吳榮燕

（廣東省廣州市美術(shù)中學(xué)，510060）

本文對(duì)“正弦定理”新授課進(jìn)行創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì)如下.

一、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

在課前編寫好“導(dǎo)學(xué)稿”，在課堂上發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生課堂上在老師的組織、引導(dǎo)下獨(dú)立完成填空.整節(jié)課采用“問(wèn)題帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)”的教學(xué)策略，即學(xué)生在完成填空的過(guò)程中逐漸探究、得出新知并鞏固新知.

第一部分：知識(shí)回顧

操作說(shuō)明：讓學(xué)生在1分鐘內(nèi)獨(dú)立完成填空.本部分通過(guò)三個(gè)問(wèn)題，即問(wèn)題1，2，3及其思考題，引發(fā)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的回顧，主要考查“圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角”，“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”等初中數(shù)學(xué)知識(shí).側(cè)重在學(xué)生的已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上逐步引出新知識(shí).教師通過(guò)個(gè)別提問(wèn)了解學(xué)生的解答情況.

假設(shè)在 △ABC中，∠A的對(duì)邊是a，∠B的對(duì)邊是b，∠C的對(duì)邊是c.請(qǐng)完成以下問(wèn)題.

圖1

思考1 由問(wèn)題1可得2R=a／（ ）=b／（ ）=c／（ ）.

圖2

圖3

思考2 由問(wèn)題2可得2R=a／（_______）=b／（_______）=c／（_______）.

思考3 由問(wèn)題3可得2R=a／（_______ ）=b／（_______）=c／（_______）.

總結(jié)與反思 上述問(wèn)題的解答為什么都要作直徑為輔助線？如此做法的作用是什么？

設(shè)計(jì)意圖 突出“作直徑為輔助線”，是為了突出“直徑”在上述問(wèn)題探究中的重要性，也是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和感悟“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想：把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.

歸納 從問(wèn)題1—3，我們可以得出一個(gè)結(jié)論：在△ABC中，若∠A的對(duì)邊是a，∠B的對(duì)邊是b，∠C的對(duì)邊是c，則有______________.這就是著名的正弦定理.上述問(wèn)題1，2，3的探究過(guò)程運(yùn)用了我們平常很熟悉的_______數(shù)學(xué)思想.

設(shè)計(jì)意圖 在上述分別對(duì)直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形進(jìn)行探究的基礎(chǔ)上，得出它們具有的共同性質(zhì)：正弦定理.這符合學(xué)生認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知特點(diǎn)，也體現(xiàn)了從易到難的問(wèn)題探究的層次性，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽“說(shuō)”出自己的解答［1］.

第二部分：新知學(xué)習(xí)

操作說(shuō)明：第二部分是學(xué)生在完成第一部分的學(xué)習(xí)任務(wù)并經(jīng)過(guò)老師的講評(píng)之后開(kāi)始的，突出“正弦定理”的內(nèi)容及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.學(xué)生先獨(dú)立完成填空，然后老師及時(shí)講評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽“說(shuō)過(guò)程”，“說(shuō)異見(jiàn)”，“說(shuō)體會(huì)”［2］.老師把“新知運(yùn)用”和“鞏固練習(xí)”部分給學(xué)生作課堂限時(shí)訓(xùn)練.學(xué)生完成之后，老師利用實(shí)物投影儀投影學(xué)生的解答過(guò)程并進(jìn)行講評(píng).

1.知識(shí)要點(diǎn)

正弦定理：在 △ABC中，若R為 △ABC外接圓的半徑，則______.

問(wèn)題4 由正弦定理可以通過(guò)變換得到哪些等式？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生動(dòng)手寫出盡可能多的正弦定理的變形結(jié)果，促進(jìn)學(xué)生對(duì)正弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的認(rèn)知。

問(wèn)題5 在△ABC中，如果我們要求這個(gè)三角形外接圓的半徑R，那么只需知道______，或______，或______.

