丁洪

[摘要]“數(shù)學(xué)化”教學(xué)實(shí)踐的偏差，成為“去數(shù)學(xué)化”理念產(chǎn)生的基礎(chǔ)。為了以正視聽(tīng)，從“數(shù)學(xué)化”與“去數(shù)學(xué)化”兩者產(chǎn)生的源頭說(shuō)起，辨析它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，并通過(guò)對(duì)課堂現(xiàn)場(chǎng)的深度掃描，提煉解決偏差的策略，為教學(xué)回歸正道提供指南，驅(qū)動(dòng)“數(shù)學(xué)化”教學(xué)服務(wù)師生發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]去數(shù)學(xué)化;數(shù)學(xué)化;課堂觀察;教學(xué)策略

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）14-0001-04

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、精中求簡(jiǎn)和返璞歸真，呈現(xiàn)的是數(shù)學(xué)特有的“教育形態(tài)”，使得學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。應(yīng)該說(shuō)，無(wú)論課程怎么改革，新理念怎樣優(yōu)越，新技術(shù)怎樣?jì)故?，如果游離于數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之外，僅是徒有其表的渲染和建構(gòu)，必然阻礙學(xué)生的發(fā)展。對(duì)于這種追求輕視數(shù)學(xué)本質(zhì)、演繹忽略數(shù)學(xué)內(nèi)容和培養(yǎng)缺失數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)現(xiàn)象，張奠宙教授稱之為“去數(shù)學(xué)化”。如果教師不能清醒地認(rèn)識(shí)和客觀地評(píng)估自己的教學(xué)狀況，深陷其中，那么“去數(shù)學(xué)化”傾向?qū)?huì)危及數(shù)學(xué)教育的生命。這，絕非危言聳聽(tīng)。

那么，“去數(shù)學(xué)化”形成的理論背景和現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)是什么？“去數(shù)學(xué)化”在當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂中有怎樣的表現(xiàn)？現(xiàn)實(shí)教學(xué)破解“去數(shù)學(xué)化”的策略又是什么？筆者結(jié)合理論學(xué)習(xí)和自身實(shí)踐，嘗試做出回應(yīng)與解答，以期引發(fā)大家對(duì)“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象的再思考，最終實(shí)現(xiàn)教師能有效地教，學(xué)生能深度地學(xué)。

一、“去數(shù)學(xué)化”的來(lái)龍去脈

僅從字面理解，“去數(shù)學(xué)化”與“數(shù)學(xué)化”看似相互對(duì)立，但是，只要“正本清源”，就能“對(duì)癥下藥”。因此，要想揭開(kāi)“去數(shù)學(xué)化”的神秘面紗，必須同時(shí)回答什么是“數(shù)學(xué)化”，而且要弄清楚兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別。

1.為“數(shù)學(xué)化”驗(yàn)明正身

“數(shù)學(xué)化”是荷蘭教育家、數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的核心教育理念，它泛指學(xué)習(xí)者從一個(gè)具體的情景問(wèn)題開(kāi)始到得出一個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念的全過(guò)程。換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一旦脫離學(xué)生實(shí)際，學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情就容易被抑制，而且過(guò)度抽象的數(shù)學(xué)美，學(xué)生也難以欣賞和體驗(yàn)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生積淀的負(fù)面情緒難以化解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感無(wú)法形成，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成績(jī)難以提高，學(xué)生出現(xiàn)思想渙散、心理抵觸、行動(dòng)倦怠等狀況也就在所難免、不足為奇。弗賴登塔爾認(rèn)為，改變這種教學(xué)現(xiàn)狀的唯一正確的道路是，相信學(xué)生能夠根據(jù)自己的常識(shí)進(jìn)行“再創(chuàng)造”，通過(guò)提煉問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和主動(dòng)建構(gòu)的有序經(jīng)歷，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”學(xué)習(xí)從粗糙到精密、化被動(dòng)為主動(dòng)，并由生動(dòng)走向深刻。

