周恒旭，何志敏，周 燕

(1.佛山科學技術學院自動化學院，廣東 佛山 528225； 2.佛山科學技術學院電子信息工程學院，廣東 佛山 528225)

0 引言

機械臂是融合了機械工程、電子技術、計算機技術和自動控制理論等多學科的技術設備。逆運動學的求解是機械臂領域中的重要問題之一，它關系著機械臂的運動分析、軌跡規(guī)劃和編程控制等任務的進行，尤其是對于6自由度的連桿型機械臂，其逆運動學解最多有16組[1-3]，計算復雜，且不一定具有解析表達式。求解機械臂型機器人的逆運動學解有多種方法，常見有幾何法、代數(shù)法和數(shù)值法。幾何法和代數(shù)法可以求得解析解，故可稱為解析法。解析解為一封閉形式的函數(shù)，因此對任一獨立變量，可將其代入解析函數(shù)求得正確的相應變量，因此，解析解也被稱為閉式解。求解閉式解一般比數(shù)值解快，且容易區(qū)分可能的解，但閉式解的缺點是不通用，對求解的機械臂有限制，需滿足Pieper準則[4]才能具有逆運動學閉式解。有些特種機械臂構型為了擴大末端姿態(tài)調(diào)整范圍，是不滿足Pieper準則的。對于數(shù)值法，它不依賴于特定形式的運動學結構，但求解速度慢，函數(shù)構造復雜。

文獻[5]提出一種旋量理論結合代數(shù)消元求解逆運動學，克服了運動學標定中存在的奇異性問題，但求解過程較為復雜。文獻[6]提出一種四元矩陣和Groebner基的消元法，獲得沒有增根的一元16階方程，但具體操作過于復雜。文獻[7]采用雅克比矩陣偽逆矩陣解決了在奇異處無法求解的情況，但求解角度精度只能達到0.01°級別。文獻[8]提出一種用粒子群優(yōu)化結合BP神經(jīng)網(wǎng)絡求解逆運動學的方法，但關節(jié)角度誤差達到0.1°級別，有待提升。文獻[9]提出一種用人工神經(jīng)網(wǎng)絡求解逆運動學，并取得較好的效果。文獻[10]采用一系列的生成對抗網(wǎng)絡配合真實數(shù)據(jù)求解逆運動學和逆動力學，實驗表明該方法可行且網(wǎng)絡會根據(jù)不同的電機選擇不同的網(wǎng)絡參數(shù)。文獻[11]采用神經(jīng)網(wǎng)絡求解7自由度機械臂的逆運動學。文獻[12]展示基于神經(jīng)網(wǎng)絡求解逆運動學的三節(jié)機械臂能通過奇異點。除了串聯(lián)型機械臂，并聯(lián)型機械臂的運動學也可用神經(jīng)網(wǎng)絡求解[13]。

研究發(fā)現(xiàn)，求解機械臂的逆運動學方法主要是改進迭代法和消元法，但依然存在操作復雜和耗時長等缺點。近年來，深度學習被廣泛地應用在圖像識別和語音識別等領域。理論上，在訓練好的深度神經(jīng)網(wǎng)絡上經(jīng)過1次傳播即可得到相關的映射結果。利用神經(jīng)網(wǎng)絡技術求解機械臂的逆運動學本質(zhì)，是對機械臂工作空間中的笛卡爾坐標系與關節(jié)空間坐標系之間的映射，同時也是同種坐標系下時序值之間的擬合。另外在避免奇異點的問題上，一般采用2種方法：規(guī)劃的路徑盡量避開奇異點；優(yōu)化機械臂逆運動學求解算法，保證奇異點范圍內(nèi)的偽逆解的穩(wěn)定性。而神經(jīng)網(wǎng)絡求解逆運動學的結果是一種偽逆解。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，基于長短期記憶網(wǎng)絡(LSTM)求解機械臂的逆運動學的精度較高。在此，以UR5機械臂為研究對象，提出了一種機械臂逆運動學求解算法。

