黃洪賽,冉冀林,陳凱倫,張雅夢,劉長利

(華東理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，上海 200237)

0 引 言

近年來，聲物理領(lǐng)域的“局域共振型聲子晶體”新概念、新原理的提出為解決圓柱殼類結(jié)構(gòu)的振動控制問題提供了新的思路。已有研究表明，局域共振型結(jié)構(gòu)中可以產(chǎn)生顯著的彈性波帶隙[1]，利用其帶隙可以實現(xiàn)對振動的控制，具有廣闊的應(yīng)用前景，近年來吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣。Wang等[2]提出了一種在細(xì)長梁上周期性附加諧振子的準(zhǔn)一維結(jié)構(gòu)，研究了在該結(jié)構(gòu)中縱向彈性波的傳播。王剛等[3]構(gòu)造了一種由有機玻璃和橡膠/銅塊振子構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)細(xì)直梁，研究了該細(xì)直梁的能帶結(jié)構(gòu)，以及有限周期條件下的振動傳輸特性。Gao等[4]在歐拉-伯努利梁上周期性離散附加動力吸振器，研究了該結(jié)構(gòu)控制彎曲波傳播的應(yīng)用。Xiao等[5]在均勻板上附著二維周期性彈簧質(zhì)量共振器陣列，構(gòu)成了局域共振結(jié)構(gòu)，研究了彎曲波在局部共振薄板中的傳播特性。與梁和板類聲子晶體相比，對圓柱殼類聲子晶體的結(jié)構(gòu)彎曲波傳播特性的研究還不多見。

圓柱殼類結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用在航天航空、船舶與航海、土木建筑、化工領(lǐng)域等工程領(lǐng)域[6]。這些殼體結(jié)構(gòu)承受風(fēng)、地震、波浪、氣動力等動載荷，由此導(dǎo)致的振動和噪聲，影響設(shè)備的工作性能，縮短設(shè)備的壽命，導(dǎo)致安全事故。李雁飛等[7]設(shè)計了一種具有軸向周期結(jié)構(gòu)的裝備外殼，研究了其對彎曲波的振動特性。Shen等[8]提出一種軸向周期分布不同結(jié)構(gòu)或材料的管路，研究了周期管路的聲振傳播。鞠海燕等[9]研究了軸向一維周期性等厚度圓柱殼體和變厚度殼體的能帶結(jié)構(gòu)。羅金雨等[10]提出了一種布拉格散射型圓柱殼類聲子晶體結(jié)構(gòu)，獲得了沿軸線和圓周兩個方向的帶隙。王興國等[11]提出了一種徑向聲子晶體柱殼結(jié)構(gòu)，分析了流體阻抗對柱殼隔聲特性的影響。Nateghi等[12]等提出了一種局域共振型圓柱彎曲殼，研究了曲率對其能帶結(jié)構(gòu)的影響。但是，這些研究[7-11]中設(shè)計的圓柱殼類聲子晶體都產(chǎn)生Bragg帶隙，而沒有涉及到局域共振型圓柱殼類聲子晶體的研究。

與這些研究不同的是，本文提出了一種局域共振型圓柱殼類聲子晶體結(jié)構(gòu)，是通過在圓柱殼圓周方向布置彈簧振子實現(xiàn)的。分析了聲子晶體的圓柱殼質(zhì)量與彈簧振子的質(zhì)量比、彈簧振子的剛度和元胞寬度對帶隙的影響，以及有限周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的傳輸特性。研究結(jié)果為圓柱殼結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計提供了理論參考。

1 局域共振結(jié)構(gòu)及其能帶

1.1 局域共振結(jié)構(gòu)

圖1為本文提出的周期結(jié)構(gòu)圓柱殼及相應(yīng)的元胞，彈簧振子(圖中的黑點，周向的個數(shù)為N)沿周向等間隔地分布在元胞上，元胞沿軸向周期排列形成局域共振圓柱殼類聲子晶體結(jié)構(gòu)。元胞的中面半徑為R，厚度為h，軸向?qū)挾葹閍，彈簧振子的質(zhì)量為mR，剛度為kR，圓柱殼質(zhì)量m與彈簧振子總質(zhì)量之比為γ。

1.2 元胞的能帶結(jié)構(gòu)

本節(jié)根據(jù)元胞的邊界力與位移的周期性約束條件建立本征場，計算元胞的本征頻率，得到其能帶結(jié)構(gòu)。

局域共振型圓柱殼類聲子晶體的周期常數(shù)為單個結(jié)構(gòu)的長度a，且根據(jù)Floquet-Bloch定理，通過周期性邊界條件可以用單個周期的結(jié)構(gòu)表示整體結(jié)構(gòu)。圓柱殼邊界上的位移u(x)，包含x,y,z三個方向的位移，根據(jù)Neumann的邊界條件來控制周期性邊界條件上的位移u，并且相位關(guān)系與相鄰元胞的邊界條件決定，可以表示為(1)式：

u(z+na)=u(z)e-iqna

(1)

