胡開鑫 吳 丹

(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波315211)

流體力學(xué)是研究流體在靜止和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及流體與固壁相互作用力的一門學(xué)科，在機(jī)械、能源、汽車、化工、航空、航天等諸多領(lǐng)域有著極廣泛的應(yīng)用[1]。該課程是力學(xué)、機(jī)械等專業(yè)本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課程。由于其涉及數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)等內(nèi)容，概念多，公式推導(dǎo)繁瑣，理論性強(qiáng)，實(shí)際應(yīng)用廣，對(duì)學(xué)生綜合利用知識(shí)的要求較高，是普遍公認(rèn)的教師難教、學(xué)生難學(xué)的課程之一[2]。

筆者從2016 年起承擔(dān)寧波大學(xué)機(jī)械學(xué)院力學(xué)、機(jī)械和車輛三個(gè)專業(yè)的本科生流體力學(xué)課程的教學(xué)工作。這門課程是學(xué)生在本科期間唯一的一門流體課程。如何在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)深入淺出地講解新理論，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)生的積極性和主動(dòng)性以增強(qiáng)教學(xué)效果，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)并培養(yǎng)研究能力，是當(dāng)前流體力學(xué)教學(xué)工作者急需要考慮的問題。

課堂教學(xué)使我們意識(shí)到：學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)基礎(chǔ)理論時(shí)感到困難往往是由于他們對(duì)以往學(xué)過的理論力學(xué)、材料力學(xué)等課程的基礎(chǔ)知識(shí)和概念已經(jīng)生疏。如果在講授流體力學(xué)知識(shí)的同時(shí)，將其他力學(xué)課程的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)和比較，可以“溫故而知新”。事實(shí)上，各門力學(xué)學(xué)科之間本身就具有很強(qiáng)的內(nèi)在聯(lián)系性，著名物理學(xué)家、量子理論創(chuàng)始人普朗克說：“科學(xué)是內(nèi)在的整體。它被分解為單獨(dú)的部分不是取決于事物的本質(zhì)，而是取決于人類認(rèn)識(shí)能力的局限性。實(shí)際上存在著由物理、化學(xué)，通過生物學(xué)和人類學(xué)到社會(huì)科學(xué)的連續(xù)的鏈條。”對(duì)于力學(xué)的各門分支學(xué)科而言，從概念、方法到公式、定理都具有巨大的相通性，完全可以在教學(xué)中融合交叉[3]。

在研究生面試和指導(dǎo)研究生科研的過程中，我們發(fā)現(xiàn)多數(shù)力學(xué)、機(jī)械專業(yè)的學(xué)生盡管在本科階段學(xué)習(xí)過多門力學(xué)課程，但一兩年后對(duì)這些學(xué)科只依稀記得幾個(gè)專業(yè)名詞，而將基本概念、方法幾乎全部遺忘。造成這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是學(xué)生沒有在各門力學(xué)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)之間建立起足夠的聯(lián)系，未能構(gòu)建有效知識(shí)體系，從而造成迅速遺忘。如果在教學(xué)過程中讓學(xué)生有機(jī)會(huì)對(duì)各門力學(xué)進(jìn)行對(duì)比、分析，將會(huì)十分有助于知識(shí)的融會(huì)貫通，形成長(zhǎng)期記憶。

當(dāng)前流體力學(xué)與其他學(xué)科的交叉更多的是強(qiáng)調(diào)在科研方面，在教學(xué)方面的交叉研究相對(duì)較少。目前已知的僅有大連理工大學(xué)鄒麗等[4]將流體力學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)物理知識(shí)類比進(jìn)行交叉教學(xué)的研究。筆者認(rèn)為，流體力學(xué)與其他力學(xué)的交叉教學(xué)不僅可以觸類旁通，而且有助于充分利用各門力學(xué)課程知識(shí)間的聯(lián)系，使得學(xué)生獲得對(duì)力學(xué)學(xué)科的整體視野，達(dá)到“一以貫之”的效果。以下是將流體力學(xué)與理論力學(xué)、材料力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)進(jìn)行交叉教學(xué)的案例。

1 交叉教學(xué)的案例

1.1 流體力學(xué)和理論力學(xué)的交叉教學(xué)

流體力學(xué)概念和知識(shí)繁復(fù)，初學(xué)者往往會(huì)在各種公式推導(dǎo)的細(xì)節(jié)中花費(fèi)大量精力，而缺乏對(duì)學(xué)科整體內(nèi)容的把握。為了避免這種“只見樹木，不見森林”的不良教學(xué)效果，我們嘗試了以理論力學(xué)為出發(fā)點(diǎn)來導(dǎo)出流體力學(xué)知識(shí)。