1 UR5機械臂運動學模型

1.1 UR5機械臂的正運動學

機械臂的運動學方程描述了機械臂的工作空間和關節(jié)空間之間的數(shù)學映射關系。UR5機械臂是典型的開放式鏈式結構，由6個關節(jié)連接各臂，6個關節(jié)輸入角度為θ=[θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6]。UR5機械臂的D-H坐標系如圖1所示。

圖1 UR5機械臂的D-H坐標系

(1)

變換矩陣可被拆分成1個變換鏈：

(2)

根據(jù)UR5機械臂的機械設計參數(shù)和關節(jié)之間的關系，建立能精確描述與實際的UR5拓撲結構相符的D-H表，如表1所示。

表1 UR5機械臂的D-H參數(shù)

表1中，α為機械臂的連桿轉(zhuǎn)角；a為連桿長度；θ為關節(jié)角度；d為連桿偏距。

利用D-H參數(shù)為每個鏈接編寫變換矩陣。臂i-1與臂i之間的變換為

(3)

1.2 UR5機械臂的正運動學驗證

因后續(xù)的訓練集是由MATLAB和robotics toolbox在UR5機械臂的工作空間中獲取的，故必須驗證MATLAB和robotics求解的正運動學數(shù)值是否與由式(1)～式(3)求出的數(shù)值一致。如果不對UR5機械臂的運動學模型進行驗證，則無法說明UR5機械臂的參數(shù)是否有效，也無法獲得有效可靠的訓練數(shù)據(jù)集。隨機取3組關節(jié)角度值(單位為弧度)：θa=[1,1,1,1,1,1]，θb=[2,1.5-1,1.2,-0.7,0.3]，θc=[1.2,-0.7,2.1,-0.3,0.5,-1.3]。將UR5機械臂的D-H參數(shù)與這3組關節(jié)角度值代入式(1)～式(3)，求得變換矩陣。其中，旋轉(zhuǎn)矩陣用偏轉(zhuǎn)角、俯仰角和回轉(zhuǎn)角表示，即x-y-z歐拉角度。整理得UR5機械臂正運動學解如表2所示。

表2 UR5機械臂正運動學解

利用UR5機械臂D-H參數(shù)，在MATLAB與robotics toolbox環(huán)境下進行仿真驗證，輸入同樣的3組關節(jié)角度，求得UR5機械臂位姿，即正運動解，如表3所示。

表3 仿真中的UR5機械臂正運動學解

目前，機械臂重復精度在±0.1 mm之間，絕對精度在±10 mm之間，故表中保留0.1 mm精度。對比表2和表3，發(fā)現(xiàn)根據(jù)公式獲得的正運動學解與仿真環(huán)境得出的正運動學解非常接近，也意味著后續(xù)采集的數(shù)據(jù)集是有效的，同時也印證了UR5機械臂的運動學模型是正確的。

2 訓練數(shù)據(jù)集獲取

2.1 UR5機械臂的工作空間分析

機械臂的工作空間是指機械臂的末端執(zhí)行器所能到達的三維空間范圍。對UR5機械臂工作空間分析是獲取準確訓練數(shù)據(jù)集的前提，只有所有的訓練集數(shù)據(jù)位于UR5機械臂的工作空間內(nèi)，后續(xù)訓練出的網(wǎng)絡模型才具有實際應用意義。

主流的工作空間方法有解析法[14]、數(shù)值法[15]和圖解法[16]，其中數(shù)值法中具有代表性的是蒙特卡洛法[17]。解析法操作煩瑣，實際應用不推薦；圖解法作圖復雜，只適用于自由度較少的機械臂[18]；數(shù)值法是計算工作空間邊界曲面上的點，其理論易理解，但準確性與取點及計算機速度有關[19]；蒙特卡洛法是通過大量隨機的關節(jié)角度值，經(jīng)過正運動學求解來獲取到工作空間里所能到達的點，只要采樣數(shù)據(jù)足夠大，就能充分表示出整個工作空間，同時也有利于收集到大量與關節(jié)空間對應的工作空間的數(shù)據(jù)，即6個關節(jié)角度值對應其變換矩陣。故本文采用蒙特卡洛法收集訓練數(shù)據(jù)集。

