周克民

(華僑大學土木工程學院，廈門361021)

題目

勻速直線騎行自行車，當自行車側向傾斜時，分析人和車從傾斜狀態(tài)恢復豎直狀態(tài)的動力學過程及其恢復過程主要受哪些因素影響。這個問題更通俗的說法就是“騎行的自行車為什么可以不倒？”

解答

自行車曾經作為我們的主要交通工具，我們大家基本都會騎行。但是，許多人對自行車的一些基本原理卻不十分清楚，感覺不好理解。經過一百多年的研究，許多學者從不同角度研究了各種因素的影響，其基本原理已經有了許多解釋，讀者可以詳見劉延柱的論文[1]。劉延柱從動力學角度給出了基本動力學方程. 黃紹書將問題簡化為定點運動[2]。但要讀懂這些推導過程需要一定的力學基礎。本文以較通俗的形式解釋了其基本原理。希望有大學物理學基礎的大學生也能夠讀懂。

首先給出最通俗的解釋。當你被別人在背后猛推一下，你可能會摔倒；如果你的腳快速向前走幾步就不會摔到了。這是因為，身體被外力向前推動的時候，如果腳也跟著同步向前移動，身體形成平動而不是轉動就不會摔倒。自行車側向傾斜時，只要車輪也同時同向移動就不會翻倒。許多人會認為車輪只能向前運動，不能橫向移動，所以大家感覺車會側向翻倒。實際上，車輪在不滑動的情況下也可以側向移動。只要車在向前行駛時，車輪偏轉一些，車輪就可以不僅向前運動，同時也側向(相對原來的運動方向) 移動。由于車身整體都側向移動，而不是轉動當然就不會翻到了。許多初學者學習了理論力學或大學物理課程后，認為車側向傾斜后重力與支撐力不在同一直線上，有了轉動趨勢，應該側向翻倒。他們其實是把系統(tǒng)理解為定軸(點) 運動了，這就錯了。實際上，由于車輪與地面的接觸點是可以移動的，如果其側向移動速度足夠快，系統(tǒng)甚至可以反向傾倒。有些人騎自行車時總覺得不平衡。其實，這本來就不是一個靜力學問題，就是不平衡。這是由于大家直接用靜力學的概念來解釋這個動力學現象了，所以就無法理解了。

下面給出一個略嚴格的理論推導。取坐標系：騎行方向為x軸，側向為y軸，豎直方向為z軸。為了便于理解，本文略去次要因素，將問題簡化，做如下一些假設：

(1) 在運動分析中，車與騎行人為一個剛體稱為系統(tǒng)；

(2) 系統(tǒng)質心在騎行方向的速度大小不變；

(3) 系統(tǒng)傾角很小，所以忽略系統(tǒng)重心高度變化。

這些假設一般對分析結果影響不大，但是可以顯著簡化推導過程和結論。根據假設(3)，質心在同一個水平面內運動；根據假設(2)，我們可以只在yoz平面內進行系統(tǒng)動力分析。系統(tǒng)受力分析如圖1 所示，A點為車輪與地面的接觸點，o為系統(tǒng)的重心，重心的高度為H，自行車傾角為φ。

圖1 受力分析(前視圖)

Ff為摩擦力，FN為支撐力，v為質心速度，m為系統(tǒng)質量，系統(tǒng)繞過質心的x軸回轉半徑為ρ，系統(tǒng)質心運動的曲率半徑為R（如圖2所示）。對系統(tǒng)建立質心運動方程和動量矩方程如下

圖2 運動幾何關系(俯視圖)

圖1 中的FI就是向心力，用虛線表示，它并沒有直接反映在上述平衡方程中。因為它是虛擬的力，并不真實存在，只是為了能夠用靜力學直觀理解曲線運動的動力學現象而虛擬的力?？梢越獾?/p>

顯然，就反映了系統(tǒng)恢復豎直位置的加速度。車行駛速度v越大，系統(tǒng)恢復豎直位置越快，反之則慢。當速度為零時

不能恢復豎直位置。就是說，車只有行進中才能恢復豎直位置。能夠恢復豎直位置的條件是

由此解得

式(5)還可以進一步簡化。如圖2所示，假設車把轉過的角度為θ(近似表示車輪繞z軸的方向轉角)，前后兩個車輪軸距為s。用這個距離近似表示質心圓周運動時的弧長。根據幾何關系近似有

所以，式(5)成為

這就是說，車速v越快，車把需要轉過的角度θ越小，這樣行駛的軌跡就越直。反之則需要“蛇”形行進才能維持不倒。另外，車的傾斜角度φ越大，車回到豎直位置需要的車速v和轉角θ就越大。

式(4)可以更直觀地用離心力解釋。圖1中的虛線為離心力FI=mv2/R，就是恢復力。重力mg是傾倒力。由于離心力不是實際存在的力，圖中用虛線表示，在前面的受力分析中沒有計入。引入離心力的概念后，系統(tǒng)就可以做為靜平衡問題處理了。這時，可以直觀地理解為離心力和重力的力矩平衡，所以就不傾倒了。

還有些學生可能不理解產生水平摩擦力Ff的原因。如果沒有水平摩擦力，按照質心運動定律，質心應該沿豎直方向下降。這時車輪與地面的接觸點就只能水平方向移動。這個車輪與地面的相對運動趨勢就會產生摩擦力。

下面簡單分析一下本文簡化的合理性。自行車輪半徑按照0.33 m 計算，在直線行駛時軌跡半徑很容易達到這個半徑的20倍。所以車輪繞轉軸的動量矩相對于另兩個正交軸的動量矩小很多，所以陀螺效應是次要因素。

為了避免側向滑到，車把轉角也不能太大，應滿足式(8)。式(7)和式(8)結合得到

式(9)表示傾斜角不應超過摩擦角，否則就會滑倒。式(9)的直觀解釋就是車的全支反力要通過質心。

本文用較簡單的方法分析了行進中的自行車在傾倒時恢復豎直位置過程中的動力學原理。略去了一些次要因素。作為科學研究還應該做更精確的定量計算，并結合試驗分析。