何英

【摘? ?要】教材的縱向比較研究主要是從歷史的視角，對(duì)不同時(shí)期的教材進(jìn)行分析、對(duì)比研究。一方面可以對(duì)所研究的內(nèi)容有更為全面和深入的理解和掌握;另一方面可以通過(guò)分析、對(duì)比“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”這一內(nèi)容的編寫(xiě)異同，了解小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史，感悟歷史前進(jìn)的足跡。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù);合數(shù);不同時(shí)期;教材比較

教材縱向比較研究主要是比較不同歷史時(shí)期教材的異同。本文主要對(duì)人教版1989年和2014年教材中“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教材引入、概念呈現(xiàn)、概念鞏固、分解質(zhì)因數(shù)與習(xí)題類(lèi)型等內(nèi)容進(jìn)行分析對(duì)比研究。

一、教材的引入部分是怎樣編寫(xiě)的？

教材的引入直接體現(xiàn)了編者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)。以下是對(duì)兩個(gè)不同時(shí)期教材關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的引入的研究過(guò)程。

1989年版教材直接給出5個(gè)數(shù)，寫(xiě)出每個(gè)數(shù)的約數(shù)，并按約數(shù)的個(gè)數(shù)分類(lèi)（如圖1）。

2014年版教材要求找出1～20各數(shù)的因數(shù)，根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)找規(guī)律并分類(lèi)（如圖2）。

從以上的教材引入過(guò)程，可以得出它們的共同特點(diǎn)：教材都是從寫(xiě)數(shù)的因數(shù)引入，按照因數(shù)的個(gè)數(shù)去分類(lèi)，注重對(duì)學(xué)生分類(lèi)思想的培養(yǎng)。而它們的不同點(diǎn)主要有以下這些。

（一）數(shù)的個(gè)數(shù)：由少到多

1989年版教材中先給出了問(wèn)題：寫(xiě)出下面每一個(gè)數(shù)的約數(shù)。按照每一個(gè)數(shù)約數(shù)的多少，可以分哪幾種情況？并給出了1，5，9，11和12這5個(gè)數(shù)，根據(jù)這5個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。而2014年版教材引入部分的研究對(duì)象是從1～20這些數(shù)中找出因數(shù)，再根據(jù)它們的因數(shù)個(gè)數(shù)不同進(jìn)行分類(lèi)。

從5個(gè)數(shù)到20個(gè)數(shù)，量有了很大的變化，說(shuō)明學(xué)生要寫(xiě)數(shù)的個(gè)數(shù)，客觀思考的量上大了很多。在考察個(gè)別數(shù)的特殊例子中的因數(shù)個(gè)數(shù)的多少后，逐步地歸納出這樣一類(lèi)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)，我們叫質(zhì)數(shù)。這是一個(gè)歸納的過(guò)程，它是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程。特殊的例子多一點(diǎn)，當(dāng)然就有利于歸納出一般的結(jié)論。比較兩版教材數(shù)的個(gè)數(shù)增多，更有利于學(xué)生尋找規(guī)律，進(jìn)行歸納和分類(lèi)。

（二）問(wèn)題提出：從封閉到開(kāi)放

1989年版教材中的問(wèn)題是：可以分哪幾種情況？明顯暗示了學(xué)生要進(jìn)行分類(lèi)。而2014年版教材中的問(wèn)題是：看看它們的因數(shù)的個(gè)數(shù)有什么規(guī)律？相比較1989年版教材開(kāi)放度更高了，更適合不同層次的學(xué)生。規(guī)律的尋找可以通過(guò)分類(lèi)，也可以是按照某一個(gè)規(guī)律。筆者把20個(gè)數(shù)的因數(shù)及因數(shù)的個(gè)數(shù)羅列成下表（如表1）。

學(xué)生可能會(huì)提出：每一個(gè)數(shù)的最小的因數(shù)都是1;每一個(gè)數(shù)的最大的因數(shù)都是它本身;有些數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)（平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)）;有些數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)（非平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)）……這些都可以是學(xué)生所找到的規(guī)律。在這個(gè)表格中學(xué)生還可以有很多自己的猜測(cè)：1只有1個(gè)因數(shù)，最為特殊，單獨(dú)分為一類(lèi);有2個(gè)因數(shù)的數(shù)最多，所以也單獨(dú)分為一類(lèi);其他的分為一類(lèi)……由此可見(jiàn)，兩個(gè)不同時(shí)期的教材在問(wèn)題的提出上，從封閉到開(kāi)放的過(guò)渡，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（三）結(jié)果呈現(xiàn)：從直接到間接