在MATLAB中配合robotics toolbox，利用已經(jīng)建立好的UR5機械臂運動學模型，設置其關節(jié)限制角度：θ1=[-180°,180°]，θ2=[0°,90°]，θ3=[-90°,90°]，θ4=[-180°,180°]，θ5=[-90°,90°]，θ6=[0°,360°]。使用蒙特卡羅法，產(chǎn)生各關節(jié)的隨機變量，使用ifine()函數(shù)計算正運動學解，蒙特卡洛隨機采樣點為30 000組，將UR5機械臂的工作空間可視化，如圖2所示。

圖2 UR5機械臂的工作空間

2.2 數(shù)據(jù)集的獲取

記錄每次隨機的關節(jié)角度組和對應所求出的變換矩陣，使用robotics toolbox中的transl()函數(shù)，從變換矩陣中提取出位置矩陣再轉(zhuǎn)置成1×3的位置矩陣，同時使用t2r()函數(shù)，從變換矩陣中提取3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣，再利用tr2rpy()函數(shù)將旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)化為歐拉角。將位置矩陣、歐拉角和關節(jié)角度組保存下來，一共12維30 000組。

3 基于LSTM的機械臂逆解的求解

在深度學習領域里，主流的網(wǎng)絡是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(CNN)與循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(RNN)。RNN網(wǎng)絡能處理記憶信息，而其他類型的神經(jīng)網(wǎng)絡不能處理記憶信息，該特性在時序預測上至關重要，因為時序信息跟前后內(nèi)容相關。另一方面，對于機械臂，其運動過程是一種時序過程，且前后每個關節(jié)的空間變化是相關的。利用RNN網(wǎng)絡，進行機械臂的笛卡爾坐標系與關節(jié)空間坐標系的映射和對應數(shù)值擬合預測是可行的。但是由于RNN網(wǎng)絡有梯度消失的問題，難處理長序列的數(shù)據(jù)，為了解決這一難題，一種時間循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡，即長短期記憶網(wǎng)絡(LSTM)被研究出來[20]。各類LSTM網(wǎng)絡在數(shù)據(jù)預測方面有著較廣泛的應用，如交通流預測和故障預測等[21-22]。

3.1 LSTM網(wǎng)絡的訓練

在時序預測和數(shù)據(jù)擬合方面，LSTM網(wǎng)絡已經(jīng)成為主流的方法之一。LSTM是一種含有LSTM區(qū)塊的神經(jīng)網(wǎng)絡。LSTM區(qū)塊如圖3所示，包含輸入門、遺忘門和輸出門，以及與隱藏信息狀態(tài)形狀相同的記憶細胞單元，從而記錄額外的信息。其中，C同時為控制參數(shù)，決定著信息的保留或遺忘，σ是一種門，決定著信息通過的方式，使用Sigmoid函數(shù)實現(xiàn)該功能的計算。多個LSTM區(qū)塊的連接再配合一些隱含層和全連接層即可組成LSTM網(wǎng)絡。

圖3 LSTM區(qū)塊

利用之前獲得的12維30 000組數(shù)據(jù)集輸入網(wǎng)絡進行訓練，數(shù)據(jù)集前25 000組為訓練集，余下的5 000組為測試集。輸入數(shù)據(jù)為機械臂的工作空間的數(shù)據(jù)[x,y,z,α,β,γ]，標簽數(shù)據(jù)為關節(jié)空間的數(shù)據(jù)[θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6]。

在進行訓練前，需對數(shù)據(jù)進行標準化處理，標準化后的數(shù)據(jù)的均值為0、標準差為1。因訓練數(shù)據(jù)既有位置數(shù)值也有角度數(shù)值，標準化是為了避免某個維度的特征重要程度過大或過小，使得數(shù)據(jù)集里的異常點影響降低。標準化處理的操作如式(4)所示：

(4)

