李敦恒

【摘要】隨著我國小學高年級數(shù)學基礎(chǔ)教育課程改革的深入扣進展，小學高年級數(shù)學的建模越來越多地受到了重視。《數(shù)學課程標準》也多次明確提到了數(shù)學模型的思想和對數(shù)學的建模。并把數(shù)學模型的思想歸納為十種數(shù)學核心的素養(yǎng)中的一種。建模和思維能力的培養(yǎng)應該從小學高年級階段的開始，考慮1-4年級學生的年齡相對較小，語言以及模型思維學習能力等方面還不夠成熟，而高年級的學生在模型思維等知識方面相對于中低年級的學生來說稍微有明顯成熟，處于由形象思維過度到抽象思維的模型學習發(fā)展階段，對于模型數(shù)學思維以及建模的知識接受程度也比較高，本文針對如何有效培養(yǎng)小學高年級學生的建模的能力問題進行了研究。提出”關(guān)聯(lián)對比、動手實踐、觀察分析、類推猜想”四種模型建模策略，能有效地培養(yǎng)中小學生建模的能力，從而有效促進中小學生模型思想的形成與發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 建模能力 策略

【中圖分類號】G623.5

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-088-02

關(guān)于對數(shù)學的建模意識和能力的培養(yǎng)和論述，著名數(shù)學教授吳長江曾經(jīng)這樣說過：數(shù)學建模能力是指對數(shù)學問題進行數(shù)學化，并幫助其構(gòu)建合適的一個數(shù)學問題和模型，并將該題的模型結(jié)果直接帶到原題中進行分析和檢驗，最后得出問題答案的能力。根據(jù)以上的論述和理解，我個人認為學生的建模意識和能力的培養(yǎng)，不僅僅是因為讓教師和學生直接掌握某個或幾個具體的模型就已經(jīng)可以了。而是教師需要通過引導學生在數(shù)學思維的方式和學習的方式上有所謂的轉(zhuǎn)變。這樣對于學生將來后續(xù)的學習與工作和生活會具有重要的影響和意義。那么究竟教師可以如何有效地培養(yǎng)學生建模的意識和能力呢？我個人認為主要有以下四種培養(yǎng)策略，能有效地培養(yǎng)教師引導學生建模的能力。

一、在關(guān)聯(lián)對比中建模

在建立數(shù)學模型方面，知識之間的邏輯聯(lián)系往往是嚴密的，舊知與新知之間往往是相互之間有一定的聯(lián)系，舊知往往可以用來作為建立新知的理論基礎(chǔ)，新知對于舊知來說往往是一種延伸與新的發(fā)展。為此，新的知識數(shù)學模型也往往實際上是在舊知識的數(shù)學模型的基礎(chǔ)之上重新建立了起來的。因此在舊知識中建立新的數(shù)學模型時，可以從舊的知識和新數(shù)學模型中再進行對比分析著手。明晰了舊知與新知之間的邏輯關(guān)聯(lián)，找出舊知相同點與新知的不同點。從而在舊知識模型中建立起新的數(shù)學模型。如教學分數(shù)乘整數(shù)這一課，最直接相關(guān)的是同分母分數(shù)加法的計算模型，所以可先讓學生復習同分母的分數(shù)加法，對兩者之間進行對比，這時學生就可以會自然地發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的乘整數(shù)相當于同一個分母分數(shù)加法的簡便計算。兩者的區(qū)別主要在于：算式表示形式不一樣。學生不僅從實際上能很好地直接理解到分數(shù)乘整數(shù)的計算模型，而且從更高的層面上也理解了分數(shù)乘法計算的模型。如此一來，建立起來的模型就有了生長的空間和力量。

二、在動手實踐中建模

既抽象又具概括性是數(shù)學建模的一個特點，但是往往小學生思維都普遍側(cè)重于直觀，這個也就是是培養(yǎng)數(shù)學建模能力的會遇到的一個突出矛盾。培根說過：”從實踐中獲得知識.知識就是力量。”由此可見動手實踐是解決抽象和直觀這一矛盾很重要的一個環(huán)節(jié)。如在教學五年級”長方體體積”一節(jié)課時，通過在一個長方體里面擺小了一個正方體。可能會讓學生對此產(chǎn)生一些疑問，這個小正方體的總數(shù)量與這個長方體有什么直接的關(guān)系呢？通過在實踐中讓學生直觀地感知到，小正方體總數(shù)量與長方體的長寬高有關(guān)。如：長方體的長寬高分別的是9cm、6cm、12cm。學生會直觀地發(fā)現(xiàn)在小正方體的總數(shù)量=一層的數(shù)量×層數(shù)。一層的數(shù)量=長方體的長×寬，層數(shù)=長方體的高。學生自己建構(gòu)起了長方體體積的基本模型=長×寬×高。同時也給學生為后面建立了正方體體積打下基礎(chǔ)。在這充分的實踐操作后，長方體體積和正方體體積模型的建立就水到渠成了。建模的方法和過程可以說是一種具體學習的再創(chuàng)造，實踐的操作為學生這種再學習創(chuàng)造的長方體建模過程提供了具體學習行為的支撐，對模型的認識和理解更為豐富，同時也為了學生們在建模的過程中積累了對具體活動的經(jīng)驗。