具體來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)化”分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化兩種水平。其中，橫向數(shù)學(xué)化主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)情景問(wèn)題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些數(shù)學(xué)成分做符號(hào)化處理，經(jīng)歷從“生活”到“符號(hào)”的過(guò)程，因?yàn)橛袑W(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的參與，所以過(guò)程中的“生活味”要濃一些;縱向數(shù)學(xué)化是學(xué)生從具體問(wèn)題到抽象概念，以建立數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)系統(tǒng)之間的關(guān)系為目標(biāo)，是在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化了的問(wèn)題做進(jìn)一步抽象化的處理，引導(dǎo)學(xué)生從“符號(hào)”到“概念”，因?yàn)槭菙?shù)學(xué)問(wèn)題自身的螺旋建構(gòu)，所以過(guò)程中的“數(shù)學(xué)味”要濃一些。一般而言，小學(xué)生的學(xué)習(xí)先經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化過(guò)程，再經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化過(guò)程。但是，隨著學(xué)習(xí)的深人，“數(shù)學(xué)味”將逐漸濃于“生活味”，這是數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)決定的，也是歷史發(fā)展的必然趨勢(shì)。不過(guò)，如果數(shù)學(xué)建構(gòu)遇到困難和阻礙，仍舊可以引入生活元素，以幫助學(xué)生理解和突破。

2.“去數(shù)學(xué)化”緣何而來(lái)

運(yùn)用雙重二分法分析教學(xué)中的兩種數(shù)學(xué)化（如圖1），有趣且能引人深思。

可以看出，如果圖1缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺少縱向數(shù)學(xué)化，是機(jī)械主義的教學(xué)。這種教學(xué)沒(méi)有生活味道，但缺少數(shù)學(xué)道理，學(xué)習(xí)如同嚼蠟，食之無(wú)味。橫向數(shù)學(xué)化得到發(fā)展，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗(yàn)主義的教學(xué)。這種教學(xué)有生活味道，但缺少數(shù)學(xué)道理，學(xué)習(xí)如空心蘆葦，華而不實(shí)。橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來(lái)，是結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)。這種教學(xué)沒(méi)有生活味道，但充滿數(shù)學(xué)道理，學(xué)習(xí)如空中樓閣，不接地氣。橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長(zhǎng)，是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)。這種教學(xué)有生活味道，也有數(shù)學(xué)道理，學(xué)習(xí)有滋有味，事半功倍。

顯然，教學(xué)應(yīng)該是兩種水平的數(shù)學(xué)化結(jié)伴而行、因需側(cè)重和辯證統(tǒng)一。但是，理想與現(xiàn)實(shí)仍有一段距離。當(dāng)教學(xué)出現(xiàn)機(jī)械主義、經(jīng)驗(yàn)主義和結(jié)構(gòu)主義時(shí)，就很容易成為他人攻擊的目標(biāo)。美國(guó)教育家克伯屈率先提出教學(xué)要“去數(shù)學(xué)化”。他公然鼓吹，“就日常生活中的思維類型而言，數(shù)學(xué)害大于利?，F(xiàn)有中學(xué)的代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)繼續(xù)下去”，他還認(rèn)為“過(guò)去教的代數(shù)和幾何，不是太少，而是太多。尤其在小學(xué)階段，呆板的課堂教學(xué)、單調(diào)的書(shū)本知識(shí)、被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，以及分科教學(xué)孤立、分散等缺點(diǎn)，不適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，更不利于學(xué)生的發(fā)展”。因此，他強(qiáng)烈建議，廢除班級(jí)授課制度，打破學(xué)科界限，摒棄傳統(tǒng)的教科書(shū)。不過(guò)，形式上的改變和突破，并未能觸及實(shí)際困境的本質(zhì)。而且，基于這種方式的“去數(shù)學(xué)化”行為，使得教材編寫(xiě)、教學(xué)組織和教學(xué)指導(dǎo)等存在諸多不便，特別是學(xué)生不能獲得系統(tǒng)的科學(xué)知識(shí)，自然影響學(xué)習(xí)質(zhì)量。

