數(shù)與代數(shù)

【錯(cuò)例】

下圖顯示了京東2019 年“雙十一”期間累計(jì)下單金額和快遞員累計(jì)送貨距離情況?？磮D回答：下單金額省略億后面的尾數(shù)，約是（204 億或460億）元。

正確答案：下單金額省略億后面的尾數(shù)，約是（2044億）元。

【診斷】

1.數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)欠缺。

學(xué)生課堂學(xué)習(xí)及日常練習(xí)中較少接觸到現(xiàn)實(shí)情境中第一手原生態(tài)的素材，導(dǎo)致數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)較為淡漠，對(duì)真實(shí)數(shù)據(jù)的分析及挖掘能力較差。

2.中外計(jì)數(shù)方法差異的影響。

我國(guó)的多位數(shù)計(jì)數(shù)習(xí)慣是從個(gè)位起，每四個(gè)數(shù)位是一級(jí)；英、美等國(guó)家讀寫(xiě)大數(shù)時(shí)采用三位分節(jié)的方法。為了便于國(guó)際交往，我國(guó)財(cái)經(jīng)、統(tǒng)計(jì)等部門寫(xiě)數(shù)時(shí)也采用三位分節(jié)法。錯(cuò)誤多源于對(duì)三位一節(jié)的辨析不夠清晰。

【對(duì)策】

1.理解多位數(shù)讀寫(xiě)的歷史。

讓學(xué)生了解知識(shí)的緣起，知道數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的歷程，有助于他們?cè)诟鼜V闊的數(shù)學(xué)文化背景中思考數(shù)學(xué)之用，并感悟數(shù)學(xué)精神。教學(xué)中，組織學(xué)生討論，遠(yuǎn)古人類怎樣記數(shù)？如果數(shù)量再多一些，該怎么做？啟發(fā)學(xué)生思考，多位數(shù)讀寫(xiě)中有哪些重要約定？然后教師出示古今中外的記數(shù)和計(jì)數(shù)方面不同的方法，學(xué)生感受數(shù)學(xué)是人類文明進(jìn)步的產(chǎn)物，再概括“十進(jìn)制”的本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)字的位置關(guān)系和數(shù)位順序，進(jìn)一步理解聚少成多的大數(shù)所包含的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

2.熟悉生活情境中的大數(shù)據(jù)。

近年來(lái)，基于生活應(yīng)用的深度學(xué)習(xí)逐漸形成共識(shí)。教學(xué)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，布置學(xué)生在課前或課后從報(bào)紙、電視及網(wǎng)絡(luò)上收集多位數(shù)，了解多位數(shù)在日常生活和現(xiàn)代科技等方面有著廣泛的應(yīng)用，并從宏觀及微觀角度接觸生活中大數(shù)的一般取值范圍。如，人體細(xì)胞約有40萬(wàn)億～60萬(wàn)億個(gè)；2018年我國(guó)稻谷播種面積為30189 千公頃，大米產(chǎn)量達(dá)2.12 億噸；2018 年，全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值900309億元，全年貨物進(jìn)出口總額305050億元……課堂中教師可以集中展示、交流反映新中國(guó)建設(shè)成就的系列數(shù)據(jù)，以此激發(fā)學(xué)生較為強(qiáng)烈的愛(ài)國(guó)熱情與民族自豪感。

【練習(xí)】

（1）北京時(shí)間2019 年4 月10 日，全球六地聯(lián)合召開(kāi)新聞發(fā)布會(huì)，公布了人類歷史上首張黑洞照片，此次發(fā)布的黑洞圖像揭示了M87 星系中心的黑洞，它距離地球5500 萬(wàn)光年，改寫(xiě)成以“億”為單位的數(shù)是（ ）光年；其質(zhì)量約為太陽(yáng)的6 500 000 000倍，這個(gè)數(shù)讀作（ ）。

（2）2018 年末中國(guó)大陸總?cè)丝冢?39538 萬(wàn)人，從性別結(jié)構(gòu)看，男性人口71351 萬(wàn)人，女性人口68187 萬(wàn)人。根據(jù)上述信息將三個(gè)人口數(shù)改寫(xiě)成以“億”為單位的數(shù)，并保留兩位小數(shù)：139538 萬(wàn)≈（ ）億；71351 萬(wàn)≈（ ）億；68187 萬(wàn)≈（ ）億。

（3）一個(gè)兩位小數(shù)保留整數(shù)是10，這個(gè)數(shù)最小是（ ），最大是（ ）。

【錯(cuò)例】

43-x=38

解：43-x+43=38+43

x=81

檢驗(yàn)：方程左邊=43-x=81-43=38

=方程右邊

所以，x=81是方程的解。

正確答案：

43-x=38

解： 43-x+x=38+x

43=38+x

x+38=43

x+38-38=43-38

x=5

檢驗(yàn)：方程左邊=43-x=43-5=38

=方程右邊

所以，x=5 是方程的解。

【診斷】

1.對(duì)解方程的理解不到位。

錯(cuò)例中將43-x=38 和x-43=38 混為一談。在運(yùn)用等式性質(zhì)解答時(shí)，方程兩邊同時(shí)“+43”后，方程左邊“43-x+43”并不能化簡(jiǎn)得到x。對(duì)于方程中43、x、38三個(gè)數(shù)的關(guān)系缺乏整體認(rèn)識(shí)。

2.檢驗(yàn)環(huán)節(jié)沒(méi)有認(rèn)真演算。

錯(cuò)例中的檢驗(yàn)沒(méi)有將數(shù)值與x原地替換，而是想當(dāng)然地調(diào)整位置，從而讓檢驗(yàn)失去糾錯(cuò)功能。

【對(duì)策】

1.加強(qiáng)方程理解和比較。

在五年級(jí)“簡(jiǎn)易方程”單元中，形如a-x=b和a÷x=b是極易出錯(cuò)的兩種類型，一般需要經(jīng)過(guò)兩次的等式變換，解答書(shū)寫(xiě)步驟較多，學(xué)生會(huì)因?yàn)闀?shū)寫(xiě)的繁瑣而認(rèn)為這類方程很難。教學(xué)中要帶領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)梳理每一步的目的及依據(jù)，并注意加強(qiáng)同一種運(yùn)算中不同方程類型的比較，如43-x=38和x-43=38、20÷x=4 和x÷20=4 等。不管教學(xué)哪種類型的解方程，最初都要強(qiáng)調(diào)列方程的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷建立方程模型的過(guò)程，并注意歸納整理不同類型的方程的一般解法。

2.溝通方程的解法聯(lián)系。

為了更好地做好中小學(xué)教學(xué)銜接，必須重視以等式性質(zhì)為依據(jù)的解法。大部分學(xué)生熟悉這種思路后，可以簡(jiǎn)要介紹利用算式各部分之間關(guān)系為依據(jù)的解法。如，減數(shù)=被減數(shù)-差，43-x=38 中，x=43-38 ，x=5。注意和以前習(xí)題的聯(lián)系，喚醒已有解題經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法一體化建構(gòu)。如將43-x=38 中未知數(shù)遮蓋轉(zhuǎn)化為學(xué)生在低年級(jí)學(xué)習(xí)中就接觸過(guò)的43-□=38。