三、在觀察分析中建模

我們常在事物的觀察分析找到共性然后去建立起數(shù)學模型，然后再通過模型的顯著特點抽象概括出共同的特征。如在課堂教學《乘法分配律》一課時，先學生出示一個題目，上衣一件38元，褲子一條62元，買15套這樣的衣服一共需要多少錢？在這個出示的過程中學生獨立地完成得出了三種不同的解法：（1）38×15+62×15=1500（元）;（2）62×15+38×15=150 O（元）;（3）（38+62）×15=1500（元）。這三種問題的解法當中，（1）（2）兩種問題解決的方法和思路基本上是一致的，而解法（3）與（1）、（2）兩種思路是不一樣的，但結(jié)果仍然是基本相等，即38×15+62×15=（38+62）×15，在這里我會分別讓教師引導學生逐步說出每一個相等步驟所要表示的基本意思。左邊步驟表示的價錢是15件上衣的總價錢，然后加上15條連衣裙和褲子的總價錢，而右邊步驟表示的價錢是一套連衣裙需要100元，再讓學生求出購買15套衣服需要多少元。從這個步驟表示的意思和含義我們?nèi)ダ斫獯_實兩邊都是可以讓學生求出15套衣服的實際價錢，所以兩邊的相等式是基本相等。然后我再分別讓教師引導學生進一步計算：35×13+65×13和（35+65）×13，63×18+37×18和（63+37）×13，結(jié)果可以得出35×13+65×13=（35+65）×13，63×18+37×18=（63+37）×13.通過觀察和分析，學生很容易就可以得出這幾個相等式子共同的基本特征：兩個數(shù)的和與一個數(shù)的積相乘，可以把這兩個相乘的數(shù)分別與一個數(shù)的積相乘，再把乘積與一個數(shù)相加，結(jié)果不變。

在很多的數(shù)學模型的建立上面，都可以是通過觀察和分析的方法進行建構(gòu)和發(fā)展起來。比如簡便運算的運算定律、計算法則里面的商不變和積的變化規(guī)律等。

四、在類推猜想中建模

類推推理亦稱”類比”。推理的一種形式。根據(jù)兩個對象在某些屬性上相同或相似，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同的推理過程。

在教學《比的認識》一課時，除法意義和分數(shù)的意義。比跟除法、分數(shù)比較，比的前項相當于被除數(shù)、分子，比的后項相當于除數(shù)、分母，比值相當于商、分數(shù)值，比號相當于除號、分數(shù)線。

有了以上的認識，我們就可以讓學生類比猜想，比有什么特點，有了猜想的模型，學生就有了思考的方向，接下來就是對猜想的模型進行推理、解釋和驗證。因為除數(shù)和分母不能為“0”，所以比的后項不能為“0”。如果用字母表示比、除法、分數(shù)三者之間的關(guān)系，可以表示為a：b=a/b=a/b（b≠0）。

所以類比猜想方法給學生建立模型指明新的方向。要想更好地讓學生能通過正確的類比猜想方法來進行建模，首先我們要求這兩個模型的內(nèi)容必須要能夠具有一定的相似性，這樣教師才能對學生進行模型類比。

另外，類推思維是一種由特殊到特殊的類比模型思維，所以通過特殊的類比模型建立起來的類比模型方法不一定都正確，在我們學習3的類比模型倍數(shù)特征時，我們也會通過2的類比模型倍數(shù)特征的方法去進行類推，從其中一個位上的數(shù)去進行猜想，但在驗證的過程中我們會發(fā)現(xiàn)這種方法是錯誤的。雖然我們建立的類比模型方法出錯了，但是學生在這樣的過程中所需要建立的類比模型糾錯和改正能力是最為難得的。

建模能力不是一朝一夕就可以形成，確實需要長期的一個過程，但是我們教師一定要有意識去培養(yǎng)學生這方面的能力，通過我們的教學手段以及教學策略的改進，搭建相應的平臺，并且多讓學生經(jīng)歷這個建模過程，讓學生在建模能力方面逐步得到提升，促進學生建模能力的發(fā)展。

【本文系廣東教育學會2019年度教育科研規(guī)劃小課題《小學高年級開展數(shù)學建模教學的策略研究》（課題編號：GDXKT22362）的研究成果】

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