蔣紅

所謂追根溯源，就是追溯事物發(fā)生的根源。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它也是一種重要的學(xué)習(xí)方式，能鼓勵學(xué)生大膽地質(zhì)疑問難，追尋知識的本質(zhì)和源頭，了解相關(guān)知識形成的背景、知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及蘊含的諸多數(shù)學(xué)思想。

一、追數(shù)學(xué)史的根，讓課堂富有生命力

中國是文明古國，有著悠久的歷史和文化，同時也擁有燦爛的數(shù)學(xué)文明。世界數(shù)學(xué)史同樣源遠(yuǎn)流長。把數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)越來越成為大家關(guān)注的熱點?！督虒W(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2019年第11期用了12篇文章，近三分之二的篇幅介紹了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育。

岳增成的《中國HPM發(fā)展之路》詳細(xì)地描述了中國HPM的發(fā)展歷程。他指出，中國的HPM教育從先前的分離逐漸走向融合，再發(fā)展為中國HPM教育的特色之路。其中課例研究是HPM研究的重要內(nèi)容之一。

錢利平、邵漢民在《從數(shù)學(xué)史中汲取小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子》中指出：小學(xué)數(shù)學(xué)史是指小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與形成的歷史，以及由此形成的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)精神。如何把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子，可以從以下幾方面入手：（1）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)思想形成的線索。數(shù)學(xué)史中記錄的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與形成的過程往往就是數(shù)學(xué)思想逐步萌芽與形成的過程。教師可以依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)識基礎(chǔ)和可接受性，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)探究之路，體會數(shù)學(xué)思想形成的過程。相對于數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)史更能夠追溯到數(shù)學(xué)的本源，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在產(chǎn)生形成過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)本源的認(rèn)識。（2）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)方法總結(jié)的素材。（3）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)情感的積極體驗。教師可以從數(shù)學(xué)史中汲取生動的、有教育意義的數(shù)學(xué)史料，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容再現(xiàn)，從中讓學(xué)生獲得積極的情感體驗。

文萍、岳增成在《基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究》中指出：根據(jù)美國西格爾提出的數(shù)學(xué)探究式教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)探究教學(xué)分為準(zhǔn)備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評估與延伸四個階段。結(jié)合張平的《觸摸概念的本質(zhì)——基于數(shù)學(xué)史視角的“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計》一文，我們整理出了下表。

《基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究》中的課例1“三角形的面積” 沿用幾何學(xué)起源于古埃及尼羅河泛濫后的土地測量、計算的歷史背景，讓學(xué)生幫助埃及法老解決三角形面積計算的問題。引出三角形面積推導(dǎo)的探究任務(wù) 利用學(xué)具探究三角形面積公式 總結(jié)學(xué)生的成果，根據(jù)教師的引導(dǎo)得出倍拼法和割補法

總結(jié)學(xué)生探究的結(jié)果，并適時介紹劉徽用出入相補原理推導(dǎo)三角形面積公式的方法 這個案例中，階段一用歷史故事引入;階段二重走數(shù)學(xué)家的探究之路;階段三提煉方法;階段四補充介紹古代數(shù)學(xué)家有關(guān)三角形的推導(dǎo)方法。整節(jié)課，每個環(huán)節(jié)都充分考慮該知識的歷史淵源，感受知識產(chǎn)生與形成的漫長的發(fā)展過程 張平《觸摸概念的本質(zhì)——基于數(shù)學(xué)史視角的“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計》 用估計總數(shù)作為平均數(shù)的起點。創(chuàng)設(shè)做操的情境，操場上的10列學(xué)生，每一列人數(shù)不同，用喜歡的方法估計總?cè)藬?shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)中的典型數(shù)據(jù)，它可以作為這些數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)的代表。從而迅速估計出做操人數(shù)。學(xué)生在經(jīng)歷這樣的過程中實際已經(jīng)初步構(gòu)建了平均數(shù)的雛形：數(shù)據(jù)的代表 在實際問題中還原平均數(shù)的本原意義。作者利用套圈游戲的情境，分四個小組對套中的情況進行分析，每一個小組對套圈情況的分析，實質(zhì)上都蘊含了平均數(shù)的不同層次的性質(zhì) 在應(yīng)用中深化對平均數(shù)的理解。這是一道綜合性的練習(xí)，用圖來表示某小學(xué)10歲兒童平均身高的實際問題。使學(xué)生在分析問題的過程中，經(jīng)歷一次完整的數(shù)據(jù)整理、描述并作出判斷分析的過程，而這正是統(tǒng)計學(xué)的基本思想 在質(zhì)疑中進一步拓展平均數(shù)的內(nèi)涵。當(dāng)一組數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時，用平均數(shù)表示就不合適了，此時需要用新的表示方法來表示了，這也是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一般規(guī)律 綜觀這個課例，我們可能看不到數(shù)學(xué)史的影子，但作者在設(shè)計的過程中，充分抓住了平均數(shù)的歷史與本質(zhì)，抓住學(xué)生對平均數(shù)概念的認(rèn)識與古代數(shù)學(xué)家對這一概念的認(rèn)識的相似性，層層深入，厚實了平均數(shù)概念意義 ]