3.規(guī)范方程的檢驗(yàn)回顧。

檢驗(yàn)是把未知數(shù)的值代入原方程再計(jì)算比較的過(guò)程，也是自我糾錯(cuò)的保證。教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)代入原方程時(shí)的位置不變和認(rèn)真計(jì)算等要求，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤要及時(shí)查找原因并改正。

【練習(xí)】

解方程：

（1）2.1÷x=7

（2）2（16-x）=8

（3）3x-x=2.4

（4）15+5x=60

【錯(cuò)例】

計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。

正確答案：

【診斷】

1.抗干擾能力較差。

學(xué)生簡(jiǎn)算能力不夠強(qiáng)大時(shí)，“能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算”是很大的干擾，特別是面對(duì)能夠“湊整”的兩個(gè)數(shù)時(shí)。

2.缺乏估算意識(shí)。

估算作為計(jì)算的一種，可以評(píng)判精確計(jì)算的結(jié)果。特別是運(yùn)算前的估算，會(huì)更關(guān)注算式的結(jié)構(gòu)和結(jié)果取值范圍。學(xué)生在四則混合運(yùn)算（包括簡(jiǎn)算）時(shí)，通常缺乏估算這方面的訓(xùn)練。

【對(duì)策】

1.注重解題完整性訓(xùn)練。

簡(jiǎn)算教學(xué)中，要堅(jiān)持少練和精練，不搞淺嘗輒止的口頭練習(xí)，要注重解題的完整，從題目審題到過(guò)程書(shū)寫(xiě)，從錯(cuò)誤預(yù)判到結(jié)果回顧，都要花足時(shí)間，從而提高簡(jiǎn)算的正確率。

2.加強(qiáng)變式練習(xí)。

通過(guò)變式訓(xùn)練，對(duì)習(xí)題靈活變通，多元表征，引申推廣，從而發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，加深對(duì)知識(shí)的理解，達(dá)到舉一反三的目標(biāo)。乘法分配律的應(yīng)用從整數(shù)推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，除了繼續(xù)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)算理的理解外，還要加強(qiáng)學(xué)法的指導(dǎo)。

3.注重培養(yǎng)簡(jiǎn)算意識(shí)。

對(duì)于有明確的簡(jiǎn)算要求、明顯的簡(jiǎn)算結(jié)構(gòu)的習(xí)題，學(xué)生大都能準(zhǔn)確應(yīng)用運(yùn)算律去簡(jiǎn)算，而對(duì)于計(jì)算過(guò)程或?qū)嶋H問(wèn)題解決中內(nèi)隱的簡(jiǎn)算環(huán)節(jié)，學(xué)生又常常想不到或不敢使用運(yùn)算律簡(jiǎn)算。簡(jiǎn)算的教學(xué)應(yīng)該貫穿在更為廣闊的問(wèn)題情境和實(shí)際需求中。比如在稍復(fù)雜的購(gòu)物問(wèn)題、相遇問(wèn)題的多種解法比較中，應(yīng)促進(jìn)學(xué)生自覺(jué)選擇運(yùn)用乘法分配律。

【練習(xí)】

計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。

（1）19.2-12÷25-4.52

（2）1.25×32×2.5

【錯(cuò)例】

某縣為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，特規(guī)定：每戶每月用水量不超過(guò)10立方米（含10立方米），每立方米2元；10立方米以上超過(guò)部分，每立方米4元。張麗家3月份用水18立方米，應(yīng)交水費(fèi)多少錢？

4×18=72（元）

答：用水18立方米應(yīng)交水費(fèi)72元。

正確答案：

18-10=8（立方米）

4×8=32（元）

2×10=20（元）

20+32=52（元）

答：用水18立方米應(yīng)交水費(fèi)52元。

【診斷】

1.沒(méi)仔細(xì)劃分計(jì)費(fèi)的梯度。

學(xué)生沒(méi)有把用水總量按照題目要求仔細(xì)劃分為兩個(gè)部分，沒(méi)有學(xué)會(huì)用摘錄的方法收集和整理信息。

2.對(duì)分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題缺乏實(shí)際思考。

學(xué)生出錯(cuò)的原因還在于缺少生活調(diào)查和日常積累，不理解收費(fèi)方案的價(jià)值導(dǎo)向。自來(lái)水單價(jià)從2元到4元，前提是倡導(dǎo)節(jié)約用水。其中，每立方米2 元的優(yōu)惠是每家每戶都享有的，區(qū)別是超過(guò)10立方米的部分。

【對(duì)策】

1.回到原點(diǎn)去理解。

生活中坐出租車、用水用電、停車、個(gè)稅、折扣等項(xiàng)目，在有的地區(qū)常常涉及分段計(jì)費(fèi)。教學(xué)時(shí)，首先要組織學(xué)生調(diào)查和交流，一開(kāi)始就弄明白為什么這樣設(shè)計(jì)收費(fèi)方案。比如，學(xué)生收集不同城市的出租車計(jì)費(fèi)方案，思考定價(jià)方案的合理性。

2.回到起點(diǎn)來(lái)推算。

分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題中計(jì)費(fèi)主體有一個(gè)數(shù)量累積過(guò)程，其對(duì)應(yīng)的錢數(shù)由少到多有規(guī)律地變化。教學(xué)中，不急于列式計(jì)算，先從最基本、最簡(jiǎn)單的路程變化想起，列表整理。有了列表整理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)墊底，再出示折線統(tǒng)計(jì)圖，最后用分段計(jì)算的方法解答，一題多解就水到渠成了。在列表、畫(huà)圖、計(jì)算等循序漸進(jìn)的教學(xué)處理中，學(xué)生不僅逐條逐句地解讀計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)和里程條件，還深入探究分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，形成舉一反三的解決問(wèn)題能力，同時(shí)初步體會(huì)了函數(shù)思想。

【練習(xí)】

（1）小雪給《小學(xué)生必讀》編輯部投稿，信件要從江蘇徐州寄到河北石家莊，信件總重為49 克。為防止遺失，她想掛號(hào)郵寄，她要付多少元？（國(guó)內(nèi)普通信函資費(fèi)如下，單位：元）

__項(xiàng)目計(jì)費(fèi)單位________重量在100克以內(nèi)，每重20克（不足20克，按20克計(jì)）100克以上部分，每增加100克加收（不足100克，______________________________________________________按100克計(jì)）每件每件本埠（縣）_外埠0.80 1.20信函1.20 2.00明信片掛號(hào)費(fèi)0.80______3.00______

（2）某公司出租汽車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：里程3千米以內(nèi)（含3千米）收費(fèi)6元；3千米以外，每增加1千米收費(fèi)1.5 元。小華乘出租車去少年宮行駛了4 千米，應(yīng)付費(fèi)多少元？小華爸爸從家乘出租車到火車站共付了18元，兩地的路程最多為多少千米？

【錯(cuò)例】

一輛客車和一輛貨車同時(shí)從甲地開(kāi)往乙地。2小時(shí)后，客車距乙地還有全程的，貨車距乙地還有55 千米。已知貨車每小時(shí)比客車少行15 千米，求甲乙兩地之間的路程。先在下圖中表示出相應(yīng)的條件，再解答。