對于式(4)，是對每1列進行操作，mean為平均值，σ為標準差。

為了準確評價預測求解模型的有效性，對每一列的關節(jié)數(shù)據(jù)采用均方誤差(MSE)來評價指標評判模型的預測效果。如式(5)：

(5)

f(x)為網(wǎng)絡模型預測的關節(jié)角度；y為實際關節(jié)角度值；n為樣本數(shù)。

訓練參數(shù)設置為：BATCH_SIZE 為30；隱含層單元CELL_SIZE 為10；學習率LR為0.001。重復進行10次訓練實驗，記錄每1次訓練過程中的訓練誤差和測試誤差求平均，繪制訓練和測試過程誤差如圖4所示，每輪迭代后會使用測試集的數(shù)據(jù)計算模型的MSE。

圖4 訓練和測試過程的誤差損失

圖4中，實線表示訓練過程的MSE變化趨勢，虛線表示測試過程的MSE變化趨勢。對于訓練過程，在迭代400次時，誤差損失從32降低到2左右，在3 000次時，誤差損失達到0.000 5級別時，之后誤差損失并不會出現(xiàn)明顯大幅的下降。對于測試過程，在迭代500次前，測試的MSE趨勢不穩(wěn)定。隨著訓練的增加，測試的MSE不斷下降，在迭代次數(shù)在1 500次之后時趨于平穩(wěn)，其MSE穩(wěn)定在0.005級別?？紤]到這些數(shù)據(jù)是標準后的數(shù)值，0.005級別精度也已經(jīng)達到關節(jié)角度的分單位級別，完全滿足機械臂運動精度要求。

LSTM模型訓練后，接著使用測試集進行預測網(wǎng)絡的測試。以機械臂第1個關節(jié)為例，其測試預測效果如圖5所示。圖5中，實線為LSTM網(wǎng)絡預測的值，虛線為實際值，縱坐標表示標準化處理后的關節(jié)值，橫坐標表示5 000組測試集的前60組數(shù)據(jù)。由圖5可知，實線與虛線基本完全重合，意味著LSTM網(wǎng)絡預測的值十分接近實際值，說明了訓練達到預期效果。同時通過程序查看，可知預測求解值和實際值之差在0.001級別。

圖5 機械臂第1關節(jié)的實際值與LSTM預測值對比

3.2 LSTM網(wǎng)絡的性能對比與分析

單純分析網(wǎng)絡模型訓練后的求解結果，只能說明預測求解精度滿足機械臂運動要求，這并不能完全體現(xiàn)長短期神經(jīng)網(wǎng)絡求解逆運動學的優(yōu)勢。故繼續(xù)對本文所提出的LSTM求解法的進行精度和速度的性能測試。本次實驗硬件為Intel i5-8300H和NVIDIA GTX 1050Ti。

在精度性能方面，對LSTM網(wǎng)絡使進行10次訓練并測試，統(tǒng)計計算其MSE，與經(jīng)典的BP網(wǎng)絡與RBF網(wǎng)絡相互比較，參考文獻[23]的結果，繪制結果對比表，如表4所示。

表4 3種網(wǎng)絡求解結果對比

據(jù)表4分析得知，LSTM的精度遠大于BP網(wǎng)絡與RBF網(wǎng)絡。一方面這得益于LSTM網(wǎng)絡在長段數(shù)據(jù)擬合方面有著得天獨厚的優(yōu)勢；另一方面BP網(wǎng)絡與RBF網(wǎng)絡存在預測極限的問題，當?shù)竭_預測極限時，隨著訓練的提高，預測效果反而下降，即過擬合現(xiàn)象。

在速度性能方面，對于傳統(tǒng)解法，根據(jù)式(1)～式(3)編寫求解UR5機械臂逆運動的代碼，使用語言為Python。對于LSTM網(wǎng)絡求解法，通過載入之前訓練好的模型文件。2個方法輸入相同的變換矩陣，記錄2種方法得出6個關節(jié)角度值的時間，進行20次實驗，繪制成對比圖，如圖6所示。圓點表示公式求解耗時；星號點表示LSTM求解耗時。對20次實驗進行加權平均，得出公式求解平均耗時為0.405 2 s，LSTM求解平均耗時為0.229 8 s。這說明了LSTM求解方法快于傳統(tǒng)的公式求解法。LSTM求解法耗時約等于傳統(tǒng)公式求解法的一半。

