蔣紅

所謂追根溯源，就是追溯事物發(fā)生的根源。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它也是一種重要的學(xué)習(xí)方式，能鼓勵(lì)學(xué)生大膽地質(zhì)疑問(wèn)難，追尋知識(shí)的本質(zhì)和源頭，了解相關(guān)知識(shí)形成的背景、知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及蘊(yùn)含的諸多數(shù)學(xué)思想。

一、追數(shù)學(xué)史的根，讓課堂富有生命力

中國(guó)是文明古國(guó)，有著悠久的歷史和文化，同時(shí)也擁有燦爛的數(shù)學(xué)文明。世界數(shù)學(xué)史同樣源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。把數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)越來(lái)越成為大家關(guān)注的熱點(diǎn)?！督虒W(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2019年第11期用了12篇文章，近三分之二的篇幅介紹了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育。

岳增成的《中國(guó)HPM發(fā)展之路》詳細(xì)地描述了中國(guó)HPM的發(fā)展歷程。他指出，中國(guó)的HPM教育從先前的分離逐漸走向融合，再發(fā)展為中國(guó)HPM教育的特色之路。其中課例研究是HPM研究的重要內(nèi)容之一。

錢利平、邵漢民在《從數(shù)學(xué)史中汲取小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子》中指出：小學(xué)數(shù)學(xué)史是指小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與形成的歷史，以及由此形成的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)精神。如何把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子，可以從以下幾方面入手：（1）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)思想形成的線索。數(shù)學(xué)史中記錄的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與形成的過(guò)程往往就是數(shù)學(xué)思想逐步萌芽與形成的過(guò)程。教師可以依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)和可接受性，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)探究之路，體會(huì)數(shù)學(xué)思想形成的過(guò)程。相對(duì)于數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)史更能夠追溯到數(shù)學(xué)的本源，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在產(chǎn)生形成過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本源的認(rèn)識(shí)。（2）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)方法總結(jié)的素材。（3）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)情感的積極體驗(yàn)。教師可以從數(shù)學(xué)史中汲取生動(dòng)的、有教育意義的數(shù)學(xué)史料，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容再現(xiàn)，從中讓學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn)。

文萍、岳增成在《基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究》中指出：根據(jù)美國(guó)西格爾提出的數(shù)學(xué)探究式教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)探究教學(xué)分為準(zhǔn)備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評(píng)估與延伸四個(gè)階段。結(jié)合張平的《觸摸概念的本質(zhì)——基于數(shù)學(xué)史視角的“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)》一文，我們整理出了下表。

《基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究》中的課例1“三角形的面積” 沿用幾何學(xué)起源于古埃及尼羅河泛濫后的土地測(cè)量、計(jì)算的歷史背景，讓學(xué)生幫助埃及法老解決三角形面積計(jì)算的問(wèn)題。引出三角形面積推導(dǎo)的探究任務(wù) 利用學(xué)具探究三角形面積公式 總結(jié)學(xué)生的成果，根據(jù)教師的引導(dǎo)得出倍拼法和割補(bǔ)法

總結(jié)學(xué)生探究的結(jié)果，并適時(shí)介紹劉徽用出入相補(bǔ)原理推導(dǎo)三角形面積公式的方法 這個(gè)案例中，階段一用歷史故事引入;階段二重走數(shù)學(xué)家的探究之路;階段三提煉方法;階段四補(bǔ)充介紹古代數(shù)學(xué)家有關(guān)三角形的推導(dǎo)方法。整節(jié)課，每個(gè)環(huán)節(jié)都充分考慮該知識(shí)的歷史淵源，感受知識(shí)產(chǎn)生與形成的漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程 張平《觸摸概念的本質(zhì)——基于數(shù)學(xué)史視角的“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)》 用估計(jì)總數(shù)作為平均數(shù)的起點(diǎn)。創(chuàng)設(shè)做操的情境，操場(chǎng)上的10列學(xué)生，每一列人數(shù)不同，用喜歡的方法估計(jì)總?cè)藬?shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)中的典型數(shù)據(jù)，它可以作為這些數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的代表。從而迅速估計(jì)出做操人數(shù)。學(xué)生在經(jīng)歷這樣的過(guò)程中實(shí)際已經(jīng)初步構(gòu)建了平均數(shù)的雛形：數(shù)據(jù)的代表 在實(shí)際問(wèn)題中還原平均數(shù)的本原意義。作者利用套圈游戲的情境，分四個(gè)小組對(duì)套中的情況進(jìn)行分析，每一個(gè)小組對(duì)套圈情況的分析，實(shí)質(zhì)上都蘊(yùn)含了平均數(shù)的不同層次的性質(zhì) 在應(yīng)用中深化對(duì)平均數(shù)的理解。這是一道綜合性的練習(xí)，用圖來(lái)表示某小學(xué)10歲兒童平均身高的實(shí)際問(wèn)題。使學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)歷一次完整的數(shù)據(jù)整理、描述并作出判斷分析的過(guò)程，而這正是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想 在質(zhì)疑中進(jìn)一步拓展平均數(shù)的內(nèi)涵。當(dāng)一組數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時(shí)，用平均數(shù)表示就不合適了，此時(shí)需要用新的表示方法來(lái)表示了，這也是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一般規(guī)律 綜觀這個(gè)課例，我們可能看不到數(shù)學(xué)史的影子，但作者在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，充分抓住了平均數(shù)的歷史與本質(zhì)，抓住學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的認(rèn)識(shí)與古代數(shù)學(xué)家對(duì)這一概念的認(rèn)識(shí)的相似性，層層深入，厚實(shí)了平均數(shù)概念意義 ]