正確答案：

答：甲乙兩地之間的路程是175千米。

【診斷】

1.沒(méi)有全面把握題目要求。

本題包含畫(huà)圖分析和解答兩個(gè)要求。部分學(xué)生審題不嚴(yán)造成遺漏有關(guān)要求、導(dǎo)致解答不完整而失分。此題中，認(rèn)真完成第一個(gè)要求標(biāo)注出條件，對(duì)最后正確解題有很大的幫助。

2.量率對(duì)應(yīng)關(guān)系解讀混亂。

根據(jù)題意和圖示可知，客車和貨車的路程差是兩個(gè)小時(shí)的，是（15×2）千米。換個(gè)角度，全程的對(duì)應(yīng)的路程是（55-15×2）千米。本題的單位“1”是甲乙兩地路程，是未知量。要求單位“1”的量，用除法計(jì)算或者列方程解答即可。

【對(duì)策】

1.積累經(jīng)驗(yàn)，建立問(wèn)題模型。

行程問(wèn)題不僅涉及運(yùn)動(dòng)物體數(shù)量，還有運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的限制，以及運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景、運(yùn)動(dòng)距離等多種因素。不過(guò)，反映出來(lái)的數(shù)量關(guān)系是相同的，速度×?xí)r間=路程。教學(xué)中圍繞兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的情況可以組織不同層面的操作和想象。比如，用雙手模擬物體運(yùn)動(dòng)變化，在雙手一張一合中體會(huì)“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問(wèn)題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問(wèn)題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問(wèn)題）三種情況；畫(huà)路線圖表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)結(jié)果，感受速度差、路程差和相遇地點(diǎn)等；觀摩體育課、運(yùn)動(dòng)會(huì)等活動(dòng)場(chǎng)景，分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，編制行程問(wèn)題。

2.有的放矢，增強(qiáng)畫(huà)圖需求。

畫(huà)圖是一種重要的解題策略。為了畫(huà)圖而畫(huà)圖顯然不是教學(xué)追求。畫(huà)圖方法的教學(xué)重點(diǎn)要放在“畫(huà)圖需求”上，變“要我畫(huà)”為“我要畫(huà)”。教學(xué)中，教師要精選習(xí)題，由淺入深，逐步引發(fā)畫(huà)圖需求，促使學(xué)生認(rèn)可畫(huà)圖的價(jià)值，意識(shí)到畫(huà)圖確實(shí)能夠更清楚地表示數(shù)量之間關(guān)系，發(fā)現(xiàn)解題前畫(huà)圖能夠幫助我們順利找到解題方法。然后題組辨析，不斷增強(qiáng)畫(huà)圖需求，引導(dǎo)學(xué)生從主觀和客觀兩個(gè)方面考慮要不要畫(huà)圖，突出畫(huà)圖選擇依據(jù)，感悟“畫(huà)圖即解題”的數(shù)學(xué)化思考。

【練習(xí)】

（1）甲乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)駛往B地，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)甲車已經(jīng)行了全程的，乙車行了全程的。照這樣速度繼續(xù)行駛，甲車到B地后立即返回，在離B 地28 千米處與乙車相遇。AB 兩地間的路程是多少千米？

（2）“太陽(yáng)將下西山坡，鴨子嘎嘎要進(jìn)窩。一半的一半隨水波，四分之一岸上走，身后還跟八只鴨?！闭?qǐng)問(wèn)鴨子一共有（ ）只。

【錯(cuò)例】

甲、乙兩袋面粉的質(zhì)量比是2∶3。從甲袋倒出5 千克給乙袋后，甲、乙兩袋面粉的質(zhì)量比變?yōu)?∶7，求兩袋面粉的總質(zhì)量。

5÷（7-3）×（3+7）=12.5（千克）

正確答案：5÷（）=50（千克）

【診斷】

1.解題分析不到位。

對(duì)于其中甲乙兩袋面粉變化前后的兩個(gè)質(zhì)量比分析不準(zhǔn)確，沒(méi)有找準(zhǔn)5 千克相當(dāng)于總質(zhì)量的幾分之幾。

2.關(guān)注變化不全面。

錯(cuò)例中抓住乙袋份數(shù)變化情況來(lái)解題的思路是對(duì)的，疏漏之處在于沒(méi)有注意到變化前后總質(zhì)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)是不同的，這樣變化前后每份的量不一樣，就不能直接加減了。

【對(duì)策】

1.深入理解按比例分配中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

按比例分配問(wèn)題在生活中還是比較常見(jiàn)的，如混凝土、黑火藥、飲料配制、股票分紅等。教學(xué)時(shí)，不僅要組織學(xué)生交流，說(shuō)明各是幾份，一共是幾份；還要理解各占總數(shù)的幾分之幾，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為歸一、歸總問(wèn)題，或者轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘、除法的問(wèn)題，在解法多樣化中深化理解。

2.研究變與不變，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

按比例分配的問(wèn)題中，“不變量”有兩種類型：一是總量不變，二是某個(gè)部分量不變。不變量÷對(duì)應(yīng)的份數(shù)，就能求出一份數(shù)，進(jìn)而求出所要求的問(wèn)題。從甲袋倒給乙袋，甲袋減少，乙袋增加，但是此消彼長(zhǎng)中兩袋面粉的總量仍然不變。將兩個(gè)比對(duì)應(yīng)的總份數(shù)統(tǒng)一為10 份，再比較和計(jì)算。如果是將甲袋倒出（用去）5千克，則乙袋是不變量，就把兩個(gè)比中的后項(xiàng)（乙袋）化成相同的數(shù)，然后根據(jù)質(zhì)量變化求出一份即可。

【練習(xí)】

（1）2∶5的前項(xiàng)加上4，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)加上（ ）。

（2）小明今年上小學(xué)六年級(jí)，他的爺爺與爸爸的年齡之比是8∶5，爸爸與小明的年齡之比是10∶3。三個(gè)人的年齡比是（ ）。

（3）港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、廣東珠海和澳門的橋隧工程，全長(zhǎng)55千米，把它反映在比例尺為1∶250000的地圖上，長(zhǎng)是多少厘米？

（仲崇恒）

圖形與幾何

【錯(cuò)例】

圖中線段有（7）條，射線有（4）條，直線有（3）條。

正確答案：線段有（3）條，射線有（8）條，直線有（1）條。

【診斷】

1.概念不清。

學(xué)生對(duì)線段、射線和直線概念混淆不清，沒(méi)有正確認(rèn)識(shí)線段、射線和直線概念的本質(zhì)。

2.思考無(wú)序。

學(xué)生沒(méi)有按一定的順序或規(guī)律分類數(shù)出線段、射線和直線的條數(shù)，有序思維有待提高。

【對(duì)策】

1.厘清概念。

線段有兩個(gè)端點(diǎn)，有限長(zhǎng)（有始有終）；射線有一個(gè)端點(diǎn)，無(wú)限長(zhǎng)（有始無(wú)終）；直線沒(méi)有端點(diǎn)，無(wú)限長(zhǎng)（無(wú)始無(wú)終）。除了借助前面括號(hào)里的成語(yǔ)幫助學(xué)生理解三種線的概念本質(zhì)，還可以結(jié)合簡(jiǎn)單的圖形幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)線段、射線和直線的表象特征。比如，讓學(xué)生找一找下圖中的線段、射線和直線。