問(wèn)題6 你覺(jué)得正弦定理漂亮嗎？式子有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖 從數(shù)學(xué)美的角度啟發(fā)學(xué)生對(duì)正弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步感受正弦定理的結(jié)構(gòu)美，幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)正弦定理的表達(dá)式的記憶.

2.新知運(yùn)用

例1 已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對(duì)邊，A=60°，B=75°，c=6，求△ABC外接圓的半徑R及a.

設(shè)計(jì)意圖 已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角大小和其中一條邊的長(zhǎng)度，直接代入正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式就可以求出其外接圓的半徑和未知的邊長(zhǎng).這屬于正弦定理的正向簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度不大.

例2 （1）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對(duì)邊，45°，求∠B與△ABC的外接圓半徑R.

（2）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對(duì)邊，，求∠B及c.

設(shè)計(jì)意圖 例2是已知三角形的兩條邊的長(zhǎng)度和一個(gè)內(nèi)角的大小，直接代入正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式就可以求出其外接圓的半徑、未知的內(nèi)角大小和邊長(zhǎng).這是對(duì)正弦定理的正向簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度不大.

3.知識(shí)總結(jié)

正弦定理的基本作用為：

（1）已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a= ______；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA=______.

一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素，求其它元素的過(guò)程叫作解三角形.

設(shè)計(jì)意圖 在兩道例題解答和講評(píng)的基礎(chǔ)上，總結(jié)正弦定理的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)正弦定理的工具性作用.在此基礎(chǔ)上給出“解三角形”的概念，顯得比較自然.

4.鞏固練習(xí)

（1）已知在 △ABC中，a，b，c分別為角A，角B，角C的對(duì)邊，∠A=60°，a=，求

設(shè)計(jì)意圖 “鞏固練習(xí)”側(cè)重考查正弦定理的變形及其應(yīng)用，突出“化歸與轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想的考查；故意設(shè)計(jì)三角形的內(nèi)角為“特殊角”，淡化計(jì)算器的使用，突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).

第三部分：課堂學(xué)習(xí)小結(jié)

（1）正弦定理：在 △ABC中，R為 △ABC外接圓的半徑，則_______ .

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

① 已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

② 已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.

（3）解三角形的定義.

（4）主要的數(shù)學(xué)思想方法有：

設(shè)計(jì)意圖 課堂學(xué)習(xí)小結(jié)是在老師的引導(dǎo)下完成，鼓勵(lì)學(xué)生自主總結(jié)并口頭表達(dá)出來(lái).以此培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與技能以及基本數(shù)學(xué)思想方法的回顧和提煉.

二、分析與討論

教材的使用需服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.教師是教材的使用者和建設(shè)者.如何更好地使用教材，有效促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，考驗(yàn)教師的教學(xué)智慧.

1.創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)新知

上述教學(xué)設(shè)計(jì)充分考慮了學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（已有知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知策略），進(jìn)而創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生架設(shè)了已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與新知學(xué)習(xí)之間的橋梁.在初中階段學(xué)習(xí)過(guò)圓的相關(guān)知識(shí)，對(duì)圓心角、圓周角等相關(guān)知識(shí)比較熟悉，這就是學(xué)生的已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).在此“現(xiàn)實(shí)”的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了圓內(nèi)接三角形這個(gè)情境，具有很強(qiáng)的目的性，就是為了推導(dǎo)得出正弦定理.這情境緊密聯(lián)系初中數(shù)學(xué)知識(shí)，以問(wèn)題的形式給出，這些問(wèn)題之間具有一定的層次性，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理具有較強(qiáng)的暗示功能和啟發(fā)功能.

