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一、問題分析

該問題要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的具體地點(diǎn)與日期。

采用超定方程組求解。但所求地理位置與日期不準(zhǔn)確，存在所求點(diǎn)位于夜半球等情況，與實(shí)際情況與地理常識(shí)不符。未知量增多，除卻求直桿經(jīng)度、緯度、桿長(zhǎng)，還需求出拍攝日期。且目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)，為多變量復(fù)雜優(yōu)化問題，故采用模擬退火（Simulated Annealing Algorithm）解決該問題。

二、模型建立與求解

（一）模型的準(zhǔn)備

1、對(duì)直桿所處地理位置進(jìn)行范圍縮小

基于太陽(yáng)直射點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，北京時(shí)間為12：41時(shí)，求得109.75°E時(shí)間為12：00，進(jìn)而推算出晝半球范圍為（19.75°E，161.25°W），而只有西晝半球會(huì)隨著地球自轉(zhuǎn)，影子逐漸變短，符合附件二影長(zhǎng)變化規(guī)律，直桿合理位置精確至（19.75°E，109.75°E）。進(jìn)一步精確范圍，由于該題以一個(gè)小時(shí)為時(shí)間間隔，（94.75°E，109.75°E）會(huì)在一個(gè)小時(shí)內(nèi)隨地球自轉(zhuǎn)進(jìn)入夜晚，后期影子會(huì)逐步消失，與附件二所給影長(zhǎng)一直減短的趨勢(shì)矛盾。最終，直桿合理位置精確至（19.75°E，94.75°E）。

2、對(duì)直桿所處地理位置進(jìn)行范圍縮小

北京時(shí)間為13：09時(shí)，求得102.75°E時(shí)間為12：00，進(jìn)而推算出東晝半球范圍為（102.75°E，167.25°W），因?yàn)橹挥袞|晝半球會(huì)隨著地球自轉(zhuǎn)，影子逐漸變長(zhǎng)，符合附件三影長(zhǎng)逐步延伸的規(guī)律。進(jìn)一步精確范圍，由于該題以一個(gè)小時(shí)為時(shí)間間隔，（177.75°E，167.25°W）會(huì)在一個(gè)小時(shí)內(nèi)隨地球自轉(zhuǎn)進(jìn)入夜晚，后期影子會(huì)逐步消失，與附件三所給影長(zhǎng)一直延伸的趨勢(shì)矛盾。最終，直桿合理位置精確至（102.75°E，177.75°E）。

（二）基于模擬退火建立確定直桿日期的模型

模擬退火算法是通過賦予搜索過程一種時(shí)變且最終趨于零的概率突跳性，從而可有效避免陷入局部極小并最終趨于全局最優(yōu)的串行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化算法。具體解題步驟如下：

Step1：建立解空間。

依據(jù)附件二與附件三所給直桿影長(zhǎng)值，以及模型準(zhǔn)備階段已經(jīng)確立的附件二直桿所處位置合理的經(jīng)度范圍（19.75°E，94.75°E），附件三直桿所處位置合理的經(jīng)度范圍（102.75°E，177.75°E），建立解空間如下：

利用選定的降溫系數(shù)α[進(jìn)行降溫，取新的溫度K為αK（這里K為上一步迭代的溫度），這里選定α=0.999。

Step6：結(jié)束條件。

用選定的終止溫度e=1013。，判斷退火過程是否結(jié)束。若K

（三）確定直桿日期模型的結(jié)果分析

1、結(jié)果分析

基于模擬退火法在全局范圍內(nèi)搜索，找到直桿所處地理位置與所在日期的最優(yōu)解，如下表所示：

表1 直桿地理位置

分析上表可知，6月21日在（35.45°N，38.99°E）處存在一長(zhǎng)為0.672米的直桿;12月21日在（35.77°N，38.73°E）處存在一長(zhǎng)為0.669米的直桿。

根據(jù)上述結(jié)果全面思考，當(dāng)6月21日時(shí)太陽(yáng)直射緯度為23.25°N，基于假設(shè)1地球是一個(gè)規(guī)則球體，以太陽(yáng)直射緯度23 25。N為對(duì)稱軸，存在與（35.45°N，38.99°E）南北對(duì)稱的另外一點(diǎn);同理，12月21日時(shí)太陽(yáng)直射緯度為23.25°S，以太陽(yáng)直射緯度23.25°S為對(duì)稱軸，也存在與（35.77°N，38.73°E）南北對(duì)稱的另外一點(diǎn)：

表2 關(guān)于太陽(yáng)直射緯度對(duì)稱的直桿位置

2、結(jié)果分析

基于模擬退火在全局范圍搜索，找到附件三直桿所處地理位置與所在日期的最優(yōu)解，如下表所示：

表3 直桿地理位置

分析上表可知，6月21日在（57.99°S，102.32°E）處存在一長(zhǎng)為0.3米的直桿;3月29日在（23.16°N，120.17°E）處存在一長(zhǎng)為4.34米的直桿;12月20日在（58.20°N，101.99°E）處存在一長(zhǎng)為0.28米的直桿。

觀察所求位置深入思考，當(dāng)6月21日時(shí)太陽(yáng)直射緯度為57.99°S，基于假設(shè)1地球是一個(gè)規(guī)則球體，以太陽(yáng)直射緯度57.99°S為對(duì)稱軸，不存在與（57.99°S，102.32°E）南北對(duì)稱的另外一點(diǎn);當(dāng)12月20日時(shí)太陽(yáng)直射緯度為58.20°N，以太陽(yáng)直射緯度58.20°N為對(duì)稱軸，不存在與（58.20°N，101.99°E）南北對(duì)稱的另外一點(diǎn);當(dāng)3月29日時(shí)太陽(yáng)直射緯度為23.16°N，以太陽(yáng)直射緯度23.16°N為對(duì)稱軸，存在與（23.16°N，120.17°E）南北對(duì)稱的一點(diǎn)，該點(diǎn)具體信息為：日期為3月29日，直桿長(zhǎng)為434米，位于（20.02°S，120.17°E）。故直桿可能存在的位置共有四個(gè)。