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2020-3如圖1 所示，質(zhì)量為M的方塊以速度U與靜止的質(zhì)量為m的方塊相撞。然后質(zhì)量為m的方塊與側(cè)壁相撞，等等。整個過程完全彈性。求證：當M/m ?1 時，總碰撞次數(shù)N與圓周率π之間有漸近關(guān)系式

(當M/m=102k(k=1,2,···)時，計算表明，N就是π 之小數(shù)點向后移k位所得之整數(shù)。) (供稿：岳曾元)

圖1 初始狀態(tài)

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* 《小問題》2020-2解答 *

問題：如圖1所示，一陀螺由質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤(厚度可不計)及通過盤心且與盤面垂直的直桿AB剛連后組成。直桿AB長為l，質(zhì)量忽略不計，設(shè)l>r/2。陀螺鉸接于鉛垂軸Z上，當Z軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時，求：

(1) 陀螺的平衡位置(用AB桿與Z軸的交角θ表示)，并分析其穩(wěn)定性。

(2)陀螺在穩(wěn)定平衡位置附近微振動的圓頻率。

(選自上海交通大學吳鎮(zhèn)編《理論力學》下冊22-22題，由江蘇大學張孝祖改編并提供解答)

圖1

解答：(1)陀螺繞A點作定點運動，建立陀螺的慣性主軸坐標系A(chǔ)xyz，如圖2 所示，x軸垂直于桿AB與Z軸所決定的平面。陀螺對三個主軸的慣量為故有Jx=Jy >Jz。系統(tǒng)有1個自由度，取AB桿與Z軸夾角θ為廣義坐標。

陀螺角速度矢?= ˙θi+ωsinθj+ωcosθk

陀螺動量矩H=Jx˙θi+Jyωsinθj+Jzωcosθk

陀螺動能

以A點為零勢能位形，陀螺勢能

由于系統(tǒng)為非定常約束，陀螺動能T為的非齊次二次式

故系統(tǒng)廣義能量守恒T2?T0+V=常量，即常量。

圖2

其中，

U(θ)為有效勢能，利用U(θ)可確定陀螺的平衡位置及其穩(wěn)定性。

由U′(θ)=0，可得

于是解得陀螺的平衡位置為θ1=0，θ2=π，

(另一平衡位置=?θ3不再討論)

由U′′(θ2) =[(?Jy+Jz)ω2?mgl]可知，因Jy >Jz，有U′′(θ2)<0，故θ2=π的平衡位置是不穩(wěn)定的，物理上不可實現(xiàn)。

(2)用U′′(θ)可求出陀螺在穩(wěn)定平衡位置附近作微振動的圓頻率。