(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 235000)

數(shù)學(xué)教學(xué)是科學(xué)性與藝術(shù)性的有效結(jié)合，并且更偏向于藝術(shù)性．教學(xué)藝術(shù)是以教師的教學(xué)天賦、技能技巧、個(gè)性經(jīng)驗(yàn)、興趣、體悟、想象力、心向等要素的融合與平衡為基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中分享其他數(shù)學(xué)教師的教學(xué)精華而發(fā)生的．[1]因此，好的數(shù)學(xué)教學(xué)的產(chǎn)生是一個(gè)領(lǐng)悟、反思與實(shí)踐相結(jié)合并相互作用的過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的這種藝術(shù)性展開(kāi)所聚焦的一項(xiàng)重要目標(biāo)就是啟發(fā)學(xué)生思考．

1 啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)及其手段分析

數(shù)學(xué)教學(xué)是有目的、有計(jì)劃、有準(zhǔn)備的實(shí)踐活動(dòng)．通過(guò)教材分析與學(xué)情分析，尋獲學(xué)生接納新知時(shí)的一系列心理線索，從而設(shè)置教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)而設(shè)計(jì)一系列與心理線索一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考．除此以外，教師還要通過(guò)烘托課堂氣氛，鼓勵(lì)學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動(dòng)性．當(dāng)然，教師的問(wèn)題設(shè)計(jì)得好，學(xué)生的活動(dòng)參與度和思維參與度也自然都高漲起來(lái)，那么課堂便活了起來(lái)[2]，知識(shí)也就自然生長(zhǎng)了．這種目標(biāo)與手段大致分為以下幾個(gè)方面：

其一，以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目的．王策三先生說(shuō)：“知識(shí)好比一個(gè)百寶箱，里面藏了大量的珍寶，不僅含有關(guān)于客觀事物的特性與規(guī)律，而且含有人的主觀能力、思想、情感、價(jià)值觀等精神力量、品質(zhì)與態(tài)度．”[3]這些都是組成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要元素．但是，學(xué)生自己很難將知識(shí)中的這些價(jià)值移植到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，需要教師通過(guò)教材分析，將這些發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素提取出來(lái)，通過(guò)合乎學(xué)生心理認(rèn)識(shí)的途徑，投射到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去．

其二，以教學(xué)目標(biāo)為大方向組織課堂教學(xué)活動(dòng)．教學(xué)目標(biāo)在教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮引領(lǐng)作用，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要將教學(xué)目標(biāo)具體化，根據(jù)具體目標(biāo)設(shè)計(jì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由問(wèn)題生成教學(xué)設(shè)計(jì)預(yù)案中的“問(wèn)題串”，進(jìn)而整合出課堂教學(xué)活動(dòng)．“問(wèn)題串”要體現(xiàn)思維的邏輯性、問(wèn)題的深入性和啟發(fā)的漸近性，以實(shí)現(xiàn)在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀這三方面的教學(xué)目標(biāo)．

其三，以“通過(guò)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生積極思考”作為課堂實(shí)施的核心．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟．?dāng)?shù)學(xué)教師要啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的思維策略．?dāng)?shù)學(xué)教師要以“問(wèn)題”為載體，以問(wèn)題背景的創(chuàng)設(shè)為出發(fā)點(diǎn)(如本課例以高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)為出發(fā)點(diǎn))，以教學(xué)內(nèi)容提出的具體問(wèn)題為主線，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作探究來(lái)分析問(wèn)題并解決問(wèn)題．[4]

其四，注重思想滲透，幫助學(xué)生汲取數(shù)學(xué)思想方法的豐富營(yíng)養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是從具體數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中提煉和概括出來(lái)的，具有可遷移和可推廣的價(jià)值．在啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師必須重視對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的滲透，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)；同時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)把學(xué)生的思維探究引向深處，從而最大限度地激發(fā)他們體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．[5]

