劉延柱

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海200240)

1945年，一位叫詹姆斯的美國工程師偶然發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣現(xiàn)象，創(chuàng)造了一個(gè)取名slinky的新玩具[1]。剛一出現(xiàn)它就被搶購一空，幾年內(nèi)售出上億只，成為20世紀(jì)美國發(fā)明的著名玩具之一。它的新奇之處是能自動(dòng)下樓梯，動(dòng)作十分詭異，曾獲得“機(jī)靈鬼”的俏皮譯名。后來涂上鮮艷的彩色，彎成弧形，如同天上的彩虹而有了“彩虹圈”這個(gè)更好聽的名稱。

彩虹圈是一個(gè)用金屬絲或扁塑料帶制成的軟彈簧(圖1)。它極其柔軟，剛度僅為普通彈簧的百分之一。不受力時(shí)所有的螺圈相互接觸，因此只能拉伸不能壓縮。將彈簧折彎，雙手托住彈簧的兩端上下移動(dòng)時(shí)，可以觀察到螺圈向左或向右急速翻滾。將彩虹圈的兩端置于樓梯頂部不同高度的兩級臺階上，放手后其高端會(huì)突然躍起，彎曲，下降到低處臺階，然后另一端躍起，不斷重復(fù)，直至樓梯的最底部完成下樓動(dòng)作。

近來發(fā)現(xiàn)了彩虹圈又一個(gè)特殊本領(lǐng)。據(jù)網(wǎng)絡(luò)報(bào)導(dǎo)，有人出于好奇將彩虹圈放在跑步機(jī)的傳送帶上，驚奇地看到它能不停向前翻筋斗，如同人的左右腿交替邁步似地走動(dòng)起來(圖2)[2]。報(bào)導(dǎo)中說明，做實(shí)驗(yàn)的跑步機(jī)后部必須墊高使傳送帶傾斜。彩虹圈在傾斜傳送帶上行走就和下樓有了相似之處，均為從高處往下降。差別在于，水平的臺階平面變成了斜面，固定支承變成了動(dòng)支承。彩虹圈仿佛在一個(gè)無限延長的自行坡道上行走。筆者曾對彩虹圈的自動(dòng)下樓現(xiàn)象做過解釋[3-4]，本文對跑步機(jī)上的行走現(xiàn)象再做些分析。

圖1 平面上的彩虹圈

圖2 傾斜傳送帶上的彩虹圈

將彎成弧形的彩虹圈放在傾斜角為β的傳送帶上，可看到接觸面附近的彈簧壓緊形成短圓柱，前方圓柱的高度大于后方，其余部分變形為圓拱狀。以圓弧最高點(diǎn)C處的截面為界，將彩虹圈劃分為前后兩個(gè)隔離體。將較短的后半段記作A，前半段記作B(圖2)，質(zhì)量分別為m1和m2，m1< m2。為便于分析，將圓拱部分視為連續(xù)的彈性體。由于彎曲變形，C截面有彎矩產(chǎn)生，將B作用于A的彎矩記作M1，A作用于B的彎矩為M2=?M1。彎矩的模均為kσ，以同一符號M表示。k和σ分別為彩虹圈的抗彎剛度和C截面處中心線的曲率。C截面處軟彈簧的軸向拉力遠(yuǎn)小于重力和支承力，為簡化分析予以忽略，其對質(zhì)心的力矩設(shè)已被包含在彎矩項(xiàng)M1和M2之內(nèi)。

以速度v向后勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶作為參考系。先考慮A段，設(shè)端部的法向約束力為Fn1，傳送帶運(yùn)動(dòng)引起的切向摩擦力為Ft1(圖3)。Fn1在端面上的作用點(diǎn)為P1，端面中心為O1，質(zhì)心Oc1在端面上的垂足為Q1，定義以下線段

列寫彩虹圈的平衡方程

法向約束力Fn1僅當(dāng)作用點(diǎn)P1在端部的接觸范圍以內(nèi)時(shí)方可能產(chǎn)生，即a1必須小于端部圓環(huán)的半徑R。從方程組(2)解出a1，得到A段與傳送帶保持接觸的必要條件

對B段作類似分析，將各字符的下標(biāo)1 換成2。得到類似的約束存在條件，僅第3 項(xiàng)的正號變?yōu)樨?fù)號，即

如傳送帶水平，即β=0，則A段與B段完全對稱，如圖1。m1和m2均為總質(zhì)量之半，記作m0，且a1和a2，b1和b2相等，分別記作a0和b0，條件(3)和(4)均簡化為同一條件

如彩虹圈在勻速運(yùn)動(dòng)的水平面上能保持平衡，表明此條件已自行滿足。

圖3 彩虹圈A 段和B 段的受力圖

若傳送帶傾斜，β0，則A段與B段不再對稱。就B段而言，將式(4)與式(5)對比，因m2> m0，且增加的第3項(xiàng)為負(fù)值，則a2a0，且隨β的增加而變大。當(dāng)a1增大到等于R時(shí)，作用點(diǎn)P1移至端面的邊緣。再增大β，條件(3)即不再滿足，P1點(diǎn)移至接觸面范圍之外使法向約束力Fn1消失。A段的約束一旦解除，在力矩M1的驅(qū)動(dòng)下必脫離傳送帶向前方加速轉(zhuǎn)動(dòng)，直至端部再次與傳送帶接觸，轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌募s束狀況。

在上述運(yùn)動(dòng)過程中，前方的B段起支承腿作用，后方的A段相當(dāng)于擺動(dòng)腿。當(dāng)A段擺動(dòng)到前方再次與傳送帶接觸時(shí)，彩虹圈就完成一個(gè)走步。接著A段和B段互換角色，A段變?yōu)橹С型?，B段變?yōu)閿[動(dòng)腿。前后段與傳送帶之間的約束從產(chǎn)生到消失再到產(chǎn)生，不斷周期性循環(huán)，彩虹圈就能繼續(xù)不斷地向前跨步。約束狀態(tài)在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生變化的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)稱為變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。能自動(dòng)下樓和在跑步機(jī)上行走的彩虹圈就是典型的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

除了會(huì)下樓和走步，彩虹圈還有別的一些奇特現(xiàn)象。例如手執(zhí)彩虹圈一端使其向下懸垂。突然松手，彩虹圈不立即下落，而是在空中保持片刻靜止。同時(shí)各圈從頂端開始依次向下壓縮彈簧，直至壓縮到最下端后方開始下落。要解釋此現(xiàn)象，可先觀察一下懸垂的彈簧在重力作用下的間距變化(圖4)。最上一圈彈簧因承受彩虹圈的全部重量，有最大的拉力和間距。隨后往下遞減，至最下端彈簧拉力減小到僅與單個(gè)環(huán)的重力平衡。在松手的剎那，失去支承力的最上圈被彈簧拉動(dòng)產(chǎn)生最大加速度，往下加速度依次遞減。以致各圈從頂端開始依次往下壓縮。當(dāng)壓縮引起的彈簧間距變化傳到最下圈以前，最下圈的初加速度和初速度均為零，仍保持瞬間靜止。壓縮過程中因總質(zhì)心下移產(chǎn)生的慣性力與重力平衡。待短暫的壓縮過程結(jié)束時(shí)，彩虹環(huán)方開始整體的自由落體運(yùn)動(dòng)。

圖4 懸垂的彩虹圈