可以看出，“數(shù)學(xué)化”重視知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，“怎么做”指向明確、層次分明，教學(xué)強(qiáng)調(diào)“學(xué)以致用”;“去數(shù)學(xué)化”是針對(duì)前者實(shí)施偏差所提出的，拒絕過(guò)度“形式化”，著重強(qiáng)調(diào)“學(xué)以備用”。但是，從積極的角度聯(lián)系兩者，“去數(shù)學(xué)化”其實(shí)是為了更好地踐行“數(shù)學(xué)化”，它們應(yīng)該從簡(jiǎn)單對(duì)立走向融合統(tǒng)一。

二、“去數(shù)學(xué)化”的現(xiàn)象透視

“數(shù)學(xué)化”和“去數(shù)學(xué)化”的教育理念都是舶來(lái)品。回歸教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)，我們發(fā)現(xiàn)，一般教師對(duì)新理念的態(tài)度是，實(shí)踐之前趨之若鶩，實(shí)踐當(dāng)中囫圇吞棗，實(shí)踐之后若有所失。應(yīng)該說(shuō)，“去數(shù)學(xué)化”既是對(duì)這種教學(xué)現(xiàn)狀的客觀描述，也是希望教師在中肯評(píng)價(jià)之后能夠有所作為。

1.形式與內(nèi)容關(guān)系不協(xié)調(diào)

實(shí)際教學(xué)中，我們既要分析抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)是如何形成和發(fā)展的，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容，也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)是舍棄了具體現(xiàn)象去研究一般性質(zhì)的科學(xué)，關(guān)注知識(shí)形式。只有處理好形式與內(nèi)容的關(guān)系，教學(xué)才可能避免走向兩個(gè)極端。

以“用字母表示數(shù)”一課為例，教學(xué)一般根據(jù)教材所提供的問(wèn)題情境，先明確告訴學(xué)生“三角形的個(gè)數(shù)”和“已經(jīng)行駛的千米數(shù)”可以用某個(gè)字母表示，然后再根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，依次解決“小棒的總數(shù)怎么表示？”和“剩下的路程怎么表示？”的問(wèn)題，至于乘號(hào)的簡(jiǎn)寫(xiě)規(guī)則，通常是故事演繹或是自主學(xué)習(xí)，只是換了一種告訴方式而已。而且，對(duì)字母范圍的積極討論、代數(shù)求值的替換體驗(yàn)和簡(jiǎn)寫(xiě)規(guī)則的闖關(guān)游戲等，也是發(fā)生在已經(jīng)出現(xiàn)用字母表示數(shù)之后?？v觀課堂，“為什么選擇用字母表示數(shù)？”“用字母表示數(shù)的歷史文化和階段特點(diǎn)是什么？”“含有字母的式子為什么既能表示具體數(shù)量，也能表示數(shù)量之間的關(guān)系？”“含有字母的式子比較簡(jiǎn)潔，再次簡(jiǎn)潔的內(nèi)驅(qū)力又是什么？”等問(wèn)題懸而未決，教學(xué)因?yàn)槿鄙贁?shù)學(xué)抽象的體驗(yàn)和符號(hào)意識(shí)的發(fā)展，使得學(xué)生記住了用字母表示數(shù)的事實(shí)，卻忽略其存在的現(xiàn)實(shí)意義和發(fā)展功能。

2.結(jié)論與過(guò)程聯(lián)系不緊密

教學(xué)需要過(guò)程生動(dòng)與結(jié)論深刻，兩者相得益彰。這里的過(guò)程指向知識(shí)的“再創(chuàng)造”，它承載著知識(shí)的脈絡(luò)、知識(shí)的重難點(diǎn)和建構(gòu)知識(shí)的相關(guān)數(shù)學(xué)思想，學(xué)生只有充分經(jīng)歷了這些必要過(guò)程，所得結(jié)論才可能、可靠和可信。