理論力學(xué)是包括流體力學(xué)在內(nèi)的其他各門力學(xué)的基礎(chǔ)，兩者的理論體系也存在諸多相似性(見表1)。在介紹流體力學(xué)基礎(chǔ)理論時(shí)，我們參照理論力學(xué)，將主要內(nèi)容分成：運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)三部分；在介紹流體運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)，又將內(nèi)容分成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和微團(tuán)運(yùn)動(dòng)兩部分，并分別與理論力學(xué)中的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)兩部分對(duì)應(yīng)；在介紹動(dòng)力學(xué)時(shí)，將兩門學(xué)科的方程都總結(jié)為質(zhì)量、動(dòng)量、動(dòng)量矩和能量的守恒定律，并說明在理論力學(xué)中質(zhì)量守恒已隱含(牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》提出的牛頓第二定律原始公式是F= d(mv)/dt，只有在質(zhì)量為常數(shù)的條件下才能簡(jiǎn)化為理論力學(xué)中的常用形式：F=ma，故質(zhì)量守恒已經(jīng)隱含)，因此不需要單獨(dú)寫出。

筆者還介紹了其他流體力學(xué)知識(shí)和理論力學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系。比如表1 在具體介紹流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)，將“質(zhì)點(diǎn)”、“跡線”、“拉格朗日描述”、“物質(zhì)導(dǎo)數(shù)”等基本概念從理論力學(xué)出發(fā)而導(dǎo)出，可以使得這些流體力學(xué)的重要概念從理論力學(xué)中找到源頭，建立起知識(shí)的連續(xù)性。從課后作業(yè)中我們發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)明顯提高了學(xué)生對(duì)基本概念的接受程度。

表1 理論力學(xué)與流體力學(xué)理論體系的對(duì)比

赫姆霍茲速度分解定理是流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)學(xué)中最重要的知識(shí)

式(1)表示：流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)和變形三部分。其中涉及矢量分析、矩陣分解、實(shí)對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的數(shù)學(xué)理論及物理意義。理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中每一部分的物理意義是該部分教學(xué)的難點(diǎn)。在這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，我們首先將流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)學(xué)與理論力學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行比較，使學(xué)生意識(shí)到平移和旋轉(zhuǎn)是兩者共同具有的部分，兩者差別在于前者只是比后者多一個(gè)變形而已。而對(duì)于變形(線變形和角變形)的分析，學(xué)生已在材料力學(xué)學(xué)過，就不會(huì)感到太困難。這樣在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，學(xué)生就會(huì)很容易明白參考點(diǎn)速度v(r)對(duì)應(yīng)平移，反對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)剛性旋轉(zhuǎn)，而對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)流體瞬間的變形。

1.2 流體力學(xué)和材料力學(xué)的交叉教學(xué)

材料力學(xué)和流體力學(xué)都以連續(xù)介質(zhì)假設(shè)作為理論基礎(chǔ)。在原蘇聯(lián)力學(xué)教學(xué)體系中，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)曾作為單獨(dú)的一門課程[5]，但目前國(guó)內(nèi)普遍將材料力學(xué)和流體力學(xué)分開教學(xué)。其實(shí)，將兩者的基礎(chǔ)部分特別是變形、本構(gòu)理論來對(duì)比、交叉教學(xué)，不僅可以提升教學(xué)進(jìn)度，而且可以加深學(xué)生對(duì)流體和固體的理解。

在流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論中，應(yīng)變率張量的內(nèi)容公式較多，初學(xué)者往往記不住各部分公式細(xì)節(jié)，更難以理解數(shù)學(xué)公式背后的物理意義。通常，力學(xué)和機(jī)械等專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)之前都已上過材料力學(xué)的課程，對(duì)應(yīng)力、應(yīng)變的概念已有了一定程度的了解。我們?cè)谶@部分教學(xué)過程中先讓學(xué)生復(fù)習(xí)材料力學(xué)中應(yīng)變理論的內(nèi)容，然后讓多名學(xué)生到黑板前推導(dǎo)應(yīng)變矩陣并解釋各部分的物理意義。由于有了材料力學(xué)的基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生在一定的提示下可以完成該部分的推導(dǎo)。然后通過設(shè)物質(zhì)變形為無窮小而對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，便可以由應(yīng)變得到應(yīng)變率。最后還比較了應(yīng)變張量和應(yīng)變率張量的數(shù)學(xué)性質(zhì)：兩者同為實(shí)對(duì)稱矩陣，因此都具有主特征值、主軸、不變量等性質(zhì)。

流體力學(xué)和材料力學(xué)都會(huì)涉及物質(zhì)的本構(gòu)方程。牛頓內(nèi)摩擦定律和胡克定律分別是流體和固體最簡(jiǎn)單的本構(gòu)方程。我們?cè)诮榻B流體黏性時(shí)讓學(xué)生從多個(gè)方面比較了兩者的異同(見表2)，并向?qū)W生說明了流體與固體最重要的區(qū)別：在外加一定應(yīng)力下，固體變形有限，而流體可以持續(xù)變形。流體和固體的本構(gòu)對(duì)比還可以解決“先有應(yīng)力還是先有應(yīng)變”的爭(zhēng)論：對(duì)于固體本構(gòu)理論，通常是應(yīng)力、應(yīng)變同時(shí)存在；而對(duì)于流體，可以先有應(yīng)力(只要有應(yīng)變率)，后有應(yīng)變。通過上述對(duì)比交叉教學(xué)，學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)積極性有明顯提升。

