王夢娜，王小明，陳慶新，毛 寧

(廣東工業(yè)大學 廣東省計算機集成制造重點實驗室，廣東 廣州 510006)

0 引言

定制產(chǎn)品的設計過程由多個設計任務構成，通常以項目形式進行管理。一方面，由于客戶提出的產(chǎn)品需求往往不夠明確，使得部分設計任務(稱為不明確任務)需要經(jīng)過組長/設計主管評審或客戶確認評審后才能完成；另一方面，部分相鄰任務在設計內(nèi)容上具有一定關聯(lián)(耦合)性，使其返工概率不獨立。在市場競爭激烈的今天，企業(yè)不僅要盡可能縮短設計項目周期，還要使設計項目完工時間的波動(方差或風險)盡可能小。

在設計項目執(zhí)行過程中，設計員完成一個不明確任務后可以即刻提交評審，也可以繼續(xù)下一階段設計。評審需要一定的準備時間，評審結果為通過或者對設計進行修改(本文稱為返工)。在工程實際中，產(chǎn)品試制后可能還需要對設計進行修改，這類修改稱為設計變更。本文僅考慮初始設計階段的評審和返工問題，不考慮產(chǎn)品試制后的設計變更問題。分析可知，將多個任務打包評審能夠降低準備時間，但是會增加后續(xù)任務出錯的風險；反之，如果想避免錯誤累積風險，則需增加評審準備時間。因此，當設計員面臨多種可選的任務評審策略(同時提交評審的任務組合)時，需要準確估計不同評審策略對應的項目完工時間，從中選擇最優(yōu)的評審策略。然而，在設計任務工期服從一般分布且具有隨機返工的情形下，往往很難準確估計項目的完工時間概率分布。

在考慮隨機返工的網(wǎng)絡建模與優(yōu)化方面，現(xiàn)有研究主要面向系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析和資源配置問題?？紤]制造過程中的工件返工和報廢，Yu等[1]和Pillai等[2]利用離散時間馬爾可夫鏈建模，分析了工件平均工時、成本和所需原材料數(shù)量等指標；王小明等[3-4]針對考慮單次返工的模具訂單完工時間預測問題，提出隊列長度近似估計與連續(xù)時間馬爾可夫鏈相結合的計算方法；Gopalan等[5-6]考慮工件隨機返工，基于隨機模型研究了有限緩存兩級多服務制造系統(tǒng)的工期均值等系統(tǒng)參數(shù)；Kao[7]針對單服務自動裝配過程中的隨機返工問題，采用半馬爾可夫理論求解最優(yōu)策略。另外，部分學者基于馬爾可夫理論研究了不帶返工的隨機項目完工時間預測問題。Kulkarni等[8]最早采用連續(xù)時間吸附馬爾可夫鏈建模分析隨機項目完工時間概率分布；Dodin[9]針對任務工期服從連續(xù)或離散分布的隨機網(wǎng)絡完工時間預測問題，提出一種包含工期離散化和卷積乘積操作的序貫近似方法；Azaron等[10]提出利用隨機動態(tài)規(guī)劃計算隨機網(wǎng)絡的完工時間均值下界；王小明等[11]提出采用離散時間馬爾可夫鏈狀態(tài)演化來預測模具項目的交貨期。研究表明，馬爾可夫鏈理論能夠準確描述隨機項目執(zhí)行過程，在帶隨機回路的項目網(wǎng)絡建模方面更具優(yōu)勢。