1989年版教材在提出問(wèn)題后，緊接著對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了直接回答。教材中呈現(xiàn)了每一個(gè)數(shù)的約數(shù)。這是對(duì)問(wèn)題中的第一問(wèn)“寫(xiě)出每一個(gè)數(shù)的約數(shù)”作出的回答;之后將五個(gè)數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)。這是對(duì)問(wèn)題中的第二問(wèn)“按照每一個(gè)數(shù)約數(shù)的多少，可以分哪幾情況”作出了直接回答。教材中每個(gè)數(shù)的因數(shù)和分類(lèi)結(jié)果都是直接呈現(xiàn)的。

2014年版教材中是通過(guò)同伴之間對(duì)話的形式呈現(xiàn)結(jié)果的，而不是教材直接給出的。這是一類(lèi)以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。這表明：教學(xué)過(guò)程中，教師不應(yīng)直接將結(jié)果告訴學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生自己去學(xué)習(xí)，并且通過(guò)小組相互交流填寫(xiě)表格的方式間接得出結(jié)果。

從1989年版教材直接給出結(jié)果，到2014年版教材讓學(xué)生通過(guò)交流、填寫(xiě)表格間接得到結(jié)果，顯然后者更有利于學(xué)生活動(dòng)的開(kāi)展。

（四）學(xué)習(xí)方式：強(qiáng)調(diào)交流

比較兩個(gè)不同時(shí)期教材中學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，1989年版教材中都是以提問(wèn)和解答的形式呈現(xiàn)，不強(qiáng)調(diào)學(xué)生的交流。而2014年版教材注重對(duì)學(xué)生合作交流能力的培養(yǎng)，明顯強(qiáng)調(diào)學(xué)生的交流。

對(duì)比不同時(shí)期的教材，無(wú)論是從數(shù)的個(gè)數(shù)、問(wèn)題提出、結(jié)果呈現(xiàn)還是學(xué)習(xí)方式上看，都表明現(xiàn)在的教材對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體要求在不斷提高，更有利于培養(yǎng)新世紀(jì)人才。

二、概念的呈現(xiàn)是怎樣編寫(xiě)的？

1989年版教材和2014年版教材都是直接呈現(xiàn)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念（如圖3、圖4）。

不同時(shí)期的教材沒(méi)有太大變化，呈現(xiàn)的方式基本一致，都明確呈現(xiàn)了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，并對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)分別進(jìn)行了舉例。

1989年版教材中對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的舉例，選用了前面分類(lèi)過(guò)的數(shù)。質(zhì)數(shù)與合數(shù)各有兩個(gè)，還有一個(gè)是特殊的1。2014年版教材中不僅選用了教材分類(lèi)的20個(gè)數(shù)，還用了這20個(gè)以外的數(shù)進(jìn)行舉例，合數(shù)中舉例了49，說(shuō)明教材要求學(xué)生具有一定的遷移能力。這不僅是對(duì)定義的理解，更是對(duì)定義的應(yīng)用與強(qiáng)化。同時(shí)兩個(gè)不同時(shí)期的教材都強(qiáng)調(diào)了“1”的特殊性，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)某些特殊數(shù)的認(rèn)識(shí)。

三、概念的鞏固環(huán)節(jié)是怎樣編寫(xiě)的？

1989年版教材中通過(guò)例2判斷6個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，并給出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)（25個(gè)），提供學(xué)生查閱（如圖5）。

2014年版教材中學(xué)生根據(jù)合作探究和解決方法的提示語(yǔ)，通過(guò)篩選探究尋找出百以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（如圖6）。

1989年版教材中編排了一題根據(jù)概念判斷數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的練習(xí)。2014年版教材中沒(méi)有編排任何判斷的練習(xí)。