圖6 公式求解與LSTM求解耗時對比

4 仿真實驗

為了進一步驗證LSTM網(wǎng)絡的求解效果。將在機器人仿真器CoppeliaSim上進行仿真實驗。CoppeliaSim是機器人仿真軟件，基于分布式控制結構，可以通過嵌入式腳本、插件、ROS或遠程客戶端控制每個對象模型，使得CoppeliaSim通用。

實驗使用MATLAB編寫代碼與CoppeliaSim進行通信和聯(lián)合仿真，MATLAB負責將LSTM模型求解的逆運動學解的結果傳遞給CoppeliaSim里的UR5機械臂，并控制UR5機械臂進行仿真運動，具體的實驗流程如圖7所示。

圖7 MATLAB與CoppeliaSim聯(lián)合仿真流程

4.1 直線運動仿真

在UR5工作空間上選取直線路徑點(有多段直線組成路徑)，路徑點同時也為機械臂在某時刻的末端姿態(tài)。路徑點的具體數(shù)值如表5所示。

表5 直線路徑點的數(shù)值

經(jīng)過LSTM求解后，將獲得對應的逆運動學結果傳遞給由CoppeliaSim控制的UR5機械臂，使UR5機械臂進行直線運動。機械臂的末端運動軌跡用黑色軌跡顯示出來，如圖8所示。

圖8 UR5機械臂的直線運動

記錄UR5機械臂運動過程的關節(jié)角度變化數(shù)值，并繪制曲線圖，如圖9所示。

圖9 UR5機械臂直線運動時各關節(jié)角度變化

在圖9中，1表示第1個關節(jié)的角度，2表示第2個關節(jié)的角度，以此類推。由圖9可知，除了第1關節(jié)外，其他關節(jié)變化平緩，這是由于選取的直線路徑有個折線拐彎，圍繞著UR5機械臂拐彎，所以第1關節(jié)角度出現(xiàn)反轉(zhuǎn)變化。總體而言，仿真運動軌跡跟選取的軌跡基本一致，直線部分沒有明顯的抖動，證明了LSTM模型求解結果的準確性。

4.2 圓弧運動仿真

在UR5工作空間上選取圓弧路徑點，路徑點的具體數(shù)值(部分)如表6所示。

經(jīng)過LSTM求解后，將獲得對應的逆運動學結果傳遞給由CoppeliaSim控制的UR5機械臂，使UR5機械臂進行圓弧運動。機械臂的末端運動軌跡用黑色軌跡顯示出來，如圖10所示。

表6 圓弧路徑點的數(shù)值(部分)

圖10 UR5機械臂的圓弧運動

記錄UR5機械臂運動過程的關節(jié)角度變化數(shù)值，并繪制曲線圖，如圖11所示。

圖11 UR5機械臂圓弧運動時各關節(jié)角度變化

在圖11中，1表示第1個關節(jié)的角度，2表示第2個關節(jié)的角度，以此類推。由圖11可知，除了第1個關節(jié)外，其他關節(jié)變化平緩，這是由于選取的圓弧路徑經(jīng)過UR5機械臂的0坐標系的y軸，故在進行完整的圓弧路徑運動時，第1個關節(jié)角度出現(xiàn)反轉(zhuǎn)變化?？傮w而言，仿真運動軌跡跟選取的軌跡基本一致，弧線部分沒有明顯的抖動，證明了LSTM模型求解結果的準確性。

5 結束語

本文提出了基于長短期記憶網(wǎng)絡的機械臂逆運動學求解算法。通過研究及實驗發(fā)現(xiàn)，基于LSTM求解機械臂逆運動學解具有很高的精度，結合3.1節(jié)分析和表4，關節(jié)角度誤差控制在分單位級別，完全滿足實際的使用需要，同時避免了傳統(tǒng)公式求解法的復雜操作使用過程。實驗結果顯示LSTM運算速度快，求解法耗時約等于傳統(tǒng)公式求解法的一半。另外，LSTM擁有記憶功能以記憶每個關節(jié)之間的變換規(guī)律，故相比于其他網(wǎng)絡有較高的精度。由CoppeliaSim的仿真實驗可知，仿真運動軌跡跟選取的軌跡基本一致，弧線部分沒有明顯的抖動，證明了LSTM模型求解結果的準確性。