù)挖掘分類任務(wù)的基本數(shù)學(xué)模型，可以判斷網(wǎng)頁排名重要度，借助于關(guān)系矩陣、關(guān)系圖等有助于大數(shù)據(jù)分析與人工智能決策描述。4 個網(wǎng)頁的簡單鏈接關(guān)系見圖2，則可分別得4 個網(wǎng)頁的鏈接關(guān)系矩陣為：

圖2 網(wǎng)頁鏈接情況

假設(shè)4 個網(wǎng)頁的初始排名都是1/4，把所有網(wǎng)頁間的鏈接情況用矩陣表示為L=（A B,C,D），則可求出網(wǎng)頁的排名等于所有指向該網(wǎng)頁的其他網(wǎng)頁權(quán)重之和，因而可求出各個網(wǎng)頁排名重要度結(jié)果。

2.3 代數(shù)系統(tǒng)是開啟區(qū)塊鏈的密匙

學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)最頭疼的就是這一章，面對鋪天蓋地的抽象概念群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)，好多學(xué)生會反映完全一頭霧水，不知道到底在講什么，更不知道如何去用。面對此場景，引入時下最火熱的區(qū)塊鏈相關(guān)內(nèi)容進行延申。如甲有一個秘密s,乙有一個秘密t，現(xiàn)在甲、乙需要在一個公共的信道上交流，產(chǎn)生一個共同的秘密，同時不會泄露自己的秘密，問如何做到？可順利引入群的相關(guān)概念。該問題相當(dāng)于找到一個有限群G 及一個生成元g，該元素可經(jīng)過自身的冪運算得到群中所有元素，甲通過公共信道給乙發(fā)送消息gs，乙通過公共信道給甲發(fā)送消息gt，甲得到乙的消息后算gts，乙得到甲的消息后算gst，gts=gst 時即為公共密鑰。區(qū)塊鏈正是使用同態(tài)加密技術(shù)進行智能合約密文處理的。如此，學(xué)生不再認為代數(shù)系統(tǒng)是枯燥的、乏味的、晦澀難懂與無用的。

2.4 圖論是解決現(xiàn)實問題最好的利器

圖論模型是現(xiàn)實應(yīng)用中最廣泛的模型之一，它通過點線之間的關(guān)系，把復(fù)雜的問題直觀化處理。在講授中，要運用生活中實際問題引導(dǎo)學(xué)生理解眼花繚亂的現(xiàn)象并用專業(yè)知識求解問題，如用圖刻畫社交網(wǎng)絡(luò)；用最短路問題解決路徑規(guī)劃及最優(yōu)選址問題；用著色解決旅行商問題及排課問題；用匹配可以解決工作效率問題；用二部圖解決協(xié)同過濾問題，如圖3 基于物品的協(xié)同過濾，如何把與物品A 相似的物品C 推薦給用戶b 等。

圖3 基于物品的協(xié)同過濾

3 轉(zhuǎn)變觀念，更新教學(xué)方法與組織形式

離散數(shù)學(xué)課程由于內(nèi)容多、學(xué)時有限，課堂上教師從頭到尾一直講解，很少開展探究式、交互式等鼓勵學(xué)生主動學(xué)習(xí)的教學(xué)模式。為避免這種“滿堂灌”的教學(xué)，需要大膽拋棄以往注重課程知識系統(tǒng)性和完整性的教學(xué)觀念，利用已有的線上課程資源，精心設(shè)計每堂課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)任務(wù)，以精選例題、習(xí)題為中心實施探究式、交互式教學(xué)。

3.1 問題驅(qū)動引入，變抽象思維為形象思維

教師傳統(tǒng)的授課方式一般是從“純數(shù)學(xué)”的角度出發(fā)講解，片面強調(diào)了數(shù)學(xué)演繹推理而忽略了實際應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生對該課程感覺枯燥，不能理解相關(guān)知識點在計算機科學(xué)中的實用性，從而產(chǎn)生厭學(xué)情緒。

例如，講最短路時，傳統(tǒng)的教法是最短路定義—標號法講解—例題講解—課堂練習(xí)。如果改為如下設(shè)計，假設(shè)“雙十一”期間，物流公司要給M 城市的100 個客戶配送貨物，公司只有5 輛貨車，已知客戶的地理坐標，問：如何配送效率最高？帶著問題分析講授：可以延伸到k-means 算法概念，以每類的客戶地址相近為原則，分配給同一輛貨車，將客戶的地址數(shù)據(jù)聚成5 類，進而用Python 語言實現(xiàn)聚類過程，則學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動參與性將會大大提高。