1989年版教材中100以內(nèi)的25個(gè)質(zhì)數(shù)是直接呈現(xiàn)的，并注明：要知道一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，也可以查質(zhì)數(shù)表。直接把百以內(nèi)質(zhì)數(shù)表作為一種工具呈現(xiàn)給學(xué)生。2014年版教材中出示了1～100所有的數(shù)，要求學(xué)生找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，做一個(gè)質(zhì)數(shù)表。在制作質(zhì)數(shù)表的過(guò)程中方法可以是多樣的，學(xué)生可以根據(jù)概念一個(gè)一個(gè)數(shù)去找，也可以利用教材下面給出的方法：思考、討論2的倍數(shù)，3的倍數(shù)（除2和3外），畫(huà)去這些合數(shù)，并拋出問(wèn)題：畫(huà)到幾的倍數(shù)就可以了？讓學(xué)生運(yùn)用多樣的方法，這是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)個(gè)性的尊重和差異的尊重，因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生都能從中感受到成功的喜悅。又因?yàn)椴町愝^大，所以更能促進(jìn)學(xué)生之間的相互交流。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。五年級(jí)的學(xué)生已具備一定的觀察、分析和理解能力，也掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。同時(shí)他們對(duì)學(xué)習(xí)充滿了熱情和好奇心，迫切地希望通過(guò)自主探究，了解掌握學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因此，選擇探究性的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、思考、探究的能力。

四、分解質(zhì)因數(shù)是怎樣編寫(xiě)的？

1989年版教材中根據(jù)課題“質(zhì)數(shù)和合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)”，在例1和例2的質(zhì)數(shù)與合數(shù)的內(nèi)容后，安排了例3和例4的分解質(zhì)因數(shù)。

例3：判斷合數(shù)，并寫(xiě)出合數(shù)是由哪幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得到的。把合數(shù)寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，同時(shí)出示了質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)的概念（如圖7）。

例4：用短除法的形式把3個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并用文字描述的形式介紹用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法（如圖8）。

2014年版教材中在質(zhì)數(shù)與合數(shù)知識(shí)后，編排的第二部分內(nèi)容是奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

兩個(gè)不同時(shí)期的教材對(duì)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)后續(xù)知識(shí)的編排各不相同。1989年版教材編排了“分解質(zhì)因數(shù)”的內(nèi)容，分解質(zhì)因數(shù)是一種重要的方法技能。1989年版教材以例3和例4兩個(gè)例題呈現(xiàn)。而2014年版教材編排了“奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”。分解質(zhì)因數(shù)是建立在質(zhì)數(shù)與合數(shù)的基礎(chǔ)之上的，質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念本身不同于奇數(shù)與偶數(shù)的特征那么明顯，相對(duì)隱性不易于學(xué)生理解與感受，學(xué)生容易把這四者之間的關(guān)系混淆起來(lái)。兩種不同的編排都有各自的益處。

筆者翻閱了2014年版全冊(cè)教材，發(fā)現(xiàn)“分解質(zhì)因數(shù)”這一內(nèi)容在教材第69頁(yè)上也有呈現(xiàn)，但它是以“你知道嗎”這一形式補(bǔ)充呈現(xiàn)的（如圖9）。書(shū)本上的“你知道嗎”這一欄目中的內(nèi)容一般分為兩類(lèi)：一類(lèi)是教材內(nèi)容的延伸，一類(lèi)是與教材內(nèi)容相關(guān)的小知識(shí)介紹。學(xué)生只需要了解即可。

由此可以看出，“分解質(zhì)因數(shù)”的地位在慢慢地下降。教學(xué)內(nèi)容的編排取決于課程標(biāo)準(zhǔn)。于是筆者查閱了不同時(shí)期的課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于“分解質(zhì)因數(shù)”的要求也是不同的。

1988年版課標(biāo)（大綱）的教學(xué)要求是：掌握整除、約數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)等概念，了解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握能被2，5，3整除的數(shù)的特征。會(huì)分解質(zhì)因數(shù)（不超過(guò)兩位數(shù)）。會(huì)求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。

2011年版課標(biāo)的具體目標(biāo)是：在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)某個(gè)自然數(shù)的所有倍數(shù)，并知道2，5，3的倍數(shù)的特征，能找出10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。在1～100的自然數(shù)中，能找到某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