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種文化，也是一種藝術(shù)，更是一種精神。教師要把數(shù)學(xué)史融入我們的課堂，讓學(xué)生站在巨人的肩膀上學(xué)習(xí)，讓課堂充滿生命力。

二、追學(xué)生錯例的根，讓課堂富有生長力

作為一線教師，我們很多時間都在學(xué)生的作業(yè)中摸爬滾打，感慨學(xué)生千奇百怪的錯誤。此時，我們是否停下追趕教學(xué)進度的步伐，精心反思：學(xué)生為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤？學(xué)生錯誤的產(chǎn)生暴露了學(xué)生的思維過程，反映了教師教學(xué)過程中的紕漏。此時，我們可以將學(xué)生的錯誤加以整理歸類，站在研究者的高度審視錯誤，追根溯源，然后找準(zhǔn)對策，因勢利導(dǎo)，以便在下一次教學(xué)中或后續(xù)教學(xué)中少走彎路，提高課堂的效率。

陳芳華、鐘麒生在《基于“系統(tǒng)整合”的課例研究——以學(xué)生的“不會”切入》中講道：從整理學(xué)生“不會”的錯例尋找研究的切入點，在前后教材的關(guān)聯(lián)處分析錯誤原因，確定“系統(tǒng)整合”教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計教學(xué)板塊。通過序列化的課例研究實踐，幫助學(xué)生在整理知識的由來和發(fā)展的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)知識體系。

以時間的教學(xué)為例，筆者進行了系列化的課例研究。

以生為本，從學(xué)生的錯例入手，借助知識的“系統(tǒng)整合”，分析問題背后的原因，改進教學(xué)，這樣的課堂富有生長力。

三、追教學(xué)情境之根，讓課堂富有創(chuàng)造力

教學(xué)情境是課堂教學(xué)的基本要素。創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)的教學(xué)情境是每一位教師孜孜不倦追求的目標(biāo)。

孫鈺紅在《優(yōu)質(zhì)情境的特征思考——關(guān)注數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗積累》中指出：優(yōu)質(zhì)的情境應(yīng)具有精準(zhǔn)、真實、趣味、挑戰(zhàn)、困惑、層次六大特征。

比如特征二“真實”。教師在創(chuàng)設(shè)情境時，需要對學(xué)情有較為清晰精準(zhǔn)的了解，需要分析學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，深思教學(xué)的起點，需要精準(zhǔn)了解學(xué)生的困惑與難點，以便采取有效的方式引導(dǎo)突破。對于《周長的認(rèn)識》一課，學(xué)生的困惑是：1.為什么說封閉圖形才有周長。2.周長容易受面積大小的干擾，常會出現(xiàn)面積更大的圖形周長也更長。右圖框線中的三個圖形就是基于對學(xué)情的了解設(shè)置的。將原圖中的長方形改造成一個細(xì)長的長方形，與正方形相比，看似面小，實則周長更長。修改后的情境更反映對學(xué)情的真實了解，將焦點集中到圖形一周的長度這一周長本質(zhì)上來。

再比如特征四：挑戰(zhàn)。

優(yōu)質(zhì)的情境創(chuàng)設(shè)要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，具有一定的思維挑戰(zhàn)性。在探究《能被2、3、5整除的數(shù)的奧秘》一課時，當(dāng)學(xué)生得到被2、3、5整除的數(shù)的特征，但卻不明白道理。教師創(chuàng)設(shè)了以下兩個問題情境：