【摘? ?要】統(tǒng)計(jì)可分為描述統(tǒng)計(jì)與推斷統(tǒng)計(jì)。平均數(shù)是小學(xué)生最早接觸的統(tǒng)計(jì)量，是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的良好代表量，可以利用所有數(shù)據(jù)的信息。在平均數(shù)的教學(xué)中，相比計(jì)算方法，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對(duì)其作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的“代表量”的理解。首先，需要建立起“代表”的意識(shí)，理解平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)整體集中水平的良好代表量。其次，在理解平均數(shù)的“代表量”意義的時(shí)候，應(yīng)體現(xiàn)出層次性。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù);統(tǒng)計(jì)量;代表量

進(jìn)入新世紀(jì)以來，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）實(shí)驗(yàn)稿[1]和2011年版[2]中，“統(tǒng)計(jì)與概率”作為一個(gè)單獨(dú)的知識(shí)領(lǐng)域，得到了前所未有的重視。然而，“由于這些內(nèi)容（統(tǒng)計(jì)與概率）是一種‘不確定性數(shù)學(xué)內(nèi)容，與傳統(tǒng)的‘確定性數(shù)學(xué)內(nèi)容有較大區(qū)別，這使得數(shù)學(xué)教育工作者以及教學(xué)一線的廣大教師普遍感到不適應(yīng)”。[3]

在一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的QQ群里，曾經(jīng)討論過如圖1這樣的題目，在投擲5次鉛球其中有1次犯規(guī)的情況下，對(duì)于平均成績(jī)到底應(yīng)該將總成績(jī)除以4還是除以5有爭(zhēng)議。有人認(rèn)為要除以4，因?yàn)榉敢?guī)這次不能反映水平，如果算進(jìn)去會(huì)明顯拉低其水平，這不合理。也有人堅(jiān)持認(rèn)為要除以5，因?yàn)榧热皇瞧骄鶖?shù)那就應(yīng)當(dāng)按照總數(shù)除以次數(shù)的公式來做。而且如果犯規(guī)的可以不算的話，知道自己某次表現(xiàn)不好，那不如故意犯規(guī)，這樣似乎更加荒唐。

那么，這里的平均成績(jī)?cè)撛鯓佑?jì)算才合理？或者說，這里使用平均成績(jī)是否合適？對(duì)于小學(xué)生而言，像平均數(shù)這樣的統(tǒng)計(jì)量教學(xué)的關(guān)鍵是什么？我們應(yīng)該對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對(duì)教學(xué)有進(jìn)一步的思考。

一、平均數(shù)到底要教什么？

如果僅就數(shù)學(xué)計(jì)算而言，平均數(shù)只是一個(gè)包含了加法和除法的算式，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算來說實(shí)在是無足輕重，但平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念。[4]平均數(shù)是小學(xué)生接觸到的第一個(gè)統(tǒng)計(jì)量?！半S著對(duì)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的不斷探索和實(shí)踐，人們逐漸認(rèn)識(shí)到對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)而言，重要的不是畫統(tǒng)計(jì)圖、求平均數(shù)等技能的學(xué)習(xí)，而是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念?！盵5] 顯然，對(duì)統(tǒng)計(jì)量的理解應(yīng)該成為平均數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容。那么，統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)最關(guān)鍵的是什么？

從大的方面來說，統(tǒng)計(jì)有兩個(gè)內(nèi)容，一是描述統(tǒng)計(jì)，二是推斷統(tǒng)計(jì)。[6]所謂描述統(tǒng)計(jì)，一般是指通過圖表或數(shù)學(xué)方法，對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行整理、分析，并對(duì)數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)、數(shù)字特征和隨機(jī)變量之間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)和描述的方法。描述統(tǒng)計(jì)分為集中趨勢(shì)分析、離中趨勢(shì)分析和相關(guān)分析三大部分。而推斷統(tǒng)計(jì)，是研究如何利用樣本數(shù)據(jù)來推斷總體特征的統(tǒng)計(jì)方法。比如，要了解一個(gè)地區(qū)的人口特征，不可能對(duì)每個(gè)人的特征一一進(jìn)行測(cè)量;對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，往往是破壞性的，也不可能對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)量。這就需要抽取部分個(gè)體即樣本進(jìn)行測(cè)量，然后根據(jù)獲得的樣本數(shù)據(jù)對(duì)所研究的總體特征進(jìn)行推斷，這就是推斷統(tǒng)計(jì)要解決的問題。

對(duì)于平均數(shù)而言，其實(shí)在描述和推斷中都有重要作用。平均數(shù)在描述統(tǒng)計(jì)中的重要作用，無須贅言，就是以一個(gè)數(shù)據(jù)代表一個(gè)群體的數(shù)據(jù)，體現(xiàn)的是集中趨勢(shì)的分析。此外，平均數(shù)還有推斷的作用。比如我們經(jīng)常說的平均壽命（Life Expectancy），也就是壽命預(yù)期，體現(xiàn)的更多的是其推斷預(yù)期的功能，而不是對(duì)現(xiàn)實(shí)狀況的描述功能。