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種文化，也是一種藝術(shù)，更是一種精神。教師要把數(shù)學(xué)史融入我們的課堂，讓學(xué)生站在巨人的肩膀上學(xué)習(xí)，讓課堂充滿生命力。

二、追學(xué)生錯(cuò)例的根，讓課堂富有生長(zhǎng)力

作為一線教師，我們很多時(shí)間都在學(xué)生的作業(yè)中摸爬滾打，感慨學(xué)生千奇百怪的錯(cuò)誤。此時(shí)，我們是否停下追趕教學(xué)進(jìn)度的步伐，精心反思：學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤？學(xué)生錯(cuò)誤的產(chǎn)生暴露了學(xué)生的思維過(guò)程，反映了教師教學(xué)過(guò)程中的紕漏。此時(shí)，我們可以將學(xué)生的錯(cuò)誤加以整理歸類，站在研究者的高度審視錯(cuò)誤，追根溯源，然后找準(zhǔn)對(duì)策，因勢(shì)利導(dǎo)，以便在下一次教學(xué)中或后續(xù)教學(xué)中少走彎路，提高課堂的效率。

陳芳華、鐘麒生在《基于“系統(tǒng)整合”的課例研究——以學(xué)生的“不會(huì)”切入》中講道：從整理學(xué)生“不會(huì)”的錯(cuò)例尋找研究的切入點(diǎn)，在前后教材的關(guān)聯(lián)處分析錯(cuò)誤原因，確定“系統(tǒng)整合”教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)板塊。通過(guò)序列化的課例研究實(shí)踐，幫助學(xué)生在整理知識(shí)的由來(lái)和發(fā)展的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)知識(shí)體系。

以時(shí)間的教學(xué)為例，筆者進(jìn)行了系列化的課例研究。

以生為本，從學(xué)生的錯(cuò)例入手，借助知識(shí)的“系統(tǒng)整合”，分析問(wèn)題背后的原因，改進(jìn)教學(xué)，這樣的課堂富有生長(zhǎng)力。

三、追教學(xué)情境之根，讓課堂富有創(chuàng)造力

教學(xué)情境是課堂教學(xué)的基本要素。創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)的教學(xué)情境是每一位教師孜孜不倦追求的目標(biāo)。

孫鈺紅在《優(yōu)質(zhì)情境的特征思考——關(guān)注數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累》中指出：優(yōu)質(zhì)的情境應(yīng)具有精準(zhǔn)、真實(shí)、趣味、挑戰(zhàn)、困惑、層次六大特征。

比如特征二“真實(shí)”。教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，需要對(duì)學(xué)情有較為清晰精準(zhǔn)的了解，需要分析學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，深思教學(xué)的起點(diǎn)，需要精準(zhǔn)了解學(xué)生的困惑與難點(diǎn)，以便采取有效的方式引導(dǎo)突破。對(duì)于《周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)》一課，學(xué)生的困惑是：1.為什么說(shuō)封閉圖形才有周長(zhǎng)。2.周長(zhǎng)容易受面積大小的干擾，常會(huì)出現(xiàn)面積更大的圖形周長(zhǎng)也更長(zhǎng)。右圖框線中的三個(gè)圖形就是基于對(duì)學(xué)情的了解設(shè)置的。將原圖中的長(zhǎng)方形改造成一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，與正方形相比，看似面小，實(shí)則周長(zhǎng)更長(zhǎng)。修改后的情境更反映對(duì)學(xué)情的真實(shí)了解，將焦點(diǎn)集中到圖形一周的長(zhǎng)度這一周長(zhǎng)本質(zhì)上來(lái)。

再比如特征四：挑戰(zhàn)。

優(yōu)質(zhì)的情境創(chuàng)設(shè)要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，具有一定的思維挑戰(zhàn)性。在探究《能被2、3、5整除的數(shù)的奧秘》一課時(shí)，當(dāng)學(xué)生得到被2、3、5整除的數(shù)的特征，但卻不明白道理。教師創(chuàng)設(shè)了以下兩個(gè)問(wèn)題情境：