其中z代表軸線方向上的坐標(biāo)，n為周期個數(shù)，q表示軸線方向的波矢，而根據(jù)Bloch定理[13]，對于一維的結(jié)構(gòu)波矢只需遍歷在如圖2的不可約Brillouin區(qū)[0,π/a]的取值就可以代替所有波矢，再對應(yīng)每一個波矢q值求其特征頻率，得到能帶結(jié)構(gòu)。由于周期性，波矢在[-π/a,0]中計算的特征頻率可以由[0,π/a]根據(jù)對稱性得到。

根據(jù)Bloch定理可知，每一個Bloch波矢對應(yīng)一種傳播特性的本征彈性波，當(dāng)對于所有波矢(qa)對應(yīng)的特征頻率都不出現(xiàn)的頻率范圍時，表示相應(yīng)頻率下的彈性波無法在結(jié)構(gòu)中傳播，這樣的頻率范圍稱為帶隙。

圓柱殼采用環(huán)氧樹脂材料，材料參數(shù)如表1所示，取R=0.187 75 m,h=0.011 5 m,a=0.059 m,γ=2,kR=9.495 43×105N/m,N=10,mR=m/20=0.048 kg。利用COMSOL Multiphysics對圖1所示的結(jié)構(gòu)建立有限元模型，使用集總機械系統(tǒng)來構(gòu)建彈簧振子單元的剛度與質(zhì)量，并在圓柱殼軸向方向使用Floquet周期性邊界條件。

表1 圓柱殼材料參數(shù)Table 1 Material parameters of cylindrical shell

圖3是圓柱殼元胞的前32個特征頻率的能帶圖。虛線為不含彈簧振子的圓柱殼能帶結(jié)構(gòu)，實線為本文提出的局域共振型圓柱殼類聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，陰影區(qū)域為元胞的兩條帶隙。由圖可知，不含彈簧振子圓柱殼的能帶結(jié)構(gòu)不存在帶隙，說明帶隙是由附加的彈簧振子與圓柱殼耦合引起的。元胞結(jié)構(gòu)共有兩條帶隙，一條是頻率范圍為0～371 Hz，帶寬為371 Hz，記為帶隙1，另一條是頻率范圍為650～980 Hz，帶寬為330 Hz，記為帶隙2。

2 帶隙影響因素分析

本節(jié)研究了影響帶隙特性的三個關(guān)鍵因素，圓柱殼與彈簧振子的質(zhì)量比γ，彈簧振子剛度kR，元胞軸向長度a。

2.1 圓柱殼與彈簧振子的質(zhì)量比

本節(jié)分析中，圓柱殼質(zhì)量m和彈簧振子剛度kR不變，通過改變質(zhì)量比調(diào)節(jié)彈簧振子的諧振頻率，討論局域共振圓柱殼聲子晶體的帶隙特性。

圖4是質(zhì)量比對帶隙特性的影響。星號標(biāo)記、圓形標(biāo)記和三角標(biāo)記分別為帶隙1的截止頻率、帶隙2截止頻率和帶隙2起始頻率隨著質(zhì)量比變化的曲線。

首先，由圖4可知質(zhì)量比對帶隙2特性的影響。隨著諧振頻率增大，即彈簧振子質(zhì)量減小，帶隙2的起始頻率向帶隙2的截止頻率靠近，說明隨著彈簧振子質(zhì)量減小，帶隙2越來越窄。這是由于彈簧振子的質(zhì)量越大，與圓柱殼的耦合作用強度越大，達(dá)到兩個子系統(tǒng)反向振動的頻率變高，因此帶隙2變寬。

其次，由圖4還可知質(zhì)量比對帶隙1特性的影響。隨著諧振頻率增大，帶隙1截止頻率的上升速度減慢，這是因為隨著彈簧振子質(zhì)量減小，彈簧振子與圓柱殼之間的耦合作用隨著彈簧振子質(zhì)量減小而減小。

2.2 彈簧振子剛度

本節(jié)分析中，圓柱殼與彈簧振子質(zhì)量比不變γ，通過改變彈簧振子剛度kR來調(diào)節(jié)諧振頻率，研究彈簧振子剛度對帶隙特性的影響，如圖5所示。

首先，由圖5可知剛度對帶隙2特性的影響。隨著諧振頻率增大，即彈簧振子剛度增大，帶隙2逐漸上移，并且其帶隙寬度逐漸減小。但是當(dāng)fR=850 Hz時，帶隙截止頻率不再變化，這是由于彈簧振子對于圓柱殼的耦合作用趨向于附加質(zhì)量的作用，彈簧振子質(zhì)量不變，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)不再改變，所以其截止頻率趨于常數(shù)。

其次，由圖5還可知剛度對帶隙1特性的影響。隨著諧振頻率增大，帶隙寬度逐漸變寬并趨于收斂，這是因為彈簧振子的剛度增大，導(dǎo)致彈簧振子趨向于剛性連接在圓柱殼上，局域共振型結(jié)構(gòu)對帶隙1截止頻率的影響變小。

綜上所述，質(zhì)量比和彈簧剛度分別對帶隙的影響結(jié)果表明，增大彈簧振子的質(zhì)量或減小其剛度，可以拓寬帶隙2的寬度。帶隙2與帶隙1之間的間隔隨著諧振頻率的增大而減小，這是由于諧振頻率增大，彈簧振子對圓柱殼的影響的耦合作用減小。