2.有序思考。

引導(dǎo)學(xué)生按照一定順序分類別數(shù)線段、射線和直線，不能盲目地?cái)?shù)，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想和有序思維。因?yàn)榫€段有兩個(gè)端點(diǎn)，圖中圍成三角形ABC 的三條邊，每條邊都有兩個(gè)端點(diǎn)，所以線段有3 條，可以按順序得出線段AB、線段AC、線段BC。射線只有一個(gè)端點(diǎn)，數(shù)射線可以從它的這個(gè)特點(diǎn)入手，按順序以圖中三個(gè)交點(diǎn)A、B、C作為射線的端點(diǎn)來(lái)數(shù)。以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有AB、AC這兩條，以點(diǎn)B 為端點(diǎn)的射線有3 條（讓學(xué)生逐一指出），以點(diǎn)C 為端點(diǎn)的射線也有3 條，所以射線共有2+3+3=8（條）。直線沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，顯然，符合這個(gè)特點(diǎn)的只有直線BC。

【練習(xí)】

1.判斷。

（1）一條直線長(zhǎng)5厘米。（ ）

（2）直線比射線長(zhǎng)。（ ）

（3）線段是直線的一部分。（ ）

2.數(shù)一數(shù)。

圖中線段有（ ）條，射線有（ ）條，直線有（ ）條。

【錯(cuò)例】

平行四邊形相鄰的兩條邊為6 厘米和10 厘米，高是8厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少平方厘米？

平行四邊形面積：10×8=80（平方厘米）

正確答案：6×8=48（平方厘米）

答：這個(gè)平行四邊形的面積是48平方厘米。

【診斷】

1.缺乏對(duì)應(yīng)思想。

計(jì)算平行四邊形的面積用公式底乘高，但這里的底和高必須是對(duì)應(yīng)的，不能隨便找一個(gè)底和高。這里學(xué)生認(rèn)為只要是底乘高就是這個(gè)平行四邊形的面積，沒(méi)有考慮到底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

學(xué)生被題目中的信息所干擾，未能對(duì)題目所提供的信息進(jìn)行深入分析，無(wú)法觸及知識(shí)的本質(zhì)，只是憑直覺(jué)使用平行四邊形計(jì)算公式解決問(wèn)題。

【對(duì)策】

1.放手學(xué)生辨析。

這樣的題目呈現(xiàn)給學(xué)生，一般會(huì)出現(xiàn)兩種算式：6×8=48（平方厘米）和10×8=80（平方厘米）；三種意見(jiàn)：認(rèn)為正確答案是48 平方厘米、80 平方厘米或兩種結(jié)果都是正確的。教師不妨放手讓學(xué)生進(jìn)行自由辨析，在辨析中尋錯(cuò)、析錯(cuò)和改錯(cuò)，這樣主動(dòng)思維和探索往往可以使他們的認(rèn)知由模糊走向清晰，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的調(diào)整和擴(kuò)展，進(jìn)一步提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.揭示問(wèn)題本質(zhì)。

引導(dǎo)學(xué)生利用直觀圖形深入領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)。追問(wèn)：為什么答案是6×8＝80（平方厘米）而不是10×8=80（平方厘米）？學(xué)生會(huì)對(duì)照示意圖解釋：圖1從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向10厘米長(zhǎng)的底邊作高，得到一個(gè)直角三角形，斜邊在這個(gè)直角三角形中是最長(zhǎng)的線段，它的長(zhǎng)度是6厘米，所以直角邊不可能是8厘米；圖2從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向6厘米長(zhǎng)的底邊作高，得到一個(gè)直角三角形，斜邊在這個(gè)角形中是最長(zhǎng)的線段，它的長(zhǎng)度是10厘米，直角邊一定比斜邊小，這里直角邊可以是8厘米，所以這里的平行四邊形面積要用6×8 的算式來(lái)計(jì)算。

圖1

圖2

【練習(xí)】

1.計(jì)算下面圖形的面積。

2.平行四邊形的底是12 米，它的兩條高分別是10米和14米，這個(gè)平行四邊形的面積是多少平方米？

【錯(cuò)例】

有一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)是30米，寬是18米，如果要把這塊長(zhǎng)方形菜地平均分成面積相等的3小塊長(zhǎng)方形菜地，每小塊長(zhǎng)方形菜地的周長(zhǎng)是多少米？

原來(lái)周長(zhǎng)：（30＋18）×2=96（米）

每小塊周長(zhǎng)：96÷3=32（米）

正確答案：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖1：

圖2：

圖3：

另一塊小長(zhǎng)方形菜地周長(zhǎng)算法同圖1；

圖4：

另一塊小長(zhǎng)方形菜地周長(zhǎng)算法同圖2。

【診斷】

1.概念理解不清晰。

圖形的面積和周長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，它們的計(jì)算方法也不一樣。實(shí)際生活中把一個(gè)平面圖形平均分成若干份，面積可以均分，周長(zhǎng)不可以均分。這里學(xué)生錯(cuò)誤地以為把周長(zhǎng)平均分成3份，就是把周長(zhǎng)除以3。

2.考慮問(wèn)題不全面。

同等面積的條件下，計(jì)算平面圖形的周長(zhǎng)要考慮這個(gè)圖形的具體形狀，這里學(xué)生沒(méi)有從多角度去思考問(wèn)題。

【對(duì)策】

1.圖形直觀。

畫(huà)圖可以幫助學(xué)生直觀理解題意，降低思維難度，有助于快速找到解決問(wèn)題的方案。其實(shí)學(xué)生只要畫(huà)出示意圖，把要求的周長(zhǎng)在圖上描出來(lái)，就很容易看出小長(zhǎng)方形周長(zhǎng)不是原來(lái)大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的均分，而是由原來(lái)長(zhǎng)方形兩條線段和等分后兩條線段圍成的。

2.發(fā)散思維。

可以讓學(xué)生拿出一張長(zhǎng)方形紙，把這張紙看成這塊地，動(dòng)手分一分，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生探索有哪些不同的分法，發(fā)散學(xué)生的思維。如果能給足學(xué)生探索的時(shí)間，學(xué)生的思維往往會(huì)讓教師驚嘆，學(xué)生也會(huì)體悟多向思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的魅力。

【練習(xí)】

1.用同樣長(zhǎng)的繩子圍成的長(zhǎng)方形和正方形的面積（ ），周長(zhǎng)（ ）。

A.長(zhǎng)方形大 B.正方形大

C.一樣大 D.不能確定

2.用同樣大小同樣數(shù)量的小正方形拼成的長(zhǎng)方形和正方形的面積（ ），周長(zhǎng)（ ）。

A.長(zhǎng)方形大 B.正方形大

C.一樣大 D.不能確定

3.如圖，有一塊菜地，長(zhǎng)35 米，寬29 米，菜地中間留了寬1米的路，把菜地平均分成四塊，每塊的面積是多少？

【錯(cuò)例】

一個(gè)水瓶可以盛750毫升，這是水瓶的（B）。

A.體積 B.凈含量 C.容積

正確答案：C

【診斷】

1.概念運(yùn)用不靈活。

這道題實(shí)際上考查了學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用。一般選錯(cuò)的學(xué)生對(duì)體積和容積還是能夠區(qū)分的，但對(duì)凈含量概念的理解比較模糊。