2.創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成

上述教學(xué)設(shè)計(jì)里的“例題”和“鞏固練習(xí)”中的角都是特殊角，沒(méi)有復(fù)雜的運(yùn)算技巧和過(guò)程.其中，既有正弦定理的正向應(yīng)用，也有適當(dāng)變形的考查，讓學(xué)生能較快找到解題思路，運(yùn)用正弦定理本身或者其變形解決問(wèn)題.相對(duì)而言，本設(shè)計(jì)與學(xué)生的已有知識(shí)聯(lián)系很緊密、較自然，有助于學(xué)生理解正弦定理的本質(zhì).其例題和練習(xí)題的設(shè)計(jì)更有助于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成；有助于學(xué)生識(shí)記正弦定理及其結(jié)構(gòu)；有助于學(xué)生理解并運(yùn)用正弦定理及其有關(guān)變形.同時(shí)，強(qiáng)化了化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，有效促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

3.創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

上述教學(xué)設(shè)計(jì)采用的是探究式教學(xué)方式.讓學(xué)生借助“導(dǎo)學(xué)案”進(jìn)行探究，在獨(dú)立完成填空的過(guò)程中得出了正弦定理，然后經(jīng)過(guò)老師組織的學(xué)習(xí)成果展示、老師的及時(shí)講評(píng)和當(dāng)場(chǎng)糾錯(cuò)，加深了對(duì)新知的認(rèn)識(shí)、理解；接著運(yùn)用正弦定理及其變形獨(dú)立完成練習(xí)題；最后是老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié).如此的教學(xué)方式完全“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”，“精講多練”，用“導(dǎo)學(xué)案”來(lái)啟發(fā)學(xué)生的思考，通過(guò)學(xué)習(xí)成果展示促進(jìn)師生、生生之間的交流，讓學(xué)生在掌握正弦定理本身的同時(shí)，深刻體會(huì)到正弦定理的本質(zhì)——圓的內(nèi)接三角形的邊長(zhǎng)、內(nèi)角與圓的半徑之間的關(guān)系，在完成一系列問(wèn)題解決的過(guò)程中積累了數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).

4.創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高

5.搭建交流平臺(tái)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感

上述教學(xué)設(shè)計(jì)搭建了一系列問(wèn)題解決平臺(tái)，設(shè)計(jì)了多道變式練習(xí)題.在學(xué)生的訓(xùn)練完成之后，老師及時(shí)投影個(gè)別學(xué)生的解答，讓學(xué)生“說(shuō)”自己的數(shù)學(xué)思考過(guò)程與結(jié)果［3］.老師及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生之間“說(shuō)異見(jiàn)”，開(kāi)展數(shù)學(xué)交流活動(dòng).這充滿了“師生互動(dòng)”和“生生互動(dòng)”，創(chuàng)設(shè)了激發(fā)學(xué)生的成就動(dòng)機(jī)的機(jī)會(huì)，搭建了師生交流、生生交流的平臺(tái)，能較好地促進(jìn)學(xué)生形成自我概念，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功感.

6.通過(guò)創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)、使用教材，促進(jìn)教師的專業(yè)化發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的對(duì)象是學(xué)生，開(kāi)展創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).上述教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)評(píng)價(jià)等和A版教材呈現(xiàn)方式存在較大差異.對(duì)正弦定理的新授課進(jìn)行創(chuàng)新性設(shè)計(jì)，有助于教師更好地理解正弦定理的相關(guān)知識(shí)，準(zhǔn)確地確定和把握這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).老師應(yīng)能將正弦定理“深入淺出”地處理，傳授給學(xué)生.能否“深入”，取決于老師本身的數(shù)學(xué)知識(shí)水平、對(duì)正弦定理的理解；當(dāng)然，能否“淺出”，取決于老師的數(shù)學(xué)教學(xué)水平.這就需老師較好地理解教學(xué)和理解學(xué)生.老師應(yīng)努力組織和促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)，關(guān)鍵就是建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系，理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來(lái)確定的［4］.這需老師科學(xué)地創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境、運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和評(píng)價(jià)策略.因此，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)、使用教材，有助于促進(jìn)教師的專業(yè)化發(fā)展.