本文所研究的設計任務評審決策問題與制造系統(tǒng)質(zhì)檢站定位問題具有一定相似性。在過去幾十年，學者們對制造系統(tǒng)質(zhì)檢站定位問題進行了廣泛研究，構建了動態(tài)規(guī)劃或整數(shù)規(guī)劃模型，以及對應的精確或啟發(fā)式求解方法。例如，Chakravarty等[12]研究了多產(chǎn)品流水線質(zhì)檢站設定問題，將質(zhì)檢活動視為加工節(jié)點之間的連接弧，提出兩種啟發(fā)式算法求解對應的最短路徑模型；Jewkes[13]基于M/G/1排隊網(wǎng)模型和多臂老虎機(multi-armed bandits)相關結論，研究了單節(jié)點質(zhì)檢頻率與生產(chǎn)調(diào)度規(guī)則聯(lián)合優(yōu)化問題；Shiau[14]在考慮有限質(zhì)檢資源約束和質(zhì)檢誤差模型的基礎上，提出兩種簡單的啟發(fā)式算法來分配質(zhì)檢站；Shetwan等[15]對多階段制造系統(tǒng)中質(zhì)量控制工作站布局方法進行綜述，建立了一般化的模型，并提出高效的啟發(fā)式求解方法。上述研究主要面向多級串行制造系統(tǒng)，假定每一級只需返工一次且未考慮相鄰工作站之間的返工耦合問題，而且均通過返工概率獨立估算每一級工作站的工時或成本均值，據(jù)此進行確定性轉(zhuǎn)換求解最優(yōu)質(zhì)檢配置方案。這些研究的方法思路很難應用于設計項目完工時間概率分布估算問題。

對于復雜環(huán)境下的項目完工時間預測問題，仿真是一種行之有效的方法[16-17]，其適用于無法得到解析表達式的場景(如模型規(guī)模較大或無法得到精確解)，缺點是需要進行大量仿真才能得到比較準確的結果。當解析法和仿真法均可使用時，應優(yōu)先采用解析法，仿真可用于模型驗證。本文以具有一般工期和返工的設計項目為研究對象，研究其完工時間概率分布估算解析模型和方法，以高效準確地評價評審策略的優(yōu)劣。

1 問題描述

2 數(shù)學模型

2.1 PH分布

相型(phase-type, PH)分布是由負指數(shù)分布卷積或混合而成的一種概率分布，由具有一個或多個相互關聯(lián)的泊松過程的系統(tǒng)按順序或相位發(fā)生的結果構成，即PH分布是一種描述連續(xù)時間馬爾可夫鏈(Continuous-Time Markov Chain, CTMC)吸附時間的分布。本文采用PH分布對任務工期分布進行近似，并據(jù)此計算項目完工時間概率分布。

(1)

式中K0=-Ke為描述中間狀態(tài)到吸附狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率的n維列向量，e為n維單位列向量。

PH分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

fT(t)=P(T=t)=αeKt(-K)e,t≥0；

(2)

FT(t)=P(T≤t)=1-αeKte,t≥0。

(3)

PH分布的均值和方差分別為：

E(T)=-αK-1e；

(4)

Var(T)=2αK-2e-(αK-1e)2。

(5)

2.2 一般分布下的CTMC建模

2.2.1 任務工期分布近似

PH分布可以使用指數(shù)分布的相位，以任意的精確度表示任意正值分布[18]。使用PH分布對一般任務工期進行近似可使項目執(zhí)行過程具備馬爾可夫性，從而便于對其進行建模和分析。在PH分布近似方法方面，Gue等[19-20]和Creemers[21]提出基于平方變異系數(shù)C2=σ2/μ2(μ和σ2分別為均值和方差)的近似方法，具體描述如下：

(1)當C2=1時，兩者均采用負指數(shù)分布來近似任務工期分布。

(2)當C2>1時，Gue等[19-20]采用二階超指數(shù)分布進行近似，Creemers[21]則是采用二相位Coxian分布進行近似。兩者的區(qū)別在于二階超指數(shù)分布中的兩個相位是并行的，二相位Coxian分布的兩個相位是串行的。

(3)當C2<1時，Gue等[19-20]采用Erlang分布進行近似，Creemers[21]則是采用亞指數(shù)分布進行近似。需要強調(diào)的是，Erlang分布是由一系列獨立同分布的負指數(shù)分布串行構成，而亞指數(shù)分布是一般的Erlang分布，即串行獨立負指數(shù)分布可以是非同等。