體現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表量一般用平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)。其中平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)影響，但與中位數(shù)和眾數(shù)相比，平均數(shù)能更多地利用所有數(shù)據(jù)的信息。[7]同時(shí)，平均數(shù)在誤差模型中有很重要的作用，是真值的無偏估計(jì)。[8]平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)等，其中算術(shù)平均數(shù)的算法最簡(jiǎn)單，也最容易理解，小學(xué)階段所學(xué)的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)。

統(tǒng)計(jì)量有描述和推斷這兩大功能，由于推斷統(tǒng)計(jì)的難度較大，而且通常需要有描述統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)作為基礎(chǔ)，因此，小學(xué)階段在初次接觸統(tǒng)計(jì)量的學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)體現(xiàn)其描述性更為恰當(dāng)。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，最需要的應(yīng)該是理解平均數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的一個(gè)比較理想的統(tǒng)計(jì)量。

在教材中，對(duì)此也有體現(xiàn)。譬如，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材明確提出了“平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)平均水平的代表”。[9]但需要指出的是，這里采用的是一個(gè)個(gè)體的多次水平，而非一個(gè)群體的整體數(shù)據(jù)。事實(shí)上，在體現(xiàn)描述功能的時(shí)候，可能用代表一組數(shù)據(jù)的情境會(huì)更合適。而一個(gè)樣本的多次水平的情境在推斷統(tǒng)計(jì)時(shí)更合適，如推測(cè)下一次可能有幾個(gè)。而在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，非常強(qiáng)調(diào)求平均數(shù)的兩種方法：移多補(bǔ)少以及總數(shù)除以人數(shù)。[10]但在平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)平均水平的代表上似乎體現(xiàn)不足。

統(tǒng)計(jì)量的描述功能主要體現(xiàn)在“代表”上，而最能直觀感受到“代表”的是以某一個(gè)數(shù)據(jù)的“代表”來描述一個(gè)群體。

二、如何選擇合適的代表量？

要想體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的描述功能，需要建立起“代表”的觀念。也就是說，學(xué)生需要明白，當(dāng)有多個(gè)數(shù)據(jù)量出現(xiàn)的時(shí)候，我們通常無法逐個(gè)描述，而需要用一些數(shù)據(jù)去代表。事實(shí)上，學(xué)生在生活中對(duì)“代表”并不陌生。比如，班級(jí)里有課代表，而且經(jīng)常會(huì)有同學(xué)被選中去代表班級(jí)或者學(xué)校做什么事情，這是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。選擇具有代表性的數(shù)據(jù)，在本質(zhì)上其實(shí)并沒有太大的區(qū)別。因此，需要讓學(xué)生經(jīng)歷在生活中的“代表”的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)的“代表”這一概念。正如國(guó)際知名統(tǒng)計(jì)教學(xué)專家本茲威（Dani Ben-zvi）所言：“對(duì)學(xué)生而言，最先考慮的其實(shí)是代表性，而不是平均數(shù)，所以應(yīng)該先讓學(xué)生思考代表性的相關(guān)問題。如你會(huì)選擇誰來代表班級(jí)里女生的身高？學(xué)生會(huì)給出很多他們自己的理由，比如她的數(shù)學(xué)最好，她是我的好朋友，她是班級(jí)里最漂亮的女生，等等。這就是人們思考統(tǒng)計(jì)的代表量的起點(diǎn)，這也是人們最先接觸統(tǒng)計(jì)時(shí)的思考方式。”[11]

而在確立了代表量這個(gè)概念之后，再來進(jìn)一步考慮怎樣的數(shù)據(jù)作為代表量在這里是最合適的。如前文所述，統(tǒng)計(jì)量有描述集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)的，其中最重要的三個(gè)描述集中趨勢(shì)的代表量是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。代表離中趨勢(shì)的代表量有方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。事實(shí)上，并不是任何情境都需要描述集中趨勢(shì)，更不是任何情境都適合用平均數(shù)作為代表量。

因此，學(xué)生首先要具有選一個(gè)量去“代表”的意識(shí)，再來思考用哪個(gè)量去代表最合適。還是以代表班級(jí)身高為例，學(xué)生可以體會(huì)到在代表身高這件事情上，可能數(shù)學(xué)最好、我的好朋友、最漂亮等等都不是值得考慮的要素。而如果用最高身高或者最低身高作為班級(jí)整體身高的代表似乎也不合適。 “基于這樣的目的，有些學(xué)生可能逐漸會(huì)想到一些不同的方法，比如說用‘中距量（Mid Range），將所有男生的身高從低到高進(jìn)行排列，然后取數(shù)值的正中間。請(qǐng)注意，中距量跟中位數(shù)是不同的，中距量是指數(shù)值正好在中間，中位數(shù)的數(shù)值則很可能不是在正中間的，是偏向一邊的。這是學(xué)生對(duì)集中量認(rèn)識(shí)的開端。進(jìn)而，有些學(xué)生會(huì)選擇使用平均數(shù)，因?yàn)樵陔娨暽?，在體育比賽中，他們看到很多的平均數(shù)。最終，學(xué)生可能會(huì)選擇使用平均數(shù)，但是我們不應(yīng)該從一開始就讓學(xué)生用平均數(shù)來表示數(shù)據(jù)。學(xué)生應(yīng)該有更多的理解數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì)?！盵12]

