張斌生，周建星，章翔峰，陳銳博

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

齒輪傳動(dòng)作為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，正向著運(yùn)轉(zhuǎn)速度高、承載能力強(qiáng)、重量輕、精密化、大型化方向發(fā)展[1]。齒輪嚙合剛度的周期性變化作為齒輪激振力是輪齒嚙合過(guò)程中產(chǎn)生振動(dòng)沖擊的主要原因[2]。研究齒輪嚙合剛度的變化，是研究齒輪傳動(dòng)不可或缺的組成部分。

許多學(xué)者針對(duì)齒輪嚙合剛度的相關(guān)計(jì)算做了大量研究。文獻(xiàn)[3]應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法研究了面齒輪傳動(dòng)的時(shí)變嚙合剛度，獲得了面齒輪剛度變化基本規(guī)律，但并未對(duì)齒輪嚙合剛度的變化原因做具體闡述。文獻(xiàn)[4]提出一種整體意義上齒輪動(dòng)力方程的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，提高了計(jì)算齒輪嚙合剛度的精度，為齒輪嚙合剛度的計(jì)算提供了一種借鑒方法。文獻(xiàn)[5]采用模態(tài)法研究了圓柱齒輪的單齒嚙合剛度，對(duì)于單齒的研究有重要意義。文獻(xiàn)[6]研究了齒輪裂紋參數(shù)與剛度之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[7]通過(guò)建立分度圓裂紋齒輪模型，研究了不同的裂紋位置對(duì)輪齒嚙合剛度的影響，應(yīng)用能量法與有限元法對(duì)比得到了直線型假設(shè)對(duì)齒根裂紋的嚙合剛度計(jì)算誤差的影響。文獻(xiàn)[8]通過(guò)采用能量法與有限元法對(duì)比研究故障齒輪嚙合剛度，為嚙合剛度的計(jì)算提供了一種更精確的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[8]對(duì)齒輪裂紋故障的嚙合剛度進(jìn)行了研究，指出嚙合剛度的變化對(duì)整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)特性有重要影響。前面的研究主要針對(duì)裂紋的深度和裂紋角度單一的做了闡述，沒(méi)有對(duì)比研究裂紋深度、角度變化引起的剛度變化。

以含齒根裂紋的齒輪副作為研究對(duì)象，對(duì)比研究了齒輪在裂紋深度和角度改變對(duì)齒輪嚙合剛度的影響。

2 齒輪嚙合剛度計(jì)算方法

計(jì)算齒輪嚙合剛度的方法主要分兩類：第一類為齒輪剛度理論計(jì)算方法[9]；第二類為齒輪剛度數(shù)值計(jì)算方法。為有效考慮齒根裂紋對(duì)嚙合剛度的影響，采用數(shù)值法計(jì)算輪齒嚙合剛度[10]。

2.1 齒輪嚙合過(guò)程

輪齒單雙齒交替嚙合實(shí)現(xiàn)齒輪動(dòng)力傳輸，如圖1 所示。主動(dòng)輪以逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)完成嚙合[11]。嚙合過(guò)程中，雙齒嚙合（M1N1段，M2N2段）與單齒嚙合（N1N2段）交替進(jìn)行，齒輪單雙齒交替時(shí)瞬時(shí)嚙合位置改變導(dǎo)致嚙合剛度突變，引發(fā)輪齒振動(dòng)、沖擊，由于剛度的時(shí)變性及彈性變形作用，致使負(fù)載在輪齒間并非平均分配[12]51。

