張志華

桐廬縣分水初中教育集團(tuán)，浙江杭州 311519

混淆公式或概念、知識(shí)的遷移能力弱是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育“四基”落實(shí)中存在的問題。讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成，主動(dòng)概括出概念是解決此類問題積極有效的方法。如何有效率地建構(gòu)概念，并用概念間的聯(lián)系來培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維呢？筆者以《方差和標(biāo)準(zhǔn)差》為例，嘗試用整體單元的視角來說明如何教學(xué)設(shè)計(jì)，具體匯報(bào)如下：

1 理解教材對(duì)整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)的意義

課程標(biāo)準(zhǔn)要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念、模型思想。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析觀念的重要載體，也是學(xué)生樹立模型思想的重要載體。

1.1 明確課時(shí)內(nèi)容的承前啟后

教材編排的進(jìn)度是：先組織學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)直方圖，讓學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)、數(shù)據(jù)間的差異有直觀的感受。在此基礎(chǔ)上組織學(xué)習(xí)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，讓學(xué)生理解這些都是對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的定量分析。對(duì)于數(shù)據(jù)離散分布的描述，頻數(shù)直方圖中的極差概念描述地過于籠統(tǒng)?；谶@一現(xiàn)實(shí)，有必要引入新概念（即方差和標(biāo)準(zhǔn)差）來反映數(shù)據(jù)離散程度。這為用樣本估計(jì)總體提供了參照標(biāo)準(zhǔn)，為后續(xù)用頻率估計(jì)概率作知識(shí)儲(chǔ)備。明確課時(shí)內(nèi)容的承前啟后，能讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)新概念的必要性。

1.2 明確課時(shí)內(nèi)容的教育擔(dān)當(dāng)

方差和標(biāo)準(zhǔn)差承載了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的教育期盼，所以讓學(xué)生用已學(xué)的統(tǒng)計(jì)量來分析數(shù)據(jù)是課堂引入必須要采用的內(nèi)容。感受原有的統(tǒng)計(jì)量不能解決數(shù)據(jù)離散程度的比較，讓學(xué)生充分思考怎樣的統(tǒng)計(jì)量能解決這個(gè)問題、如何去設(shè)計(jì)一個(gè)算法（即新的統(tǒng)計(jì)概念）來實(shí)現(xiàn)這樣的比較。在教學(xué)中讓學(xué)生去經(jīng)歷算法的探求過程，能實(shí)現(xiàn)滲透數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)目標(biāo)。采用學(xué)歷案模式教學(xué)，設(shè)計(jì)時(shí)可以制定以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過實(shí)際情境，合作交流經(jīng)歷概念的產(chǎn)生過程，建構(gòu)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念；2.掌握一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，體會(huì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差能反映數(shù)據(jù)的“離散程度”；3.結(jié)合實(shí)際情境，體會(huì)借助方差量化數(shù)據(jù)波動(dòng)程度，積累統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)并提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。其中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算；難點(diǎn)是方差和標(biāo)準(zhǔn)差的必要性和合理性。

1.3 突出課時(shí)內(nèi)容的地位作用

《方差和標(biāo)準(zhǔn)差》在本章的地位是非常重要的，因?yàn)樗呛饬繑?shù)據(jù)穩(wěn)定性的唯一指標(biāo)。對(duì)于平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量而言，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算量大，概念的形成步驟繁瑣，概念形成過程中的考量繁多，故它又是本章的難點(diǎn)。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念也是公式，它的學(xué)習(xí)遵循公式教學(xué)的一般思路：發(fā)現(xiàn)公式→推導(dǎo)公式→理解公式→辨析公式→應(yīng)用公式。在推導(dǎo)公式的過程中讓學(xué)生理解每一步驟，并及時(shí)的鞏固概念就可以了。

2 理解學(xué)生對(duì)整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)的要求

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，方差和標(biāo)準(zhǔn)差概念的形成是一個(gè)從無到有的過程。教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，如何激發(fā)學(xué)生去探究問題，如何鼓勵(lì)學(xué)生去解決問題是教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須要考慮的問題。教師可以從學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)來發(fā)問：如浙教版八下教材從甲乙兩人的射擊成績(jī)發(fā)問，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者平均數(shù)、中位數(shù)都相同。從折線統(tǒng)計(jì)圖看甲穩(wěn)定，乙較不穩(wěn)定，但有最好發(fā)揮。問題起點(diǎn)低，能引發(fā)學(xué)生思考。選擇哪位選手，問題具有開放性，能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)。要求說明選擇的理由，能引發(fā)選擇甲的學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)離散程度度量的思考?？紤]引導(dǎo)學(xué)生回溯眾數(shù)的概念，又讓學(xué)生意識(shí)到必須用計(jì)算去刻畫數(shù)據(jù)特征，設(shè)計(jì)時(shí)可對(duì)甲、乙增設(shè)數(shù)據(jù)：甲6，8，10，乙7，8，9。增設(shè)數(shù)據(jù)后，甲乙的眾數(shù)、極差也相同，并且通過統(tǒng)計(jì)圖不易明顯比較出數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度的大小。學(xué)生會(huì)試圖用每一個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)作差、匯總來刻畫這組數(shù)據(jù)對(duì)于平均數(shù)的離散程度。為消除正負(fù)抵消的影響，學(xué)生會(huì)再嘗試將所得的差加上絕對(duì)值、求和（即離差）來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。此時(shí)教師可以點(diǎn)評(píng)：求值時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況（去絕對(duì)值時(shí)需對(duì)每一個(gè)差的正負(fù)作出判斷）？有沒有其它消除以上正負(fù)抵消的影響的方法？學(xué)生根據(jù)已習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)，自然會(huì)嘗試將所得的差平方再求和（即方差）的方法。這是教師從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)著手。