以“三角形的認(rèn)識(shí)”一課為例，其中有這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：感知三角形的穩(wěn)定性。教學(xué)時(shí)，借助三角形的實(shí)物道具，通過(guò)拉一拉、說(shuō)一說(shuō)、想一想等，使學(xué)生形成“因?yàn)槔粍?dòng)，所以三角形具有穩(wěn)定性”的認(rèn)知，與之對(duì)應(yīng)出現(xiàn)的還有平行四邊形，得到“因?yàn)槔脛?dòng)，所以平行四邊形具有不穩(wěn)定性”的結(jié)論，然后輔之以大量的生活圖片，說(shuō)明三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用廣泛。事實(shí)上，這樣的“再創(chuàng)造”過(guò)程并不能幫助學(xué)生獲得良好體驗(yàn)和正確結(jié)論，在某種程度上還會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生將實(shí)物的物理屬性和圖形的結(jié)構(gòu)特征混為一談。正確的做法是，提供長(zhǎng)度相等的小棒，讓學(xué)生任意擺放三角形和平行四邊形，引發(fā)學(xué)生猜想、對(duì)比和驗(yàn)證，得到：小棒的長(zhǎng)度相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角形只有一種形狀，而平行四邊形就有多種情況。有了圖形組成的單一性和多樣性的過(guò)程體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)三角形具有穩(wěn)定性的感知就水到渠成了。

3.知識(shí)與能力步調(diào)不一致

知識(shí)就是力量，知識(shí)還是能力形成的前提。但是，教學(xué)如果側(cè)重知識(shí)掌握的速度、存儲(chǔ)的數(shù)量等，而不注重超越知識(shí)本身，忽視學(xué)習(xí)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，則將演變成“灌裝”成品，所謂的能力也只可能是現(xiàn)有存貨的簡(jiǎn)單調(diào)用而已。

以“可能性”一課為例，教學(xué)首先通過(guò)摸球游戲，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)可能、一定和不可能的存在，指出三種情況都屬于可能性的研究范圍;接著通過(guò)摸牌游戲，一方面，讓學(xué)生感覺(jué)四張都是紅桃時(shí)，摸哪一張都有可能，但是花色一定是紅色，而且不可能摸到黑桃等，另一方面，用黑桃4替換紅桃4之后，借助猜想、實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析，最終得到“數(shù)量多少”決定“可能性大小”的體驗(yàn)和結(jié)論?？v觀課堂，這些知識(shí)只是基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的正向強(qiáng)化，教學(xué)并沒(méi)有帶來(lái)相關(guān)能力的發(fā)展。在這里，學(xué)生至少要形成這些能力，一是精準(zhǔn)定位可能性發(fā)生的時(shí)段，那就是討論和分析可能性都應(yīng)在“摸之前”，因?yàn)椤懊蟆币磺薪杂锌赡?二是運(yùn)用列舉策略解決稍復(fù)雜問(wèn)題的能力，將教材中只具有單一性表現(xiàn)的事物，換成具有多樣性存在的事物，如設(shè)計(jì)拋兩枚硬幣、擲兩個(gè)骰子等，以驅(qū)動(dòng)學(xué)生形成先列舉所有情況，再進(jìn)行有效判斷，以此內(nèi)化解決問(wèn)題的思維路徑。

以上所呈現(xiàn)的情況，只是課堂的一個(gè)側(cè)面或縮影，但仍然能說(shuō)明一些存在的問(wèn)題，能給現(xiàn)實(shí)教學(xué)以某種提醒。換句話說(shuō)，教學(xué)不但要關(guān)注形式與內(nèi)容、結(jié)論與過(guò)程、知識(shí)與能力，而且要能做到辯證統(tǒng)一的實(shí)施。只有這樣，縱、橫向數(shù)學(xué)化才可能和諧共生。

三、“去數(shù)學(xué)化”的應(yīng)對(duì)策略

“去數(shù)學(xué)化”旨在反對(duì)知識(shí)的過(guò)度形式化，因?yàn)閷W(xué)生覺(jué)得晦澀難懂;也反對(duì)教學(xué)的過(guò)度包裝化，因?yàn)閷W(xué)生不知所云;還反對(duì)設(shè)計(jì)的過(guò)度生活化，因?yàn)閷W(xué)生難以提升;等等?！叭?shù)學(xué)化”不是空喊口號(hào)，也不是機(jī)械地站在“數(shù)學(xué)化”的對(duì)立面，而是要實(shí)實(shí)在在地做一些事情，并從中提煉出共性的操作策略，以便更好地服務(wù)于現(xiàn)實(shí)教學(xué)。