圖1 齒輪副嚙合原理圖Fig.1 Gear Meshing Principle Diagram

2.2 齒輪剛度計(jì)算分析流程

輪齒承受外載荷作用時(shí)，輪齒會(huì)產(chǎn)生變形。由此，齒輪的嚙合剛度可定義為：

式中：Fn—作用于齒輪的法向嚙合力；δn—齒輪的綜合變形量。

圖2 嚙合剛度計(jì)算流程圖Fig.2 The Meshing Stiffness Calculation Flow Chart

根據(jù)漸開線直齒輪模型進(jìn)行剛度相關(guān)計(jì)算，其計(jì)算總流程，如圖2 所示。首先UG 建立漸開線齒輪副模型，導(dǎo)入ANSYS 定義邊界條件，進(jìn)行靜態(tài)齒輪嚙合分析；其次調(diào)取嚙合齒面形變量以及輪齒接觸面等效應(yīng)力。最后，通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法求解嚙合剛度，繪制嚙合剛度曲線。由于輪齒接觸齒面間存在間隙，輪齒發(fā)生變形后才能使齒面接觸，這對(duì)定義接觸面具有一定要求[13]。此時(shí)需多次求解，獲取輪齒形變量Δε，若輪齒間的初間隙ε＜Δε 時(shí)，齒輪接觸區(qū)域需重新定義，ε＞Δε，繼續(xù)計(jì)算齒輪剛度。將獲取的輪齒變形量依據(jù)剛度定義進(jìn)行相關(guān)計(jì)算得到嚙合剛度，在ORIGIN 中完成曲線的繪制，討論剛度變化及原因。

3 構(gòu)建分析模型

構(gòu)建一對(duì)外嚙合直齒圓柱齒輪，參數(shù)，如表1 所示。

表1 齒輪模型參數(shù)Tab.1 Gear Model Parameters

將漸開線齒輪副嚙合模型導(dǎo)入ANSYS 中，選擇的齒輪材料為合金鋼，E=2.0×1011Pa，υ=0.3，ρ=7850kg/m3。有限元分析模型，如圖3 所示。主動(dòng)輪施加節(jié)點(diǎn)力形成扭矩。網(wǎng)格劃分過(guò)程中，本論文選擇采用六面體網(wǎng)格，該網(wǎng)格計(jì)算量少，計(jì)算精度高同時(shí)使用掃掠方式劃分。對(duì)于嚙合齒采用密化網(wǎng)格，提高精度。針對(duì)齒輪內(nèi)圈以及非接觸區(qū)域采用稀疏劃分方式，縮短求解時(shí)間，減少計(jì)算量。對(duì)輪齒內(nèi)圈采用均勻劃分，便于載荷均勻分配在內(nèi)圈每個(gè)節(jié)點(diǎn)上。

圖3 單齒嚙合狀態(tài)齒輪副有限元分析模型Fig.3 Finite Element Analysis Model of Single Tooth Meshing State Gear Pair

齒輪副在外載荷作用下，輪齒嚙合時(shí)產(chǎn)生一定的形變，主動(dòng)輪產(chǎn)生微小轉(zhuǎn)角。設(shè)θ 為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的微小轉(zhuǎn)角

式中：δ-輪齒變形量均值；r1—主動(dòng)輪內(nèi)齒圈半徑。

通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的微小角度與基圓半徑乘積可以將主動(dòng)輪內(nèi)圈的微小變形轉(zhuǎn)化為接觸輪齒變形。定義嚙合變形量為δs。則：

式中：rb—主動(dòng)輪基圓半徑。

通過(guò)施加在主動(dòng)輪內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)的單位力與主動(dòng)輪內(nèi)圈半徑的乘積與基圓半徑之比，可將施加在主動(dòng)輪內(nèi)圈的節(jié)點(diǎn)力轉(zhuǎn)化為輪齒嚙合面上的嚙合力。設(shè)Fn為嚙合力，n為內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)數(shù)，則：

通過(guò)法向嚙合力與輪齒嚙合變形量之比可知?jiǎng)偠扔?jì)算公式。設(shè)Kn為剛度，則：

其最終公式為：

齒輪嚙合過(guò)程存在單齒嚙合和雙齒嚙合兩種交替嚙合狀態(tài)，將一個(gè)嚙合周期劃分為10 個(gè)嚙合位置，選取雙齒嚙合下的7 個(gè)位置，以及單齒嚙合下的3個(gè)位置研究故障齒輪嚙合剛度變化。

