白宗化

“幾何直觀”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位和意義?！皫缀巍奔磶缀螆D形?！爸庇^”就是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)系，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系的直接的感知與認(rèn)識，通過直觀能建立起學(xué)生對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系。在實(shí)際教學(xué)中，幾何直觀可以把復(fù)雜的問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。本期，我們來討論如何提高學(xué)生的幾何直觀能力。

幾何直觀是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它既是一種意識，也是一種能力和思維方式。教師可以借助幾何圖形，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，豐富直觀體驗(yàn)。

一、借助幾何之形，表達(dá)代數(shù)之意

借助于幾何直觀，不僅可以讓抽象的代數(shù)問題變得直觀，而且可以讓抽象的代數(shù)算法、算理得到生動(dòng)的詮釋和展現(xiàn)。

在教學(xué)《絕對值》時(shí)，筆者首先創(chuàng)設(shè)情境并提問：如下圖，兩只小狗和一頭大象在同一直線上，兩只小狗距離原點(diǎn)有多遠(yuǎn)？大象距離原點(diǎn)有多遠(yuǎn)？

生1：小狗距離原點(diǎn)都是3個(gè)單位，大象距離原點(diǎn)4個(gè)單位。

師：兩只小狗和大象在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別是多少？

生2：兩只小狗表示的有理數(shù)分別是-3和+3，大象表示的有理數(shù)是+4。

師：一般數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對值，記作|a|。比如，這里|-3|=3，|+3|=3。你能說出|4|是多少嗎？

生（齊）：是4。

師：0的絕對值是多少？為什么？

生3：是0，因?yàn)?到0的距離是0。

師：說得真好！通過“絕對值”的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是正數(shù)或0，因?yàn)榻^對值表示的是這個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離，而距離是不可能為負(fù)數(shù)的。

筆者借助數(shù)軸，創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，讓學(xué)生感知“距離是正數(shù)”，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察它們所表示的有理數(shù)中有正數(shù)也有負(fù)數(shù)。這種“由數(shù)到形、由形想數(shù)”的過程，使學(xué)生建立了數(shù)形之間的聯(lián)系。

二、借助幾何圖形，證明公式定理

利用幾何圖形，可以證明數(shù)學(xué)中的很多公式、定理和法則。這樣數(shù)形類比，能加深學(xué)生對公式、定理的理解。

筆者在教學(xué)《勾股定理》時(shí)，就嘗試讓學(xué)生用“趙爽弦圖”來驗(yàn)證勾股定理的正確性。

師：下圖中，大正方形的面積可以怎樣表示？

生1：c2。

師：再仔細(xì)觀察一下，還可以怎樣表示？

生2：還可以用4個(gè)直角三角形的面積加1個(gè)小正方形的面積。

師：它們相等嗎？為什么？

生3：相等，因?yàn)樗鼈兌急硎敬笳叫蔚拿娣e。

師：列出這個(gè)等式，看看你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生在草稿紙上列出等式，展開、化簡后發(fā)現(xiàn)“a2+b2=c2”，感覺非常神奇。接著，筆者介紹了另外幾種圖形，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用面積來證明勾股定理。利用圖形來證明公式定理，有助于學(xué)生打通數(shù)形的“任督二脈”，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形之間的有效轉(zhuǎn)換。

三、實(shí)施動(dòng)手操作，培養(yǎng)空間想象

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以有計(jì)劃、有目的地組織學(xué)生利用相關(guān)工具（如白紙、剪刀、測量工具、實(shí)物、計(jì)算機(jī)等）進(jìn)行折、剪、拼、測、畫等操作活動(dòng)，然后通過觀察、分析、猜想、歸納等思維活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)知識的感性認(rèn)識，達(dá)到直觀體驗(yàn)的目的。

例如，在學(xué)習(xí)《立體圖形與平面圖形》時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下操作活動(dòng)。

（1）如下左圖，把準(zhǔn)備好的墨水瓶包裝盒裁剪并展開，并在小組中進(jìn)行交流。

（2）如下右圖，觀察展開圖，看看它的展開圖由哪些平面圖形組成，再把展開的紙板復(fù)原為包裝盒，體會(huì)立體圖形與平面圖形的關(guān)系。

這樣教學(xué)，學(xué)生在裁剪、展開和還原的操作活動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)長方體（或正方體）的平面展開圖具有多樣性。小組討論、總結(jié)發(fā)現(xiàn)一共有11種情況：1-4-1型的有6種（圖1），1-3-2型的有3種（圖2），3-3型和2-2-2型各1種（圖3，圖4）。

學(xué)生在操作活動(dòng)的過程中，體會(huì)到了平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，提升了幾何直觀和空間想象能力，為后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

四、培養(yǎng)畫圖習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀應(yīng)從畫圖習(xí)慣入手，鼓勵(lì)學(xué)生用圖形進(jìn)行表達(dá)，使學(xué)生真正體會(huì)到畫圖對理解概念、尋求解題思路帶來的便利。

例如，教學(xué)《二次根式的加減》時(shí)，在不給出圖形的基礎(chǔ)上，教師出示了如下問題：現(xiàn)有一塊長為7.5dm，寬為5dm的長方形木板，能否在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？

師：你能畫出這個(gè)長方形的草圖嗎？（學(xué)生在草稿紙上畫圖）請同學(xué)們看看老師畫的草圖，如下圖，兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形的邊長分別是多少？

生1：[8]和[18]。

師：它們能截出來嗎？兩個(gè)正方形的位置如何擺？

生2：應(yīng)該橫著擺，豎著擺不出來。

師：為什么擺不出來呢？說出你的理由。

生3：通過估算，兩個(gè)數(shù)加起來大于5，超過了長方形的邊長。

師：對！我們可以估算出來！那么它們的和到底等于多少呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“二次根式的加減”。

本節(jié)課教師通過問題導(dǎo)入，沒有給出圖形。學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，并結(jié)合圖形進(jìn)行分析，對無理數(shù)[8]和[18]進(jìn)行化簡、合并，培養(yǎng)了學(xué)生根據(jù)圖形進(jìn)行觀察、推理的能力。

初中數(shù)學(xué)中很多題目是沒有幾何圖形的，這就需要學(xué)生進(jìn)行畫圖分析、推理解決問題，有時(shí)候還要進(jìn)行分類討論。教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生畫圖分析的能力，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解與掌握。

（作者單位：荊州市東方紅中學(xué)）