這種“在復(fù)習(xí)材料力學(xué)基礎(chǔ)上導(dǎo)出流體力學(xué)知識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)在教學(xué)方法上改變了以往老師講、學(xué)生聽的單一模式，讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過程中，最大程度發(fā)揮了學(xué)生自主性；在知識(shí)內(nèi)容上將兩門課程的知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，使得學(xué)生在復(fù)習(xí)原有知識(shí)的同時(shí)，輕松掌握了應(yīng)變率張量推導(dǎo)的來龍去脈及各種數(shù)學(xué)性質(zhì)。

表2 胡克定律與牛頓內(nèi)摩擦定律的對(duì)比

1.3 流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的交叉教學(xué)

流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)具有很深的淵源。在歷史上，流體力學(xué)的發(fā)展早于電動(dòng)力學(xué)。牛頓在1687年出版的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中已建立了前者的基本概念和理論[6]。1847年，湯姆遜意識(shí)到了電磁現(xiàn)象和流體運(yùn)動(dòng)的相似性[7]。而后受湯姆遜工作的啟發(fā)，麥克斯韋將流體力學(xué)中通量、環(huán)流、散度和旋度等基本概念應(yīng)用到電磁學(xué)中，在1873年發(fā)表的《電磁學(xué)專論》中正式提出了電動(dòng)力學(xué)的基本方程[8]。

盡管力學(xué)、機(jī)械專業(yè)一般不設(shè)置專門的電動(dòng)力學(xué)課程，但是學(xué)生大都在大學(xué)物理的課程中學(xué)習(xí)過電磁場(chǎng)和麥克斯韋方程組的基本知識(shí)。與歷史上兩門學(xué)科發(fā)展的順序相反，理工科學(xué)生的大學(xué)物理課程一般放在大一，而流體力學(xué)課程則在大三，因此，了解麥克斯韋方程組的時(shí)間反而早于學(xué)習(xí)流體力學(xué)。介紹麥克斯韋建立電動(dòng)力學(xué)理論的過程，不僅可以為學(xué)生展示流體力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的歷史淵源以及基本概念的相似性，還將十分有助于學(xué)生對(duì)兩門學(xué)科的深化理解，并培養(yǎng)類比、聯(lián)想等學(xué)習(xí)和研究能力。

在講授流體速度場(chǎng)的理論時(shí)，旋度和散度是初學(xué)者感覺頗有難度的知識(shí)。它們不僅涉及標(biāo)量、矢量、點(diǎn)乘、叉乘、梯度算子等數(shù)學(xué)概念，還具有深刻的物理意義。如：不可壓縮流體的速度場(chǎng)散度為0，而流體速度場(chǎng)的旋度反映流體微團(tuán)的剛性旋轉(zhuǎn)。為了使得學(xué)生更好地理解這部分內(nèi)容，筆者給學(xué)生復(fù)習(xí)了電動(dòng)力學(xué)中的麥克斯韋方程組，并介紹了該方程組的發(fā)現(xiàn)歷史：麥克斯韋精通流體力學(xué)，他將法拉第提出的“磁力線”與流體速度場(chǎng)進(jìn)行類比，還受流體中的渦啟發(fā)而提出“渦旋電場(chǎng)”[9]，從而建立了以他名字命名的方程組。該方程組被譽(yù)為人類歷史上最優(yōu)美的方程之一，而其基本概念都源自流體力學(xué)。在教學(xué)過程中，通過對(duì)比電流激發(fā)的磁場(chǎng)與渦的流線(如圖1)，以及磁場(chǎng)散度方程?·B=0 與不可壓縮流體的連續(xù)性方程?·u=0，可以使得學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)與流場(chǎng)的相似性有進(jìn)一步的了解。

圖1 電流激發(fā)的磁場(chǎng)與不可壓縮無旋運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)渦流場(chǎng)的對(duì)比

圖2 機(jī)翼的升力與運(yùn)動(dòng)電荷受到洛倫茲力對(duì)比

2 教學(xué)效果

交叉教學(xué)取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果。2018年，在筆者指導(dǎo)的本科生中有1 人以第一作者在流體力學(xué)頂級(jí)期刊Physics of Fluids上發(fā)表科研論文，另有4 人次在國(guó)際和國(guó)內(nèi)的流體力學(xué)會(huì)議上做了口頭報(bào)告。在全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽中，獲得的全國(guó)獎(jiǎng)項(xiàng)也從2017年的16項(xiàng)增加到2019 年的33項(xiàng)。這顯示了學(xué)生不僅對(duì)流體力學(xué)的學(xué)習(xí)更加積極主動(dòng)，對(duì)其他力學(xué)課程知識(shí)的掌握程度也得到了很好的提升。

3 結(jié)語(yǔ)

流體力學(xué)和其他力學(xué)交叉教學(xué)的方法得到了廣大學(xué)生的好評(píng)。2019年，筆者作為該課程的主講教師被評(píng)選為學(xué)院“最受學(xué)生喜愛的青年教師”。這既是對(duì)本課程的肯定，也為后續(xù)的教學(xué)方法探索和改進(jìn)積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。希望交叉教學(xué)方法能為其他講授此課程的教師提供一定的幫助。