4 求解結(jié)果與分析

由于齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程受到交變載荷作用，齒根承受應(yīng)力變大、以及加工刀痕等原因，容易導(dǎo)致應(yīng)力集中產(chǎn)生齒根裂紋導(dǎo)致剛度發(fā)生變化。

4.1 齒輪模型

計(jì)算了齒根裂紋深度和裂紋角度變化的輪齒嚙合剛度，模型，如圖4 所示。齒輪裂紋沿徑向方向（-x）延伸，其深分別為qo=0.5mm、1.0mm、1.5mm、2.0mm，裂紋角度分別為γ=5°、10°、15°、20°、25°。齒輪裂紋模型，如圖4（a）所示。切片，如圖4（b）所示。

圖4 齒根裂紋模型Fig.4 Tooth Root Crack Model

4.2 裂紋深度

不同裂紋深度的嚙合剛度曲線，如圖5 所示。

圖5 不同裂紋深度的嚙合剛度Fig.5 Meshing Stiffness of Different Crack Depth

齒輪嚙合剛度曲線，如圖5 所示。正常齒雙齒嚙合剛度約為1.50×108N/mm，單齒嚙合剛度約為1.10×108N/mm，雙齒嚙合剛度相比單齒嚙合剛度大。單雙齒交替嚙合過(guò)程中嚙合剛度會(huì)發(fā)生突變，引起剛度激勵(lì)，引發(fā)齒輪副振動(dòng)，不利于傳動(dòng)的高效、平穩(wěn)運(yùn)行。齒輪產(chǎn)生裂紋后，嚙合剛度減小，原因在于齒根變軟，承載能力減弱，形變量增大。隨著裂紋深度qo增大剛度值減小，減小幅度較小，主要原因是雙齒嚙合時(shí)兩對(duì)嚙合齒共同承擔(dān)外載荷，裂紋深度qo較小時(shí)，輪齒承載能力減小但對(duì)輪齒承載力的影響較小。單齒嚙合狀態(tài)下，裂紋深度嚙合齒剛度減小相比于正常齒明顯。

將齒面接觸位置的輪齒輪廓曲線長(zhǎng)度延展后的長(zhǎng)度定義為輪廓曲線長(zhǎng)度。由圖6（a）可知，正常齒齒面應(yīng)力沿齒寬方向呈兩端大，中間小的均勻帶狀分布，輪齒接觸位置等效應(yīng)力最大，與輪齒齒根應(yīng)力分布吻合。接觸線沿齒廓方向呈現(xiàn)非對(duì)稱分布，接觸線沿齒根方向比齒頂方向應(yīng)力變化劇烈，接觸線下方齒根應(yīng)力較小區(qū)域呈現(xiàn)條狀分布。裂紋深度齒齒面接觸線區(qū)域應(yīng)力分布呈現(xiàn)一端小一端大的非均勻帶狀分布，如圖6（b）所示。相比正常齒，裂紋深度齒接觸線中心等效應(yīng)力小于正常齒，隨著qo的增大，齒面應(yīng)力主要集中在不含裂紋區(qū)域。

圖6 齒面應(yīng)力分布云圖Fig.6 The Gear Stress Distribution

定義施加在齒面切片上的外載荷與切片數(shù)乘積與齒面外載荷之比為齒向載荷系數(shù)。

式中：Fdzi—切片載荷。

裂紋深度齒向載荷系數(shù)，如圖7 所示。正常齒齒向載荷系數(shù)呈現(xiàn)邊緣小，中間大分布，齒向載荷系數(shù)約為1.0。而裂紋深度齒齒向載荷系數(shù)不對(duì)稱，含裂紋部分小，約為0.96；不含裂紋部分大，約為1.08。隨著裂紋深度qo增大，變化趨勢(shì)明顯。齒齒向載荷的變化與齒面應(yīng)力云圖變化相吻合。

直齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中受到外載荷作用，而載荷在雙齒間并非均勻分配。分別定義λin，λout為進(jìn)入嚙合和退出嚙合的載荷分配系數(shù)，則：

圖7 齒間載荷分配系數(shù)Fig.7 Load Distribution Coefficient Between Gear

式中：Fin1—進(jìn)入嚙合時(shí)輪齒1 嚙合力；Fin2—輪齒2 嚙合力；Fout1—退出嚙合時(shí)輪齒1 嚙合力；Fout2—輪齒2 嚙合力。裂紋深度齒進(jìn)入嚙合和退出嚙合時(shí)載荷分配系數(shù)均小于正常齒輪副。隨著裂紋深度的增加，進(jìn)入嚙合的載荷分配系數(shù)呈非線性減小，裂紋深度qo=5mm 時(shí)λin約為0.867，qo=2 mm 時(shí)λin約為0.78；退出時(shí)載荷比λout呈非線性增大，qo=0.5 mm 時(shí)λout約為1.255，qo=2.0 mm 時(shí)λout約為1.55。說(shuō)明輪齒剛進(jìn)入嚙合時(shí)，裂紋齒作為副承載嚙合面承載載荷比例小，正常齒作為主承載面承載大部分外加載荷，退出嚙合時(shí)裂紋齒作為主承載面承載外載荷比例大，正常齒承載載荷比例小，如圖8 所示。

圖8 裂紋深度變化載荷分配比Fig.8 Load Distribution Ratio of Crack Depth Change

4.3 齒輪裂紋角度

裂紋角度嚙合剛度曲線，如圖9 所示。隨著裂紋角度γ 的增大，雙齒嚙合剛度和單齒嚙合剛度都減小，但減小幅度較小。裂紋角度引起的剛度變化沒(méi)有裂紋深度引起的剛度變化明顯。對(duì)于裂紋角度齒，隨著裂紋角度γ 的增大，齒根應(yīng)力系數(shù)減小，而裂紋角度引起的?變化沒(méi)有裂紋深度的劇烈。?的變化與其裂紋角度齒齒面應(yīng)力分布相吻合，如圖6（c）所示。裂紋角度齒面應(yīng)力分布與裂紋深度類似，呈現(xiàn)一端小一端大的非對(duì)稱分布，相比裂紋深度，裂紋角度齒面接觸中心線應(yīng)力減小。裂紋角度載荷分配系數(shù)定義與裂紋深度相同。隨著γ 的增大，λin呈現(xiàn)非線性減小，裂紋角γ=5°時(shí)λin約為0.99，γ=25°時(shí)λin約為0.89，裂紋角度齒相比于裂紋深度齒進(jìn)入嚙合時(shí)的λin大；λout呈非線性增大，γ=5°時(shí)，λout約為1.00；γ=25°時(shí)，λout約為1.10，退出嚙合時(shí)裂紋角度相比于裂紋深度齒λout小，如圖10 所示。

圖9 剛度隨轉(zhuǎn)動(dòng)角度變化曲線Fig.9 Stiffness Variation Curve with Rotation Angle

圖10 裂紋角度變化載荷分配比Fig.10 Load Distribution Ratio of Crack Angle Change

5 結(jié)論

通過(guò)求解裂紋深度和角度改變情況下直齒輪嚙合模型，計(jì)算分析得出以下結(jié)論：（1）齒輪產(chǎn)生裂紋后嚙合剛度隨著裂紋深度的增大而減小，單齒嚙合剛度相比雙齒減小明顯。（2）裂紋深度齒齒面應(yīng)力系數(shù)沿齒寬方向非對(duì)稱分布，齒面間載荷分配呈非線性變化。（3）裂紋角度增大嚙合剛度減小，裂紋角度引起的嚙合剛度的變化相比于裂紋深度引起的剛度變化趨勢(shì)小。