上述近似分布的參數(shù)計算過程可參考Gue等[19-20]和Creemers[21]的研究。在計算過程中發(fā)現(xiàn)，這兩種方法都能獲得精度較高的概率分布，但是Creemers[21]所提方法對應的馬爾可夫鏈狀態(tài)數(shù)更少(原因是Coxian分布的兩相位串行相當于一個任務，而二階超指數(shù)分布兩相位并行相當于兩個任務)，計算效率更高。因此，本文采用Creemers[21]的近似方法。

2.2.2 項目網(wǎng)絡轉(zhuǎn)換

利用2.2.1節(jié)所述方法對任務工期分布進行近似后，將原任務執(zhí)行過程轉(zhuǎn)化為包含一相或多相的隨機過程。為了準確描述項目執(zhí)行過程，在構建數(shù)學模型之前需要先對項目網(wǎng)絡進行轉(zhuǎn)換，即在添加返工任務節(jié)點后，按照PH近似分布將每一相位看作一個虛擬任務節(jié)點。

以如圖1所示的簡單項目為例說明項目網(wǎng)絡轉(zhuǎn)換過程。假定任務2和任務3是不明確任務，各個任務的工期平方變異系數(shù)C2=1，1/3，2。在評審策略方面，可以將任務2和任務3同時提交評審(稱為合并評審策略)，也可以將2和任務3分別提交評審(稱為獨立評審策略)。限于篇幅，本文僅以獨立評審策略為例進行說明，其對應的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡如圖2所示。需要強調(diào)的是，因為同一任務的不同相位被視為一個虛擬的任務節(jié)點，所以相位之間的耦合關系本質(zhì)上與前述相鄰任務之間的耦合關系是相同的。另外，從工程實際角度來說，一般只會在任務完工的相位提交評審。

可見，圖1所示的項目網(wǎng)絡很簡單，加入評審策略后的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡卻比較復雜(如圖2)，而且隨著原項目網(wǎng)絡規(guī)模的增大，其后續(xù)建模和計算難度也將越來越大。

2.2.3 CTMC建模

經(jīng)過2.2.2節(jié)項目網(wǎng)絡轉(zhuǎn)換后，得到一個具備馬爾可夫性的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡，本節(jié)將描述如何采用CTMC對其進行建模。與第1章問題描述類似，假定所得轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡以單代號網(wǎng)絡圖G(N′,E′)表示，其中N′=(1,2,…,n′)為任務集合，E′=((j,i)|j,i∈N′)為任務間的緊前約束。從圖2可見，轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡中除了原不明確任務經(jīng)評審后可能出現(xiàn)的返工任務外，還存在Coxian分布帶來的任務跳轉(zhuǎn)(可視為另一種返工)。在原項目網(wǎng)絡信息基礎上，結合近似分布參數(shù)計算，可以獲得轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡中所有任務的工期和返工概率等參數(shù)。

顯然，當轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡中的所有任務完工時，項目將永久停留在完工狀態(tài)。因此，本文需要構建的是一個吸附CTMC模型。吸附CTMC由二元組{X,Q}表示，其中：

(1)系統(tǒng)狀態(tài)集合XX是由所有可能的項目執(zhí)行進度狀態(tài)構成的集合。在近幾年基于馬爾可夫理論的隨機資源受限項目調(diào)度研究中，系統(tǒng)狀態(tài)通常由完工任務集合和在制任務集合構成[21]，或者由空閑任務集合與在制任務集合構成[22]，或者由等待任務集合和在制任務集合構成[23]。因為本文不考慮資源約束，不存在等待任務集合的概念，所以可以直接定義系統(tǒng)狀態(tài)為在制任務集合，即x=Px。

qx,g(x,j,γj)=pγj/E(dj)。

(6)

同一狀態(tài)下不同的在制任務率先完工可能導致系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至相同的下一狀態(tài)，此時需要將這些情形下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率進行累加，以得到最終的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率。