2.審題比較隨意。

很多學(xué)生選擇了“凈含量”，主要是覺(jué)得題目中并沒(méi)有說(shuō)明裝滿水，憑感覺(jué)選擇了B選項(xiàng)，如果讓他們反復(fù)讀題，仔細(xì)推敲也能做對(duì)。

【對(duì)策】

1.聯(lián)系實(shí)物，認(rèn)識(shí)概念。

這道題錯(cuò)的主要原因是對(duì)凈含量概念理解不夠清晰。可以讓學(xué)生尋找生活中標(biāo)注凈含量的物體，明確食用油、盒裝奶、酒類等物體上標(biāo)注凈含量的實(shí)際意義，用生活實(shí)例幫助學(xué)生建立概念表象。

2.重視比較，揭示本質(zhì)。

在教學(xué)中可以讓學(xué)生聯(lián)系生活去比較體積、容積以及凈含量的不同。凈含量指的是除去包裝容器和其他包裝材料后內(nèi)裝商品的量。凈含量的注明公制單位有克、千克、毫升、升等。容積是指容器所能容納物體的體積，也就是說(shuō)容器裝滿物體后物體的體積才是容器的容積。一般來(lái)說(shuō)，固體的容積單位與體積單位相同，而液體和氣體的容積單位一般用升、毫升，計(jì)算方法同體積。如長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸，從外面量出的長(zhǎng)×寬×高，計(jì)算的是體積；里面量出的長(zhǎng)×寬×高，計(jì)算的是容積；里面量出的長(zhǎng)×寬×水面的高，計(jì)算的是魚(yú)缸內(nèi)水的體積。

【練習(xí)】

1.一臺(tái)冰柜，從外面量，長(zhǎng)1 米，寬0.6 米，高1.1米；從里面量，長(zhǎng)9分米，寬4.5分米，深6分米。

（1）這臺(tái)冰柜所占的空間有多大？

（2）這臺(tái)冰柜的容積是多少？

2.一個(gè)花壇，高0.5米，底面是邊長(zhǎng)1.2米的正方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.2米，中間填滿泥土。

（1）花壇所占的空間有多大？

（2）花壇里大約有泥土多少立方米？

【錯(cuò)例】

如圖，有一個(gè)長(zhǎng)5分米、寬3分米、高4分米的長(zhǎng)方體硬紙箱，用繩子將箱子捆扎起來(lái)，打結(jié)處共用1.5分米。一共要用多長(zhǎng)的繩子？

（1）(5+3+4)×2+1.5

=12×2+1.5

=24+1.5

=25.5（分米）

（2）(5+3+4)×4+1.5

=12×4+1.5

=48+1.5

=49.5（分米）

（3）5+3+4×2+1.5

=8+8+1.5

=17.5

（4）5×4+3×4+4×5+1.5

=20+12+20+1.5

=53.5

正確答案：

（5+3）×2+4×4+1.5

=16+16+1.5

=32+1.5

=33.5（分米）

答：一共要用長(zhǎng)33.5分米的繩子。

【診斷】

1.概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清。

學(xué)生直接運(yùn)用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式和長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和計(jì)算方法，說(shuō)明學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和這兩個(gè)概念缺乏本質(zhì)的理解。學(xué)生只會(huì)在簡(jiǎn)單的圖形中運(yùn)用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)計(jì)算公式，部分學(xué)生只記住了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是兩個(gè)已知數(shù)字相加再乘以2和長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)是三個(gè)已知數(shù)相加再乘以4。

2.空間想象能力缺乏。

多數(shù)學(xué)生在計(jì)算捆扎這個(gè)長(zhǎng)方體繩子長(zhǎng)度時(shí)，都是看圖數(shù)出每個(gè)面根數(shù)（線段）再計(jì)算的，但在計(jì)算時(shí)，由于空間想象能力的缺乏，能正確數(shù)出長(zhǎng)寬高根數(shù)的學(xué)生為數(shù)不多?！?+3+4×2+1.5”這種算法的學(xué)生只數(shù)出能從圖上直接看到的繩子（線段）；“5×4+3×4+4×5+1.5”這種算法的學(xué)生不僅數(shù)出圖上直接看到的繩子（線段），還把圖上能看見(jiàn)的長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)數(shù)進(jìn)去了。

【對(duì)策】

1.重視算法多樣化。

教學(xué)中不要過(guò)早強(qiáng)化用公式計(jì)算周長(zhǎng)和棱長(zhǎng)和，讓學(xué)生經(jīng)歷按順序“數(shù)線段”“算總長(zhǎng)”的過(guò)程。在學(xué)習(xí)初始階段推遲使用公式計(jì)算的好處是學(xué)生可以充分理解算法的道理，避免形成思維定勢(shì)。比如學(xué)習(xí)計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)用多種方法來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)，學(xué)生自己的算法“長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬、長(zhǎng)×2+寬×2、長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬”，這些方法看起來(lái)比較麻煩，但它有助于學(xué)生真正理解長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)是四邊之和。一段時(shí)間后，學(xué)生會(huì)明白長(zhǎng)加寬的和就是半個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，再乘以2 就是一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。此時(shí)他們才真正理解了公式“（長(zhǎng)+寬）×2”的意義。

2.聯(lián)系生活直觀演示。

讓學(xué)生親自動(dòng)手用毛線捆扎一個(gè)長(zhǎng)方體物體，觀察捆扎后各個(gè)面上毛線的根數(shù)和特點(diǎn)。實(shí)物和圖形直觀演示是幫助學(xué)生解決圖形問(wèn)題的主要教學(xué)策略，因?yàn)閷?shí)物和圖形的直觀性很強(qiáng)，容易被學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解，也容易使學(xué)生建立起空間觀念。利用“實(shí)物和圖形”也就是運(yùn)用和借助實(shí)物和圖形讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較、綜合、抽象、分析等方法認(rèn)識(shí)客觀事物，這是幫助學(xué)生建立空間觀念最好的途徑。

【練習(xí)】

1.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)5 分米、寬和高都是3 分米的長(zhǎng)方體硬紙箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長(zhǎng)著捆一道，打結(jié)處共用2.5 分米。一共要用多長(zhǎng)的繩子？

2.用塑料繩捆扎如圖的一個(gè)圓柱形的蛋糕盒，交叉處是底面圓心，打結(jié)用去繩長(zhǎng)25厘米。

（1）做這個(gè)蛋糕盒大約要用硬紙板多少平方厘米？

（2）捆扎這樣的一個(gè)盒子至少用去塑料繩多少厘米？

【錯(cuò)例】

用48 厘米長(zhǎng)的鐵絲做一個(gè)長(zhǎng)方體的框架，長(zhǎng)、寬、高之比為3∶2∶1，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米。

3+2+1=6

體積：24×16×8＝3072（立方厘米）

正確答案：

48÷4＝12（厘米）

體積：6×4×2＝48（立方厘米）

答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是48立方厘米。

【診斷】

1.圖形表象不清晰。

這道題在學(xué)生頭腦建立的表象是：48 厘米是這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高三條棱的長(zhǎng)度。實(shí)際僅憑長(zhǎng)、寬、高三條棱是不能做成長(zhǎng)方體框架的，做錯(cuò)這道題的學(xué)生頭腦中沒(méi)有長(zhǎng)方體框架表象。