由此可見(jiàn)，啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)在于通過(guò)數(shù)學(xué)提問(wèn)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心智活動(dòng)的核心就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，教師正是要圍繞學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)的這一核心來(lái)設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問(wèn)題．如此說(shuō)來(lái)，教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)最為關(guān)鍵的要素，而數(shù)學(xué)問(wèn)題是啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的有效工具．

2 使用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考示例

一切科學(xué)研究毫無(wú)例外地都要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程．也就是說(shuō)，科學(xué)研究是由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的．同樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也離不開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)教師要運(yùn)用數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)時(shí)的本真問(wèn)題，加以提煉、加工、呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)他們進(jìn)行火熱的思考，以達(dá)到啟發(fā)式教學(xué)的目的．這里的數(shù)學(xué)問(wèn)題并不是習(xí)題或?qū)嶋H問(wèn)題，而是具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的問(wèn)題．[6]

在基于“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，筆者以問(wèn)題串和真實(shí)課堂為載體，將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成問(wèn)題串，通過(guò)層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)．本節(jié)課是高中弧度制的教學(xué)，由初中的三角函數(shù)引入，從已有的角度制的定義中獲得啟發(fā)，即從已學(xué)過(guò)的知識(shí)中尋得解決問(wèn)題的靈感和思路，將角的概念進(jìn)行推廣，而“將初中所學(xué)的三角函數(shù)放在高中所學(xué)的函數(shù)定義中，此三角函數(shù)是否仍然成立”是角度制向弧度制轉(zhuǎn)化的突破口．具體設(shè)計(jì)如下.

師：初中時(shí)我們學(xué)習(xí)了直角三角形中銳角的三角函數(shù)．在高中，我們還要繼續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)．同學(xué)們還記得初中時(shí)學(xué)習(xí)了哪些三角函數(shù)嗎？

生1：正弦函數(shù)sinA，余弦函數(shù)cosA，正切函數(shù)tanA．角A可以取30°, 45°, 60°，…

師：當(dāng)時(shí)根據(jù)什么來(lái)定義它們?yōu)楹瘮?shù)的呢？

生：根據(jù)初中的函數(shù)定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)．對(duì)于A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA, tanA也是A的函數(shù)．

師：也就是說(shuō)，初中所學(xué)的三角函數(shù)滿足初中的函數(shù)定義．在高中我們也學(xué)習(xí)了函數(shù)定義，可否把初中定義的三角函數(shù)直接移植到高中所學(xué)的函數(shù)中來(lái)呢？

生：……

師：我們先來(lái)回憶一下高中函數(shù)是怎么定義的．

生：一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

師：據(jù)此，同學(xué)們能夠提煉出滿足高中函數(shù)定義的幾個(gè)重要條件嗎？

生2：①兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A,B；②對(duì)于A中的任意一個(gè)數(shù)，B中都有唯一確定的數(shù)與其對(duì)應(yīng)；③對(duì)應(yīng)關(guān)系f．

師：很好！我們?nèi)绾闻袛喑踔兴鶎W(xué)的三角函數(shù)在高中函數(shù)概念中是否為函數(shù)呢？

生3：可以看初中所學(xué)的三角函數(shù)是否滿足高中函數(shù)定義的這三個(gè)條件．

師：很好！同學(xué)們一起來(lái)判斷一下，正弦函數(shù)f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函數(shù)定義下是否仍為函數(shù)呢？

生4：f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函數(shù)定義下不是函數(shù)．因?yàn)樽宰兞縳的取值為30°, 45°, 60°,…,這是一些帶有單位(度)的“量”，而不是一些“數(shù)”，不滿足上述的第一個(gè)條件(x的取值范圍A為非空實(shí)數(shù)集)．

師：既然初中所學(xué)的三角函數(shù)在高中函數(shù)概念中不能稱(chēng)之為函數(shù)，那么如何利用高中函數(shù)來(lái)定義三角函數(shù)以便繼續(xù)研究呢？