1.讓“好問(wèn)題”成為教學(xué)前提

“好問(wèn)題”具有“生動(dòng)且深刻”的品質(zhì)，“生動(dòng)”是由小學(xué)生的認(rèn)知特質(zhì)決定的，“深刻”則是由數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)屬性決定的。從某種意義上說(shuō)，“好問(wèn)題”成就了“好課堂”。

好問(wèn)題從哪里來(lái)？首先，來(lái)自對(duì)靜態(tài)教材的動(dòng)態(tài)把握，教材有外顯的知識(shí)結(jié)構(gòu)，層層遞進(jìn)、螺旋建構(gòu)，教材蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，同中有異、異中有同，好問(wèn)題在知識(shí)的合理解構(gòu)與因需重構(gòu)中產(chǎn)生;其次，來(lái)自對(duì)學(xué)生發(fā)展需要的精準(zhǔn)把脈，好問(wèn)題一定是貼近學(xué)生實(shí)際，學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)、積極參與的，是在學(xué)生的實(shí)際需求與發(fā)展預(yù)期中產(chǎn)生的;最后，來(lái)自對(duì)歷史的鑒賞和自我的認(rèn)同，教師以歷史的視角盤(pán)活所有資源，使得適合、適切和適用的“老問(wèn)題”煥發(fā)新的生機(jī)。好問(wèn)題是什么樣的？這個(gè)問(wèn)題，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。不過(guò)，有些好問(wèn)題讓人印象深刻，比如“用轉(zhuǎn)化的策略解決問(wèn)題”一課中，設(shè)計(jì)問(wèn)題“是怎樣轉(zhuǎn)化的？”“為什么可以這樣轉(zhuǎn)化？”“一定是這樣轉(zhuǎn)化嗎？”以驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主建構(gòu)轉(zhuǎn)化策略;又如“認(rèn)識(shí)多邊形”一單元，設(shè)計(jì)問(wèn)題“邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度有什么特點(diǎn)？”“角度的大小有什么特點(diǎn)？”“是軸對(duì)稱圖形嗎？”以驅(qū)動(dòng)學(xué)生內(nèi)化平面圖形的特征和研究方法;再如設(shè)計(jì)問(wèn)題“定怎樣的標(biāo)準(zhǔn)？”“如何去測(cè)量？”“得什么結(jié)果？”以驅(qū)動(dòng)所有計(jì)量單位的學(xué)習(xí)。好問(wèn)題又該如何用？可以像上面的例子一樣，一堂課、一個(gè)單元，或是一種類型的整體式驅(qū)動(dòng)，當(dāng)然，也可以根據(jù)需要采用嵌入式或獨(dú)立式驅(qū)動(dòng)，不求高、大、上，但求聯(lián)、通、實(shí)。

2.讓“有過(guò)程”成為教學(xué)常態(tài)

“有過(guò)程”具有“再創(chuàng)造”的性質(zhì)，因?yàn)橹R(shí)的屬性有所不同，所以“再創(chuàng)造”的路徑并不一樣。其中，發(fā)現(xiàn)的知識(shí)以探究的方式揭示其固有規(guī)律，發(fā)明的知識(shí)以創(chuàng)造的方式體驗(yàn)其生長(zhǎng)規(guī)律。