2.數(shù)量關(guān)系不對(duì)應(yīng)。

一般按比例分配問(wèn)題量、比是可以直接對(duì)應(yīng)的。比如甲、乙、丙總和為n，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比例是a:b:c，這里總量的和n與比的和（a+b+c）是對(duì)應(yīng)的，可以直接用按比例分配的方法解決問(wèn)題。本題的總量48 厘米長(zhǎng)的鐵絲是長(zhǎng)方體12 條棱長(zhǎng)的總和，比的和是長(zhǎng)、寬、高三條棱的總和，明顯不對(duì)應(yīng)。

【對(duì)策】

1.明晰圖形表象。

引導(dǎo)學(xué)生先回憶長(zhǎng)方體的組成，想象出長(zhǎng)方體模型的框架：它是由幾條棱組成的？這些棱可分成幾組？再讓學(xué)生畫(huà)出框架圖，在圖上指出48 厘米的鐵絲包含這個(gè)長(zhǎng)方體的哪些棱長(zhǎng)。

2.強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由于大量接觸按比例分配的練習(xí)，學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成一個(gè)由表面文字所營(yíng)造的表象。這些文字所建立的表象往往會(huì)造成學(xué)生思維定式。通過(guò)重新分析題意，學(xué)生把題目中的文字轉(zhuǎn)換成清晰的實(shí)物表象，有助于學(xué)生突破思維定式，引導(dǎo)學(xué)生弄清長(zhǎng)度和與比的和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生就能清晰想到以下思路（1）48 與（3+2+1）×4 對(duì)應(yīng)；（2）48÷4與3+2+1對(duì)應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)順利用按比例分配方法解決問(wèn)題。

【練習(xí)】

1.有一塊長(zhǎng)方形菜地，量得這塊菜地四周的籬笆長(zhǎng)36米，長(zhǎng)和寬的比是5∶4，這塊長(zhǎng)方形菜地的面積是多少平方米？

2.利用一面墻壁作為一條邊，用36 米的籬笆圍成一塊長(zhǎng)方形地（如圖）。已知這塊地長(zhǎng)和寬的比是5∶2，求這塊地的面積是多少平方米？

【錯(cuò)例】

把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6 厘米的長(zhǎng)方體橡皮，切成一個(gè)圓柱。切成的圓柱體積最大是多少立方厘米？

V=Sh=π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

正確答案：

方案一：切成的圓柱高為10厘米。

π×（6÷2）2×10=π×9×10=90π（立方厘米）

方案二：切成的圓柱高為8厘米。

π×（6÷2）2×8=π×9×8=72π（立方厘米）

方案二：切成的圓柱高為6厘米。

π×（4÷2）2×6=π×16×6=96π（立方厘米）

96π＞90π＞72π

答：切成的圓柱體積最大是96π立方厘米。

【診斷】

1.思維缺乏嚴(yán)密性。

認(rèn)為把圓柱的高確定為最大，算出的體積就是最大。先在8×6 的長(zhǎng)方形底面上截取一個(gè)直徑為6厘米的圓，再用這個(gè)圓的面積乘10相乘。盡管算出的結(jié)果可能碰巧是最大值，但這樣的思維方法顯然不嚴(yán)密。

2.思維缺乏整體性。

解答這道題時(shí)，學(xué)生想當(dāng)然地就做出一種答案，并不考慮算出的結(jié)果究竟是不是題目要求的“最大值”。實(shí)際上是學(xué)生不會(huì)從整體上把握問(wèn)題的關(guān)鍵，不善于全面考慮問(wèn)題。

【對(duì)策】

1.解析錯(cuò)例。

單憑一個(gè)數(shù)量，是無(wú)法確定其是否是最大值。有比較，才有大小、多少之分，通過(guò)同類數(shù)量的比較得出結(jié)論才有說(shuō)服力。如果這道題只算出一個(gè)數(shù)量，即使是這道題的正確答案，這種思考方法也要不得，缺乏依據(jù)。

2.觀察想象。

指導(dǎo)學(xué)生拿出身邊的長(zhǎng)方體實(shí)物或長(zhǎng)方體學(xué)具，讓學(xué)生觀察并想象如果把手中的長(zhǎng)方體物體切成盡量大的一個(gè)圓柱，會(huì)切成什么樣的圓柱體？通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生觀察、想象，讓學(xué)生目中有“物”，心中有“形”，引導(dǎo)學(xué)生討論圓柱體的高或底面的直徑分別有幾種情況。

3.整體考慮。

引導(dǎo)學(xué)生從整體考慮，多角度思考問(wèn)題。這里解決圓柱體積問(wèn)題需要考慮這個(gè)圓柱體的高和底面的直徑數(shù)值，實(shí)際上，長(zhǎng)、寬、高有三種數(shù)據(jù)，都可以作為圓柱的高，所以一共有三種高，也就有三種不同的圓柱。引導(dǎo)學(xué)生一一列舉出高是10 厘米時(shí)，底面直徑是6 厘米；高是8 厘米時(shí)，底面直徑是6 厘米；高是6 厘米時(shí)，底面直徑是8 厘米三種情況，計(jì)算并比較三種圓柱的體積從而得出答案。

【練習(xí)】

1.把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6厘米的長(zhǎng)方體橡皮，切成一個(gè)正方體。切去部分的體積是多少立方厘米？

2.把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是10 厘米、8 厘米、6厘米的長(zhǎng)方體橡皮，切成一個(gè)圓錐體。切成的圓錐體體積最大是多少立方厘米？

【錯(cuò)例】

將一個(gè)圓錐形零件浸沒(méi)在底面直徑是2分米的圓柱形玻璃缸里，這時(shí)水面上升3厘米。這個(gè)圓錐形零件的體積是多少立方厘米？

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

正確答案：

2分米=20厘米 20÷2=10（厘米）

體積：π×102×3=300π（立方厘米）

答：這個(gè)圓錐形零件的體積是300π 立方厘米。

【診斷】

1.負(fù)遷移影響。

算圓錐的體積學(xué)生解題中一般都用公式“V=Sh”，受到圓錐的體積計(jì)算公式的負(fù)遷移影響，學(xué)生以為這道題與平常解決求圓錐體積問(wèn)題相類似，只要找到圖形底面的直徑、半徑或底面積與高相關(guān)條件，就可以運(yùn)用公式“V=Sh”解決問(wèn)題。

2.條件不對(duì)應(yīng)。

學(xué)生只想到用公式“V=Sh”求圓錐體積，沒(méi)有考慮到題目條件“底面直徑是2分米”和“上升3厘米”并不是圓錐的條件，而是圓柱的條件，題目中兩個(gè)已知條件不能用到圓錐體積計(jì)算公式中去。

3.思路不清晰。

本題看似是求“圓錐的體積”，實(shí)質(zhì)是求“圓柱的體積”。學(xué)生不清楚要把“圓錐零件體積”轉(zhuǎn)化為“圓柱形水的體積”，即“上升的圓柱形水的體積”就是圓錐的體積。

【對(duì)策】

1.強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)思想”。

引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一定要考慮“對(duì)應(yīng)”，不能張冠李戴，這里不能用圓柱的已知條件來(lái)隨便解決圓錐的體積問(wèn)題。

2.運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”。

引導(dǎo)學(xué)生自己畫(huà)出示意圖，對(duì)照?qǐng)D意，學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)就輕松多了。