2.3 元胞的軸向?qū)挾?/h3>

本節(jié)分析元胞的軸向?qū)挾萢對帶隙特性的影響。彈簧振子的質(zhì)量與圓柱殼質(zhì)量之比γ和剛度kR不變，以軸向?qū)挾萢=0.059 m為基本長度，分析局域共振圓柱殼從a～6a的帶隙特性。圖6是元胞的軸向?qū)挾葘短匦缘挠绊懀翘枠?biāo)記實線表示局域共振型圓柱殼帶隙1截止頻率，三角標(biāo)記實線表示該結(jié)構(gòu)的帶隙2的起始頻率，圓形標(biāo)記實線表示帶隙2的截止頻率。由圖可知，隨著軸向?qū)挾仍龃螅瑤?的起始頻率和截止頻率以及帶隙1的截止頻率逐漸減小。

3 傳輸特性

本節(jié)采用位移傳遞率分析有限周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的傳輸特性。位移傳遞率定義為傳遞到基礎(chǔ)的位移與激振位移之比，反映結(jié)構(gòu)對位移的傳遞關(guān)系。計算不同簡諧激勵下局域共振圓柱殼的位移傳遞率，對比激勵頻率在帶隙范圍內(nèi)和帶隙范圍外的傳遞損失，分析局域共振型圓柱殼的減振性能。

圖7是激勵和響應(yīng)點分布示意圖，有限周期圓柱殼結(jié)構(gòu)由10個元胞組成，圓柱殼上的黑點表示彈簧振子，虛線的小圓圈代表激勵和響應(yīng)點的位置。圓柱殼兩端的邊界設(shè)置為徑向自由運動，切向和軸向固定。激勵為單位位移的簡諧激勵，方向沿圓柱殼的徑向，激勵頻率范圍為10～2 800 Hz。響應(yīng)點在圓柱殼另一端，響應(yīng)點1是激勵點沿軸線方向(z方向)10個元胞周期距離的點，響應(yīng)點2則是響應(yīng)點1沿圓周方向旋轉(zhuǎn)180°的點。

本文僅考慮徑向位移傳遞率。圖8(a)是元胞的能帶結(jié)構(gòu)，圖8(b)為有限周期局域共振圓柱殼在簡諧點載荷下，響應(yīng)點1、2的位移傳遞率。由圖可知，在圖8(a)的帶隙650～980 Hz范圍，和帶隙210～372 Hz范圍對應(yīng)了圖8(b)中位移傳遞率小于零的頻率范圍，表示響應(yīng)點的位移明顯小于激勵點位移。說明當(dāng)激勵頻率在元胞的帶隙范圍內(nèi)時，圓柱殼的振動位移明顯衰減。這驗證了彈性波頻率在帶隙范圍內(nèi)時，在局域共振圓柱殼聲子晶體內(nèi)傳播會受到抑制的特性。

圖9(a), (b), (c), (d)分別表示簡諧點載荷頻率為200 Hz, 500 Hz, 800 Hz, 1 200 Hz的振動響應(yīng)。由圖可知，圖9(a)和(c)的點載荷頻率分別處于帶隙1和帶隙2范圍內(nèi)，振動都明顯只局限在激勵點附近，但不同的是,低頻的帶隙1范圍內(nèi)的振動并無放大，而在帶隙2內(nèi)的振動則只是在激勵點附近被放大。圖9(b)和(d)的點載荷頻率處于通帶范圍內(nèi)，振動明顯遍布在整個圓柱殼，整體位移明顯加劇。進一步驗證了帶隙范圍內(nèi)彈性波傳播受到抑制的特性。

4 結(jié) 論

本文提出了一種通過在圓柱殼圓周方向布置彈簧振子的局域共振型圓柱殼類聲子晶體結(jié)構(gòu)，分析了聲子晶體的圓柱殼質(zhì)量與彈簧振子的質(zhì)量比、彈簧振子的剛度和元胞寬度對帶隙的影響，以及有限周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的傳輸特性，得到結(jié)論如下：

(1)在軸線方向和圓周方向都周期性布置彈簧振子的局域共振單元的圓柱殼結(jié)構(gòu)，形成了兩條低頻帶隙，其中帶隙1具有極低的帶隙范圍。對有限周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的傳輸特性分析，驗證了局域共振型圓柱殼聲子晶體在帶隙范圍內(nèi)的抑制振動的能力。

(2)彈簧振子的質(zhì)量和剛度對帶隙影響的研究結(jié)果表明，增大彈簧振子的質(zhì)量或減小其剛度，可以拓寬帶隙2的寬度。隨著諧振頻率的增大，帶隙1與帶隙2之間的間隔減小，這是由于諧振頻率增大，彈簧振子對圓柱殼的影響的耦合作用減小。

(3)寬度對帶隙影響的研究結(jié)果表明，隨著元胞的軸向?qū)挾仍龃?，帶?的起始頻率和截止頻率以及帶隙1的截止頻率逐漸減小。