3.2 趣味教學(xué)，陶冶學(xué)生情操

興趣是學(xué)習(xí)的原動力，如果能用趣味性的知識激發(fā)學(xué)生的好奇心，學(xué)生則會不斷地學(xué)習(xí)。因此，在講圖論中的匹配時，引入歷史典故“喬太守亂點鴛鴦譜”；在講一筆畫時，引入江蘇衛(wèi)視最強大腦中的“立體一筆畫”視頻，讓學(xué)生感受概念的直觀性；講“四色定理”時，先觀看江蘇衛(wèi)視最強大腦國際戰(zhàn)隊PK 視頻，見圖4，然后再講解內(nèi)容，這無疑在學(xué)生的頭腦中注入了一支興奮劑，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣立刻被點燃起來。

圖4 最強大腦著色題目

3.3 互動式教學(xué)，活躍課堂氣氛

新時代下的課堂應(yīng)是一個思想火花碰撞的地方，因此不能停留在傳統(tǒng)的“教師一只粉筆、一個黑板，學(xué)生一雙眼、一雙手、一支筆、一個本”就行了，必須讓學(xué)生參與課堂。為此，要打破教師“獨霸”課堂模式，開展探究式教學(xué)。

例如，講邏輯部分時引入生死門問題，讓學(xué)生討論到底哪個是生門哪個是死門？講二部圖時，首先引導(dǎo)學(xué)生對二部圖的認識，它是由兩個不同的頂點集，且邊的端點屬于不同的頂點集所構(gòu)成的圖，除了婚姻、學(xué)生排課表、排考試等可以用二部圖直觀表示，生活中還有哪些可以用二部圖來理解？由此可以拓展到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)圖、協(xié)同過濾推薦算法、網(wǎng)頁排名度等等問題。

講遍歷算法概念時，先通過網(wǎng)絡(luò)爬蟲問題介紹[9]。從某個網(wǎng)頁出發(fā)，利用圖的遍歷算法自動訪問并保存網(wǎng)頁，從而自然而然地過渡到圖論遍歷算法中的深度遍歷算法（DFS）和廣度遍歷算法（BFS）。

3.4 理論聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生雙創(chuàng)激情

俗話說：“師傅領(lǐng)進門，修行在個人”，但很多學(xué)生學(xué)完課本知識后，完全不懂得學(xué)以致用。為此，教學(xué)中，除了傳統(tǒng)的課堂講授知識點之外，還要引入雙創(chuàng)教育、翻轉(zhuǎn)課堂等方式，由點到面、由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)知識解決企業(yè)問題。

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)計制作了大學(xué)生程序設(shè)計OJ 平臺，開展離散數(shù)學(xué)實驗課程教學(xué)，將課外和課內(nèi)理論教學(xué)相結(jié)合，把部分實踐和應(yīng)用環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)移到課外[10]。以學(xué)校微柏機器人實驗室為載體，發(fā)布一些與行業(yè)有關(guān)的課題，將課程中的理論知識與企業(yè)應(yīng)用相結(jié)合。通過產(chǎn)學(xué)研項目，引導(dǎo)學(xué)生開發(fā)調(diào)度仿真系統(tǒng)，實現(xiàn)上位機與末端機械手的配合及AGV 小車的多機調(diào)度問題和路徑規(guī)劃問題。目前學(xué)生已實現(xiàn)了路徑規(guī)劃仿真系統(tǒng)、多機調(diào)度仿真系統(tǒng)、碼垛裝箱算法仿真系統(tǒng)，并申請了相關(guān)專利，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性及學(xué)習(xí)的熱情充分調(diào)動起來。

4 結(jié) 語

為改變離散數(shù)學(xué)概念多難以理解和章節(jié)獨立性強、跳躍性強的問題，在實際教學(xué)過程中，一是要及時梳理知識點之間的前后聯(lián)系，幫助學(xué)生形成良好的知識網(wǎng)絡(luò)和認知結(jié)構(gòu)；二是對課程內(nèi)容中的重要知識點與后續(xù)課程內(nèi)容交叉融合，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生解決實際問題，使學(xué)生明確離散數(shù)學(xué)在后續(xù)專業(yè)的地位，增強學(xué)習(xí)的興趣和動力。

近4 年信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的離散數(shù)學(xué)成績?nèi)绫?。

表1 近4 年信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的離散數(shù)學(xué)成績

由上表可見，學(xué)生的不及格率大幅下降，優(yōu)秀率逐年大幅提高；46 分以下處于及格與不及格邊緣的人數(shù)整體呈現(xiàn)下降趨勢，80 分以上的高分學(xué)生上升趨勢明顯；尤其是成績優(yōu)秀的學(xué)生，最高分逐年增加。通過“學(xué)以致用、交叉融合”為目標的教學(xué)改革，學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的激情被充分調(diào)動起來，學(xué)生成績有了明顯提高，改革效果良好。