3.運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”。

可以利用“烏鴉喝水”的故事讓學(xué)生體會(huì)故事中“石子”把水“擠”上來(lái)，“擠”上來(lái)的水的體積其實(shí)就石子的體積。這個(gè)故事與這道題有異曲同工之妙，讓學(xué)生感悟“烏鴉喝水”故事蘊(yùn)含的道理，再來(lái)思考這道題的解題思路，學(xué)生就會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想：求圓錐形物體的體積轉(zhuǎn)化為求上升的圓柱形水的體積，從而輕松地解決問(wèn)題。

【練習(xí)】

1.一個(gè)裝有水的長(zhǎng)方體容器。從里面量長(zhǎng)5分米、寬4分米，水深3分米，現(xiàn)在將一個(gè)鐵塊浸入水中，水面上升到4.2分米，無(wú)水溢出。這個(gè)鐵塊的體積是多少立方分米？

2.把一個(gè)體積是460 立方厘米的石頭投入一個(gè)足夠高的長(zhǎng)方體容器中。完全浸入水中后，水面由148厘米上升到150厘米，這個(gè)容器的底面積是多少平方厘米？

3.在一個(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶里，把一段底面半徑為5 厘米的圓柱形鋼材全部放入水中，這時(shí)水面上升9 厘米。把這段鋼材豎著拉出水面8 厘米，水面下降4厘米。求這段鋼材的體積。

【錯(cuò)例】

一幢長(zhǎng)方體建筑物，長(zhǎng)80 米、寬60 米、高50米，為了美化城市夜景，要在建筑物的每條邊上裝上彩燈線，至少要準(zhǔn)備多少米彩燈線？

（80+60+50）×4=760（米）

正確答案：

80×2+60×2+50×4=160+120+200=480（米）

答：至少要準(zhǔn)備480米彩燈線。

【診斷】

1.思考比較淺顯。

學(xué)生審題中看到“長(zhǎng)方體”“邊上裝上彩燈線”這些字眼，認(rèn)為題目很熟悉、很簡(jiǎn)單，就是求長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和問(wèn)題，沒(méi)有進(jìn)行深入思考。

2.生活意識(shí)薄弱。

學(xué)生就題解題，沒(méi)有結(jié)合生活實(shí)際看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)以致用能力不足。

【對(duì)策】

1.重視審題習(xí)慣的培養(yǎng)。

教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，對(duì)于每一道都要認(rèn)真對(duì)待，讀懂、讀透題目的意思后，再下筆解答。多一分認(rèn)真，少一分粗心；多一分思考，少一分錯(cuò)誤。

2.培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。

教學(xué)密切聯(lián)系生活，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常用數(shù)學(xué)的眼光看待生活，用生活的眼光看待數(shù)學(xué)。考慮問(wèn)題一定要聯(lián)系生活實(shí)際，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題。

【練習(xí)】

1.大廳里有5 根柱子，每根柱子底面周長(zhǎng)是3.14米，高3米。給5根這樣的柱子刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用油漆多少千克？

2.一件雕塑的底座是用混凝土澆筑成的棱長(zhǎng)2.6米的正方體。

（1）這件雕塑占地多少平方米？

（2）澆筑這件雕塑的底座需要混凝土多少立方米？

（3）給底座貼上花崗石，貼花崗石的面積是多少平方米？

（崇 沖）

統(tǒng)計(jì)與概率

【錯(cuò)例】

李明與張潔玩一個(gè)游戲，有10 張紙牌，紙牌上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，每次隨意摸一張，摸到比5 大的牌算李明贏，摸到比5 小的牌就算張潔贏。這樣的游戲公平嗎？

這樣的游戲公平。

正確答案：這樣的游戲不公平。比5大的牌有5張，比5小的牌只有4張。

【診斷】

1．意義認(rèn)識(shí)不清楚。

游戲公平性的本質(zhì)是事件發(fā)生具有等可能性。這里學(xué)生只是憑借直覺(jué)把“比5大”“比5小”這對(duì)具有相反意義的事件與游戲的“贏”和“輸”建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，沒(méi)有考慮到游戲雙方摸到紙牌上數(shù)的出現(xiàn)情況是否具有等可能性。

2．考慮問(wèn)題不全面。

學(xué)生在判斷這項(xiàng)游戲規(guī)則是否公平，只是想到這樣的規(guī)則能出現(xiàn)“贏”和“輸”的情況，沒(méi)有考慮到“贏”和“輸”情況出現(xiàn)可能性的大小，沒(méi)有細(xì)細(xì)分析“比5大”和“比5小”兩種情況的具體數(shù)量。而這里“比5 大”和“比5 小”數(shù)字出現(xiàn)情況個(gè)數(shù)是否相等，恰恰是這項(xiàng)游戲公平與否的關(guān)鍵考量。

【對(duì)策】

1．在實(shí)踐操作中去體驗(yàn)。

事件發(fā)生可能性的大小是需要學(xué)生通過(guò)實(shí)踐去驗(yàn)證的，在具體的游戲中參與，在實(shí)踐中體驗(yàn)。因此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間，讓他們?cè)诓僮髦兄鲃?dòng)體驗(yàn)游戲中不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)，利用可能性的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)判斷規(guī)則是否公平。

2．讓學(xué)生參與游戲的設(shè)計(jì)。

公平性的大小是基于了解事件發(fā)生的所有可能性進(jìn)行判斷的，在日常教學(xué)中，可以讓學(xué)生參與游戲的設(shè)計(jì)，驗(yàn)證可能性對(duì)雙方是否是等同的，從而調(diào)整游戲規(guī)則，使游戲公平。學(xué)生在此過(guò)程中建立規(guī)則意識(shí)，并通過(guò)游戲是否公平的判斷，感受游戲的公平原則。

【練習(xí)】

小張與小劉玩一個(gè)游戲，有9 張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9的數(shù)字卡片，每次隨意摸一張，摸到比5大的卡片算小張贏，摸到比5小的卡片算小劉贏。這樣的游戲公平嗎？

【錯(cuò)例】

一次數(shù)學(xué)檢測(cè)中，班級(jí)平均分是92 分，數(shù)學(xué)老師給第一小組記分如下：

姓名劉麗張小平李霞張大強(qiáng)孫笑劉海燕朱海華劉海飛分?jǐn)?shù)2 0 1-3 4-3 3 4

你知道第一小組的平均分是多少嗎？

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

正確答案：

（2+0+1-3+4-3+3+4）÷8=1（分）

92+1=93（分）

【診斷】

1．概念認(rèn)識(shí)停留在表面。

學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)等概念的認(rèn)識(shí)停留在表面，沒(méi)有聯(lián)系實(shí)際生活對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行深入了解，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤。

2．缺乏知識(shí)構(gòu)建。

教師在教學(xué)過(guò)程中缺少對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)，學(xué)生數(shù)學(xué)思考不深入，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知膚淺，制約了學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解及合理運(yùn)用。

【對(duì)策】

1．開(kāi)展負(fù)數(shù)概念生活化練習(xí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，也是生活的一部分。因此，學(xué)生掌握了負(fù)數(shù)的概念，應(yīng)該進(jìn)行針對(duì)性練習(xí)。例如，在日常生活中，觀察人們?nèi)绾斡秘?fù)數(shù)進(jìn)行記錄，用負(fù)數(shù)記錄后，又是如何進(jìn)行有效表述的。