可見(jiàn)，不同時(shí)期課程標(biāo)準(zhǔn)的要求不一樣。1988年版課標(biāo)（大綱）要求學(xué)生會(huì)分解質(zhì)因數(shù)（不超過(guò)兩位數(shù)），而2011年版課標(biāo)中已經(jīng)不提及“分解質(zhì)因數(shù)”這個(gè)知識(shí)的任何目標(biāo)要求了。

“分解質(zhì)因數(shù)”的作用之一是運(yùn)用異分母分?jǐn)?shù)加減法：要通分，找最小公倍數(shù)。找最小公倍數(shù)用“分解質(zhì)因數(shù)”是比較方便的。但前提是數(shù)據(jù)要相對(duì)較大，如果規(guī)定分母原則上不超過(guò)兩位數(shù)（不大于10），那么“分解質(zhì)因數(shù)”的作用自然就下降了。所以2014年版教材將“分解質(zhì)因數(shù)”這個(gè)內(nèi)容作為“你知道嗎”來(lái)編排也就可以理解了。

五、練習(xí)類(lèi)型是怎樣編寫(xiě)的？

練習(xí)題的安排體現(xiàn)了教材編者對(duì)于知識(shí)訓(xùn)練的要求，練習(xí)題的難易程度反映了教材編者對(duì)教學(xué)的要求。筆者把不同時(shí)期的教材練習(xí)題分成兩類(lèi)：第一類(lèi)是兩種教材都有的練習(xí)題類(lèi)型，第二類(lèi)是一種教材獨(dú)有的練習(xí)題類(lèi)型。

（一）兩種教材都有的練習(xí)題類(lèi)型

1.根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，判斷數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

2.聯(lián)系奇數(shù)、偶數(shù)，判斷它們和質(zhì)數(shù)與合數(shù)是否相同。

3.把給定的數(shù)填入到相應(yīng)的質(zhì)數(shù)與合數(shù)的圈中。

以上幾種類(lèi)型的練習(xí)題，無(wú)論呈現(xiàn)形式是填空還是判斷，基本一致?？梢钥闯雠袛嘁粋€(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)這是最基本的知識(shí)內(nèi)容;奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的練習(xí)編排，說(shuō)明在學(xué)生新學(xué)兩個(gè)概念后，需要和已有概念進(jìn)行對(duì)比區(qū)分。

（二）一種教材獨(dú)有的練習(xí)題類(lèi)型

1989年版教材中編排了用篩選法找質(zhì)數(shù)的練習(xí)題（如圖10）。

1989年版教材把用篩選法找質(zhì)數(shù)的內(nèi)容編排在練習(xí)題中，而2014年版教材是編排在新授課中的?？梢?jiàn)雖然不同時(shí)期的教學(xué)要求與教學(xué)觀念有著較大的差異，但對(duì)于學(xué)生動(dòng)手操作能力、思考探究能力的培養(yǎng)同樣重視。

2014年版教材中編排了兩道通過(guò)對(duì)話交流的形式來(lái)鞏固所學(xué)的練習(xí)（如圖11、圖12）。

教材在編排練習(xí)時(shí)，通過(guò)同伴間的對(duì)話交流形式，借助學(xué)生的已有知識(shí)和新學(xué)知識(shí)進(jìn)行溝通探索，同時(shí)鞏固所學(xué)。這樣的編排引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

通過(guò)以上對(duì)兩個(gè)不同時(shí)期教材的比較研究可見(jiàn)，教材的編寫(xiě)有著它自身的時(shí)代氣息。1989年版教材內(nèi)容全面，知識(shí)性強(qiáng)，層次清晰，教學(xué)脈絡(luò)一目了然。2014年版教材內(nèi)容用圖片、文字、表格等多種形式呈現(xiàn)，重視題型的開(kāi)放性和探究性，注重對(duì)學(xué)生探究性和思想方法的引導(dǎo)。教材內(nèi)容的編排對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求越來(lái)越高。

（本文在研究過(guò)程中，得到了朱樂(lè)平老師的多次悉心指導(dǎo)，在此，表示衷心感謝?。?/p>

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（浙江省杭州市崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310014）