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        質(zhì)點沿半球面下滑問題研究

        2020-07-01 09:28:02李開瑋
        物理通報 2020年7期
        關(guān)鍵詞:參考系球心水平面

        李開瑋

        (廣東理工學(xué)院工業(yè)自動化系 廣東 肇慶 526100)

        在文獻(xiàn)[1]中,作者探討了斜面不固定時,滑塊的運動規(guī)律,在斜面問題中,斜面的傾角始終不變,本文將研究質(zhì)點沿半球面下滑的問題.

        1 問題來源

        如圖1所示,質(zhì)量為M,半徑為R的光滑半球固定在水平面上,一質(zhì)點m由球面頂點從靜止開始下滑,求質(zhì)點與球面分離時的位置、速度.

        圖1 問題示意圖

        分析:如圖2所示,假設(shè)質(zhì)點速度為v,質(zhì)點與球心連線與豎直方向夾角為θ,球面對質(zhì)點支持力為N.

        圖2 質(zhì)點受力分析

        對質(zhì)點根據(jù)受力分析有

        (1)

        由式(1)得

        (2)

        當(dāng)質(zhì)點與球面分離時N=0,這時有

        (3)

        聯(lián)立式(2)、(3)可得,質(zhì)點與球面分離時

        當(dāng)半球面不固定,水平面光滑時,質(zhì)點將在什么位置與半球面分離?

        2 問題擴展與討論

        如圖3所示,當(dāng)半球面不固定時,質(zhì)點沿半球面下滑,半球面必然沿水平面向左運動,設(shè)質(zhì)點與球心連線與豎直方向夾角為β,m相對于球面線速度為v1,相對于地面水平速度為v3x,豎直速度為v3y,M相對于地面速度為v2,則根據(jù)相對運動關(guān)系有

        v3x=v1cosβ-v2

        (4)

        v3y=v1sinβ

        (5)

        圖3 球面不固定時,質(zhì)點運動示意圖

        對系統(tǒng),根據(jù)功能原理有

        mgR(1-cosβ)=

        (6)

        由于水平面光滑,根據(jù)動量守恒有

        mv3x=Mv2

        (7)

        (8)

        (9)

        當(dāng)m與M分離時,m對M壓力為零,此時M水平方向不受任何外力,受力平衡,因此這個瞬間,半球面為慣性參考系,此時對m,以半球面為參考系,根據(jù)圓周運動規(guī)律有

        (10)

        聯(lián)立式(8)、(10)可得

        cos3β-3(k+1)cosβ+2(k+1)=0

        (11)

        由式(11)可知β與半球面跟質(zhì)點的質(zhì)量之比k有關(guān),當(dāng)k=1時,式(11)變?yōu)?/p>

        cos3β-6cosβ+4=0

        (12)

        解式(12)得

        3 結(jié)束語

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