發(fā)現(xiàn)的知識(shí)不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移，不受時(shí)空限制，所得結(jié)論是穩(wěn)定的、確定的。以蘇教版教材為例，從三年級(jí)開(kāi)始，每個(gè)學(xué)期都安排一個(gè)探索規(guī)律的知識(shí)專題，如“間隔排列”“有趣的乘法計(jì)算”“簡(jiǎn)單的周期”等，一共8個(gè)。其他年級(jí)是結(jié)合相關(guān)內(nèi)容探索簡(jiǎn)單的數(shù)和圖形的變化規(guī)律。教材中與之類似的內(nèi)容就更多了。這種類型的知識(shí)，適合用探究的方式來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生主要經(jīng)歷的是不完全歸納的“再創(chuàng)造”過(guò)程，以培養(yǎng)合情推理的能力。而發(fā)明的知識(shí)在創(chuàng)造時(shí)間、創(chuàng)造空間和創(chuàng)造樣式等方面是存在明顯的偶然性和特殊性的，所得結(jié)論一般是規(guī)定且暫時(shí)穩(wěn)定的，仍然存在繼續(xù)發(fā)展的可能，如分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生、確定位置的方法和統(tǒng)計(jì)的樣式等。這種類型的知識(shí)，適合用創(chuàng)造的方式來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的生長(zhǎng)、發(fā)展和建構(gòu)的“再創(chuàng)造”過(guò)程中，抽象建模的能力得到培養(yǎng)。顯然，不同屬性的知識(shí)，有著不同的“再創(chuàng)造”過(guò)程，如果教學(xué)路徑發(fā)生偏差，就像研究“平行四邊形的面積”，讓學(xué)生去創(chuàng)造“平行四邊形的面積計(jì)算”規(guī)律，抑或是學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)5”時(shí)，讓學(xué)生去發(fā)明“5的寫(xiě)法”，后果不堪設(shè)想，將是無(wú)趣、低效，甚至是有害的。

3.讓“有評(píng)價(jià)”成為教學(xué)內(nèi)驅(qū)

“有評(píng)價(jià)”具有“方向標(biāo)”的功能，評(píng)價(jià)服務(wù)于學(xué)生，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)的狀態(tài)、學(xué)習(xí)的品質(zhì)和學(xué)習(xí)的效果，評(píng)價(jià)還服務(wù)于教師，驅(qū)動(dòng)教師改進(jìn)教學(xué)方法、提升教學(xué)質(zhì)量和放大教學(xué)功能。

什么時(shí)候評(píng)價(jià)？教學(xué)需要圍繞問(wèn)題來(lái)對(duì)話，對(duì)話是由淺人深、循序漸進(jìn)的，通常先分析條件和問(wèn)題，再確定數(shù)量之間的關(guān)系，最后選擇一種方法或方式解決問(wèn)題。對(duì)應(yīng)的，評(píng)價(jià)就有即時(shí)評(píng)價(jià)、板塊評(píng)價(jià)和總體評(píng)價(jià)。其中，即時(shí)評(píng)價(jià)發(fā)生在每個(gè)板塊的內(nèi)部，驅(qū)動(dòng)學(xué)生形成自我認(rèn)識(shí)，即“在做什么”“做得怎么樣”“還要做什么”等;板塊評(píng)價(jià)發(fā)生在板塊的結(jié)束，是對(duì)內(nèi)容的階段概括，一般承上啟下、串起教學(xué);總體評(píng)價(jià)發(fā)生在課堂的結(jié)尾，是一堂課的收官之作、點(diǎn)睛之筆。由誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)？一般而言，只要是教學(xué)的參與者，都是評(píng)價(jià)的主體。尤其是學(xué)生，以積極的姿態(tài)參與其中，改變被動(dòng)聽(tīng)講的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這種角色意識(shí)的覺(jué)醒，比學(xué)習(xí)本身更重要，也更有意義。評(píng)價(jià)的內(nèi)容是什么？有情感態(tài)度類的評(píng)價(jià)，如“你說(shuō)得真好！”“你的眼睛真亮！”“你聽(tīng)得真清楚！”等，這樣的評(píng)價(jià)能潤(rùn)滑教學(xué)，但不觸及數(shù)學(xué)內(nèi)容;有知識(shí)技能類的評(píng)價(jià)，如“這樣畫(huà)圖，是將第二天和第三天的借書(shū)數(shù)量都轉(zhuǎn)化成了第一天的，還有不同方法嗎？”這一類評(píng)價(jià)指向數(shù)學(xué)方法，能幫助對(duì)比建構(gòu);還有策略價(jià)值類的評(píng)價(jià)，如“看來(lái)，運(yùn)用畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題，比較直觀、清楚和便于分析數(shù)據(jù)。我們畫(huà)出了條件和問(wèn)題，畫(huà)出了思路和思維，更畫(huà)出了不一樣的精彩！”……這一類評(píng)價(jià)緊扣數(shù)學(xué)內(nèi)容，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)。

