李開瑋
(廣東理工學(xué)院工業(yè)自動化系 廣東 肇慶 526100)
在文獻(xiàn)[1]中,作者探討了斜面不固定時,滑塊的運動規(guī)律,在斜面問題中,斜面的傾角始終不變,本文將研究質(zhì)點沿半球面下滑的問題.
如圖1所示,質(zhì)量為M,半徑為R的光滑半球固定在水平面上,一質(zhì)點m由球面頂點從靜止開始下滑,求質(zhì)點與球面分離時的位置、速度.
圖1 問題示意圖
分析:如圖2所示,假設(shè)質(zhì)點速度為v,質(zhì)點與球心連線與豎直方向夾角為θ,球面對質(zhì)點支持力為N.
圖2 質(zhì)點受力分析
對質(zhì)點根據(jù)受力分析有
(1)
由式(1)得
(2)
當(dāng)質(zhì)點與球面分離時N=0,這時有
(3)
聯(lián)立式(2)、(3)可得,質(zhì)點與球面分離時
當(dāng)半球面不固定,水平面光滑時,質(zhì)點將在什么位置與半球面分離?
如圖3所示,當(dāng)半球面不固定時,質(zhì)點沿半球面下滑,半球面必然沿水平面向左運動,設(shè)質(zhì)點與球心連線與豎直方向夾角為β,m相對于球面線速度為v1,相對于地面水平速度為v3x,豎直速度為v3y,M相對于地面速度為v2,則根據(jù)相對運動關(guān)系有
v3x=v1cosβ-v2
(4)
v3y=v1sinβ
(5)
圖3 球面不固定時,質(zhì)點運動示意圖
對系統(tǒng),根據(jù)功能原理有
mgR(1-cosβ)=
(6)
由于水平面光滑,根據(jù)動量守恒有
mv3x=Mv2
(7)
(8)
(9)
當(dāng)m與M分離時,m對M壓力為零,此時M水平方向不受任何外力,受力平衡,因此這個瞬間,半球面為慣性參考系,此時對m,以半球面為參考系,根據(jù)圓周運動規(guī)律有
(10)
聯(lián)立式(8)、(10)可得
cos3β-3(k+1)cosβ+2(k+1)=0
(11)
由式(11)可知β與半球面跟質(zhì)點的質(zhì)量之比k有關(guān),當(dāng)k=1時,式(11)變?yōu)?/p>
cos3β-6cosβ+4=0
(12)
解式(12)得