理解如何選擇合適的代表量非常重要，卻并不容易?；氐奖疚拈_頭圖1的題目，之所以對(duì)應(yīng)該如何計(jì)算平均成績(jī)出現(xiàn)比較大的爭(zhēng)議，其根本原因在于，在這個(gè)情境中，以平均數(shù)作為代表量來描述投擲水平是不恰當(dāng)?shù)?。在投擲比賽中，作為個(gè)人成績(jī)，顯然最大值是更好的代表量，而平均數(shù)更適合做代表量的當(dāng)然是一個(gè)群體的水準(zhǔn)。比如，可以選擇像跳水、滑雪等需要有多個(gè)裁判共同打分的項(xiàng)目。

針對(duì)圖1的問題，理想的體現(xiàn)代表量的教學(xué)可以給出兩種情境，一種是兩個(gè)人的成績(jī)，甲只有兩次成績(jī)，一次很好，一次很差，還有三次犯規(guī)。而乙五次都有，但都很平均。從個(gè)人水平而言，一般還是會(huì)認(rèn)為甲獲勝。另一種情境是團(tuán)體賽，其中A組五人中有一人成績(jī)很好，其他成員都很差，還有犯規(guī)，而B組五人水平比較平均。那從整體水平而言，可能會(huì)認(rèn)為B組的水平會(huì)更高。

事實(shí)上，選擇不合適的代表量的例子在教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)。比如，在平均數(shù)的教學(xué)中有一個(gè)非常典型的例子，出現(xiàn)一條河，旁邊立個(gè)牌子，寫著“平均水深1.2米”，然后問，小明身高1.4米，請(qǐng)問可以安全過河嗎？題目的意圖當(dāng)然是明確的，學(xué)生需要明白，平均水深1.2米，但最深的地方是不知道的，很可能超過1.4米，所以是不安全的。這樣一個(gè)看起來很精妙的設(shè)計(jì)，其實(shí)更多的只是關(guān)注了平均數(shù)的計(jì)算方法，卻沒有考慮平均水深的意義和價(jià)值。首先，準(zhǔn)確的“平均水深”很難通過計(jì)算得到，這里所說的河流的平均水深并不是本文所討論的“算術(shù)平均數(shù)”，而是“積分中值”，其計(jì)算的方法應(yīng)該是河中所有水的體積除以水面面積所得的商。[13]更重要的是，用平均數(shù)作為一條河流深度的代表量，是沒有意義的。相比而言，當(dāng)去衡量一條河的深度時(shí)，用最深水深或者某個(gè)區(qū)域水深顯然是更合適的代表量。

此外，如今關(guān)于平均數(shù)的教學(xué)，通常會(huì)特別強(qiáng)調(diào)平均數(shù)是一個(gè)虛擬的數(shù)。事實(shí)上，這樣的強(qiáng)調(diào)并不合適。雖然計(jì)算出的平均數(shù)通常并不是具體某個(gè)樣本的數(shù)值。但數(shù)學(xué)上并沒有“虛擬數(shù)”這樣一個(gè)概念。而且，“虛擬”并不應(yīng)該作為理解平均數(shù)最重要的性質(zhì)。相比而言，更重要的是理解用某個(gè)數(shù)據(jù)去“代表”一組數(shù)據(jù)的必要性，以及在怎樣的情境下用哪個(gè)量去代表最合適。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

通過統(tǒng)計(jì)教學(xué)發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析觀念已經(jīng)成為共識(shí)。在平均數(shù)的教學(xué)中，需要清楚平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量，其最重要的價(jià)值在哪里，應(yīng)該如何實(shí)現(xiàn)。

第一，學(xué)生在學(xué)習(xí)平均數(shù)的時(shí)候，需要建立起“代表”的意識(shí)，理解平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)整體集中水平的良好代表量。小學(xué)階段學(xué)生初次接觸平均數(shù)時(shí)，最需要體會(huì)其作為代表量的描述功能。因此，在教學(xué)中，選用代表一個(gè)群組的整體水平的情境比較理想，這比用單個(gè)個(gè)體的多次數(shù)據(jù)更合適。

第二，在理解平均數(shù)的“代表量”意義的時(shí)候，應(yīng)體現(xiàn)出層次性。第一個(gè)層次是以一個(gè)實(shí)際存在的樣本來代表整體水平。在學(xué)生充分理解了這個(gè)層次的“代表”之后，再去理解實(shí)際存在的樣本都不是整體水平的平均數(shù)的情況，需要以一個(gè)計(jì)算出來的數(shù)值來代表平均水平。此外，還應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)并不是唯一的代表量，在有些情境下，還有比平均數(shù)更合適的代表量。

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