4.讓“有素養(yǎng)”成為教學(xué)追求

“有素養(yǎng)”具有“立德樹(shù)人”的意蘊(yùn)，這里的關(guān)鍵能力和必備品格，指向利用數(shù)學(xué)的視角觀察問(wèn)題、應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題和應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，以驅(qū)動(dòng)學(xué)生理性思考、科學(xué)建模和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以在不同層次的追問(wèn)中培養(yǎng)起來(lái)。

一問(wèn)“是什么”，如“認(rèn)識(shí)體積單位”一課中，追問(wèn)“認(rèn)識(shí)單位是為了測(cè)量需要，那么學(xué)習(xí)目標(biāo)就僅僅是學(xué)會(huì)測(cè)量嗎？”學(xué)生就能感知測(cè)量的量化本質(zhì)，提煉量化的一般路徑，即定標(biāo)準(zhǔn)、去測(cè)量、得結(jié)果，并順勢(shì)反思所有計(jì)量單位，從而發(fā)現(xiàn)：規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)量，其實(shí)是量化世界的起點(diǎn)和工具。這樣的追問(wèn)，層層剝繭，厘清了知識(shí)背后蘊(yùn)含的本質(zhì)。

二問(wèn)“為什么”，如“釘子板上的多邊形”一課中，追問(wèn)：“當(dāng)內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為1時(shí)，為什么存在S=n÷2這個(gè)規(guī)律？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部格點(diǎn)與圖形邊上的頂點(diǎn)連成獨(dú)立的三角形，三角形的個(gè)數(shù)等于邊上的點(diǎn)子數(shù)，而面積恰好是點(diǎn)子數(shù)的一半。這樣的追問(wèn)，追本溯源，實(shí)現(xiàn)思維的靈活通透。

三問(wèn)“還有什么”，這里可以分為三次。首先是追問(wèn)“教材”，如計(jì)算“24×12”，追問(wèn)：“還可以怎樣計(jì)算呢？”順勢(shì)介紹鋪地錦的方法、十字交叉相乘的方法、畫(huà)圖表征的方法等，引導(dǎo)學(xué)生感知方法外在多樣，但數(shù)位內(nèi)在對(duì)齊;其次是追問(wèn)“過(guò)程”，如“三角形的面積計(jì)算”一課中，追問(wèn)：“三角形可以等面積轉(zhuǎn)化嗎？又該怎么轉(zhuǎn)化？教材為什么選擇和推薦非等面積轉(zhuǎn)化呢？”引導(dǎo)學(xué)生感知方法雖然不同，但是轉(zhuǎn)化成已知圖形的方向是一致的;最后追問(wèn)“結(jié)果”，如“確定位置”一課中，追問(wèn)：“為什么學(xué)習(xí)了用數(shù)對(duì)確定位置，還要學(xué)習(xí)用方向和距離確定位置，兩者之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”弄清楚確定位置都需要選擇參照物，在用列和行這一對(duì)數(shù)確定位置時(shí)，參照的點(diǎn)是相對(duì)靜止的，而在方向和距離確定位置時(shí)，可以根據(jù)需要選擇合適的參照點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感知平面內(nèi)確定位置的共性特征和個(gè)性特點(diǎn)。這樣的追問(wèn)，能幫助學(xué)生開(kāi)闊視野，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)視界。

從視域融合的角度看，“去數(shù)學(xué)化”恰好反映了“數(shù)學(xué)化”教學(xué)中的不足，對(duì)“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象的深度掃描，能夠幫助“當(dāng)局者”更清醒地認(rèn)識(shí)到實(shí)踐中出現(xiàn)的偏差，而“去數(shù)學(xué)化”的應(yīng)對(duì)策略，其實(shí)是從另外一個(gè)角度為更好地踐行“數(shù)學(xué)化”思想提供了指南。弄清楚了這些，教學(xué)就可以回歸現(xiàn)實(shí)，良性循環(huán)，而不再是不明事理，“毀人”不倦！