2．培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的檢驗(yàn)意識(shí)。

這個(gè)題目的計(jì)算過(guò)程沒(méi)有問(wèn)題，根據(jù)算式得到的結(jié)果也是正確的；但是卻與實(shí)際情況嚴(yán)重不符，無(wú)論哪次考試中，一個(gè)小組的平均成績(jī)也不可能是1 分。因此，要培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的檢驗(yàn)意識(shí)，既有計(jì)算的檢驗(yàn)意識(shí)，也要有計(jì)算結(jié)果與實(shí)際生活進(jìn)行對(duì)比的檢驗(yàn)意識(shí)。

【練習(xí)】

一次期中檢測(cè)，班級(jí)數(shù)學(xué)平均分是90 分，劉老師給第一小組記分如下：

姓名張笑李樂(lè)樂(lè)鄭小霞蘇小山劉歡劉春燕王曉蘭杜飛分?jǐn)?shù)___3_____-2______1______-2_____4_____-2______6______4__

第一小組的數(shù)學(xué)平均分是多少？

【錯(cuò)例】

寧寧在8張卡片上寫(xiě)了從1到10這十個(gè)自然數(shù)中的8 個(gè)數(shù)。他說(shuō)從這8 張卡片中任意摸出一張，摸到偶數(shù)的可能性是。在這8張卡片中寧寧寫(xiě)了（5）個(gè)奇數(shù)。

正確答案：4

【診斷】

1.審題習(xí)慣不好。

很顯然，學(xué)生沒(méi)有把題目看完，或看完了不假思索，沒(méi)有注意到題目中的關(guān)鍵字詞，就開(kāi)始提筆做題。

2.提取信息的能力不足。

學(xué)生遇到復(fù)雜題目時(shí)缺少應(yīng)對(duì)策略，遇到數(shù)據(jù)信息比較亂的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不能夠從條件中提取出解題需要的信息。

【對(duì)策】

1.培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣。

審題，即通讀題目，完整、細(xì)致地理解題目所表述的意思。審題過(guò)程是挖掘信息的過(guò)程，也是遷移信息的過(guò)程，主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題中所含的信息進(jìn)行提取、組合、加工和表達(dá)。只有通過(guò)細(xì)心、認(rèn)真的觀察和思考，抓住關(guān)鍵的信息，才能認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，合理地選擇解題方法。

2.培養(yǎng)學(xué)生的信息提取能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該注重從三個(gè)方面來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的信息提取能力：一是刪除多余的信息；二是找出隱含的信息；三是圈出關(guān)鍵的信息。

【練習(xí)】

小軍在6張卡片上寫(xiě)了從1到10這十個(gè)自然數(shù)中的6個(gè)數(shù)（每張卡片只寫(xiě)一個(gè)數(shù)字）。從這6張卡片中任意摸出一張，摸到偶數(shù)的可能性是，在這6張卡片中小軍寫(xiě)了（ ）個(gè)偶數(shù)。

【錯(cuò)例】

李明和爸爸周末騎車到距離市區(qū)30 千米的郊區(qū)春游，行程情況如圖所示：

（1）他倆去時(shí)花了（1）小時(shí)，中途休息了（1）小時(shí)，如果兩人中途不休息，（2）小時(shí)就可以到達(dá)目的地。

（2）他們?cè)诮紖^(qū)共游玩了（6）小時(shí)。

（3）返回時(shí)，每小時(shí)行（5）千米。

正確答案：（1）2 0.5 1.5

（2）2.5

（3）20

【診斷】

1.獲取信息能力不足。

在日常教學(xué)中，教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生獲取信息的能力重視不足，學(xué)生對(duì)稍復(fù)雜圖形的分析經(jīng)常不到位，因此不少教師會(huì)選擇直接告訴學(xué)生圖中的信息，缺少引導(dǎo)環(huán)節(jié)，學(xué)生從圖形中自主獲取信息的能力較差。

2.將生活中的事件提煉成數(shù)學(xué)題目的能力不足。

有些學(xué)生對(duì)此類題目審題能力相對(duì)較差，特別是綜合類型的題目，一方面是缺少練習(xí)，另一方面也是對(duì)生活事件提煉成數(shù)學(xué)題目的過(guò)程不夠了解。

【對(duì)策】

1．加強(qiáng)引導(dǎo)性分析。

在平時(shí)教學(xué)此類題目時(shí)，要用引導(dǎo)性的分析來(lái)幫助學(xué)生提高獲取信息的能力，特別是稍復(fù)雜的題目，一定要扎實(shí)地做好前期引導(dǎo)，只有這樣才能逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題的意識(shí)與能力。

2．培養(yǎng)生活事件的數(shù)學(xué)提煉能力。

讓學(xué)生將生活中的一些事件，用語(yǔ)言、圖形、表格、統(tǒng)計(jì)圖等適合的形式表述出來(lái)。表述的過(guò)程，也是學(xué)生加深理解的過(guò)程。再遇到此類問(wèn)題，學(xué)生對(duì)于圖形中的每一個(gè)地方就能夠理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用。

【練習(xí)】

小娜和小敏周末騎車到距離市區(qū)6千米的兒童游樂(lè)場(chǎng)游玩，行程情況如下圖所示：

（1）她倆去時(shí)花了（ ）分鐘，中途休息了（ ）分鐘，如果兩人中途不休息，（ ）分鐘就可以到達(dá)目的地。

（2）她們?cè)诮紖^(qū)共游玩了（ ）分鐘。

（3）返回時(shí)，每分鐘行（ ）千米。

【錯(cuò)例】

某同學(xué)從家出發(fā)，按一定速度步行去上學(xué)，途中天氣有變，他便跑步去學(xué)校。在下圖中（D）能正確地表示出他行走的路程與時(shí)間的關(guān)系。

正確答案：B

【診斷】

1．對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)圖像化理解不足。

此題中，時(shí)間與路程的變化如果用語(yǔ)言表述，可以簡(jiǎn)述成：路程一定，時(shí)間越短，速度越快；路程一定，時(shí)間越長(zhǎng)，速度越慢。大多數(shù)學(xué)生理解題意，卻不理解圖像。

2．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用能力不足。

生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)提煉成數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生解答起來(lái)卻無(wú)從下手。究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)生不能將數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活中的數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，因而不能運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解答問(wèn)題。

【對(duì)策】

1．培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

小學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)側(cè)重于形象思維，抽象思維能力和邏輯思維能力還處于初級(jí)階段，而小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性特點(diǎn)使他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)常常會(huì)感到枯燥、晦澀、乏味。

2．多種形式強(qiáng)化數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)知識(shí)生活化是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在日常教學(xué)中，要運(yùn)用多種形式，創(chuàng)設(shè)不同的情境來(lái)強(qiáng)化數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，切實(shí)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活。

【練習(xí)】

一天，甲同學(xué)上學(xué)時(shí)，爸爸開(kāi)車送他，車開(kāi)到一半時(shí)，爸爸突然有事，要去其他地方，因此，他下車自己走到學(xué)校。下圖中（ ）能正確地表示出甲同學(xué)行走的路程與時(shí)間的關(guān)系。

（劉建華）