3 理解教學(xué)在整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)的體現(xiàn)

3.1 扶放有度的教學(xué)節(jié)奏

基于本課時(shí)的難點(diǎn)是方差和標(biāo)準(zhǔn)差的必要性和合理性，在推導(dǎo)公式的過程中務(wù)必要讓學(xué)生去參與計(jì)算、經(jīng)歷失敗、嘗試改進(jìn)、體驗(yàn)成功。教師適時(shí)地給予鼓勵(lì)、提出質(zhì)疑或給出改進(jìn)的建議就可以了。比如，當(dāng)學(xué)生已得出的統(tǒng)計(jì)方法后，教師給出情境：為避免某等因素對(duì)甲乙發(fā)揮的影響，再行測(cè)試。甲的成績(jī)分別為7，8，8，7，8，9，6，9，10，7，7，10。乙的部分成績(jī)?yōu)?，8，6，9，9，7，7，10，6，9，10另一部分成績(jī)因故已遺失。以上統(tǒng)計(jì)方法對(duì)不同個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)適用嗎？怎么改進(jìn)？學(xué)生自然會(huì)想到將平方和再平均的方法。這讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)了方差的概念，達(dá)成目標(biāo)1。

3.2 講解、展示、練習(xí)教學(xué)鏈

計(jì)算甲、乙射擊成績(jī)的方差，明確方差大小與數(shù)據(jù)波動(dòng)程度、穩(wěn)定性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教師可以及時(shí)指出：方差的單位是什么？怎么設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量令它具有實(shí)際意義。這樣順勢(shì)就得到了標(biāo)準(zhǔn)差的概念，并指出標(biāo)準(zhǔn)差也是反映數(shù)據(jù)的離散程度的。緊接著給出練習(xí)：

①樣本的方差是

3.3 支持遷移、應(yīng)用的診斷

《方差和標(biāo)準(zhǔn)差》的學(xué)習(xí)是支持?jǐn)?shù)據(jù)分析初步的學(xué)習(xí)的，所以本課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)除了要讓學(xué)生深度理解公式概念外，還要求把公式概念遷移到不同情境、不同數(shù)據(jù)中去應(yīng)用。實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)廣度的延伸，以達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)3。

4 評(píng)估整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo)的達(dá)成

整體單元教學(xué)設(shè)計(jì)的目的是讓單元知識(shí)系統(tǒng)整合。落實(shí)好本課時(shí)“四基”，能厘清整體單元概念間的關(guān)系。通過概括和整合，學(xué)生明確方差和標(biāo)準(zhǔn)差跟平均數(shù)一樣是數(shù)學(xué)工具，不同的是它是用來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。本章的教學(xué)重點(diǎn)是各統(tǒng)計(jì)量的概念和算法。建構(gòu)概念，對(duì)數(shù)據(jù)分析能力的提升也是有要求的。教師可以整合教材資源組織學(xué)生對(duì)方差的兩個(gè)補(bǔ)充定理進(jìn)行探究，比如：請(qǐng)解決以下問題：已知a1，a2，a3，…an的平均數(shù)為X，方差為Y，標(biāo)準(zhǔn)差為Z。①a1+3，a2+ 3，…an+3的平均數(shù)為_方差為_標(biāo)準(zhǔn)差為_。 ②3a1，3a2，3a3，…3an的平均數(shù)為_方差為_標(biāo)準(zhǔn)差為_。 ③2a1-3，2a2-3，2a3-3 ，…2an-3的平均數(shù)為_方差為 _標(biāo)準(zhǔn)差為_。提升方差概念的理解，達(dá)到數(shù)據(jù)處理能力提升的目的。本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算，以上兩個(gè)補(bǔ)充定理的探究是去解決這個(gè)重點(diǎn)問題的。課標(biāo)要求，為不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。以上問題也是有模型的，在此處無需提出數(shù)學(xué)模型的概念，讓學(xué)生自我感悟就可以了。