生5：高中函數(shù)要求自變量x和因變量y的取值范圍A,B為非空實(shí)數(shù)集，而不像初中函數(shù)定義的那樣，x與y為變“量”即可，不要求其為“數(shù)”．那么我們是否可以將f(x)=sinx中的自變量x由一些“量”變?yōu)橐恍皵?shù)”呢？也就是將角A的度數(shù)由量轉(zhuǎn)換為數(shù)．

師：這個(gè)想法很奇妙，也符合我們問(wèn)題解決的方向．如何進(jìn)行這種轉(zhuǎn)換呢？

生：……

師：在初中，我們?nèi)绾味攘拷堑拇笮〉哪兀?/p>

師：這位同學(xué)將初中學(xué)的“角度制”解釋得非常清楚．現(xiàn)在我們就是要想辦法將這種以“度”為單位來(lái)度量角的角度制轉(zhuǎn)化成一種以“數(shù)”為單位的度量角的單位制.如何轉(zhuǎn)化？

師：如何將這個(gè)“量”變?yōu)椤皵?shù)”？

生：……

師：回想一下，我們?cè)?jīng)用過(guò)的單位量通常是多少？或者說(shuō)我們通常設(shè)單位量為多少來(lái)解決問(wèn)題呢？

生10：這讓我想到了單位1，因?yàn)樽鳛閱挝?，我們總想使用?”．

師：非常好！我們終于得到了想要的結(jié)果——以一個(gè)簡(jiǎn)潔的數(shù)作為單位角來(lái)度量角．這就是我們今天要學(xué)的另外一種度量角的單位制——弧度制．同學(xué)們能試著說(shuō)出弧度制的定義嗎？

生：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的角叫做1弧度的角．

圖1

師：總結(jié)得很好！長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角(圖1)，弧度制單位用符號(hào)rad表示，讀作“弧度”．那么弧度制下的角如何表示呢？

師：對(duì)于這個(gè)式子，同學(xué)們有疑問(wèn)嗎？它對(duì)任意角都通用嗎？

師：很好！一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．現(xiàn)在我想問(wèn)，某圓心角為αrad，此圓心角的單位為rad，那么αrad是一個(gè)量還是一個(gè)數(shù)呢？

生14：αrad帶有單位，是一個(gè)“量”，而α才是一個(gè)“數(shù)”.我們能否只用α來(lái)表示角呢？

師：這位同學(xué)說(shuō)出了大家的想法！今后用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或rad通常略去不寫(xiě)，只寫(xiě)該角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)．例如，角α=2就表示α是2 rad的角．如此，我們便可以用數(shù)來(lái)度量角了．既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間應(yīng)該可以換算．如何換算呢？

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們利用這些換算公式，將本節(jié)課開(kāi)始時(shí)給出的角度30°, 45°, 60°，…轉(zhuǎn)化成弧度．

師：在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(等于這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．因此，我們這節(jié)課最開(kāi)始的問(wèn)題迎刃而解了.有了弧度制，我們就可以繼續(xù)研究高中函數(shù)概念下的三角函數(shù)了．

至此可見(jiàn)，本節(jié)課就是通過(guò)這一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考探究、達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)目的的．課堂一開(kāi)始，教師指出高中要繼續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，由此引出一連串的數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)話，最后得到角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得三角函數(shù)滿足高中函數(shù)定義，解決了在高中函數(shù)定義下繼續(xù)研究三角函數(shù)的問(wèn)題．

3 結(jié)語(yǔ)

在啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，學(xué)生通過(guò)一連串?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的提出和解決，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題．這不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也正好符合數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律．啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上也就是問(wèn)題的提出、探索和解決的全過(guò)程[7]，啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐也是以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)為基礎(chǔ)的．因此，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)動(dòng)數(shù)學(xué)思維，觸動(dòng)數(shù)學(xué)靈感[8]，更好地做到啟發(fā)學(xué)生思考．