2.3 評審策略的評價標準

如前所述，設計項目管理的目標是使項目完工時間盡可能早，且波動盡可能小，即設計任務評審策略的理想評價標準是項目完工時間期望和方差均最小。然而，這兩個目標往往難以同時達到，需要進行權衡。這種權衡問題普遍存在于風險投資問題中，學者們在研究這種問題時的主要方法是構建均值—方差優(yōu)化模型。例如，Markowitz[24]對均值—方差優(yōu)化方法進行了深入探討，解釋了為何采用均值—方差優(yōu)化而非均值最優(yōu)，并對近半個世紀內(nèi)均值—方差優(yōu)化的研究進行了綜述；Gotoh等[25]探討了魯棒經(jīng)驗優(yōu)化與均值—方差優(yōu)化的等價性問題；LI等[26]構建了零售商在均值—方差準則下的收益模型；Luo等[27-28]針對產(chǎn)品組合保修政策優(yōu)化問題，提出最大化利潤和風險組合、在限制風險時最大化利潤、在滿足利潤要求時最小化風險3種均值—方差優(yōu)化方法。

與上述研究類似，本文將項目完工時間期望E(T)和方差Var(T)進行組合，以E(T)+δ×Var(T)作為評審策略的評價函數(shù)，其中δ≥0為權衡因子。極端情形下取δ=0，表示只追求項目完工時間均值最小，不考慮其波動性。

3 計算實驗

本章以一個典型的模具設計項目為例設計計算實驗，分析評審工期(包括工期折扣因子和評審準備耗時)、返工概率、任務關聯(lián)度等項目環(huán)境參數(shù)對評審策略的影響。計算程序采用Visual C#編程實現(xiàn)，電腦配置為CPU 2.50 GHz，4 G RAM。

3.1 算例數(shù)據(jù)

圖3所示為包含16個設計任務的典型模具設計項目網(wǎng)絡[29]，其中任務2，7，8，14為需求不明確的任務。假定任務對(2,7)和(8,14)有耦合關系，任務7和任務14的工期平方變異系數(shù)分別為1/3和2，其他任務節(jié)點的工期平方變異系數(shù)均為1，所有返工任務的工期均值為其常規(guī)任務工期均值的一半，工期平方變異系數(shù)與對應常規(guī)任務的取值相同。

將上述設計項目中的4個不明確任務進行組合，得到15種不同的評審策略。因為部分不明確任務之間不存在耦合關系，而且任務間的進度差異可能較大，所以部分評審策略可直接判斷為不合理。例如，任務2與任務8和任務14無耦合關系且進度差異較大，所有將任務2和任務8或任務2和任務14一起評審的策略都不合理。本文實驗將分析以下4種評審策略：

(1)策略S1將4個任務分別單獨提交評審。

(2)策略S2將任務2和任務7一起提交評審，任務8和任務14單獨提交評審。

(3)策略S3將任務2和任務7單獨提交評審，任務8和任務14一起提交評審。

(4)策略S4將任務2和任務7一起提交評審，任務8和任務14一起提交評審。

通過對比S1和S2，以及S3和S4，可以分析出并行耦合任務2和任務7是否應該一起評審；通過對比S1和S3，以及S2和S4，可以分析出串行耦合任務8和任務14是否應該一起評審。另外，還將考慮如下不同項目環(huán)境參數(shù)和決策目標對評審策略的影響：工期折扣因子β={0.8,0.9,1.0,1.1,1.2}；評審準備耗時ζ={0,5,10}；返工概率系數(shù)c={0.05,0.075,0.1,0.125,0.15}(設定返工概率P2=3c，P7=4c，P8=4c，P14=3c)；關聯(lián)度系數(shù)r={0.75,1,1.25,1.5,1.75}(設定返工聯(lián)合概率P2,7=P7,2=P8,14=P14,8=rc)；權衡因子δ={0,1}。

3.2 結果與分析

基于上述實驗參數(shù)設置，利用本文建模和計算方法獲得各評審策略在每組參數(shù)組合下的項目完工時間概率分布和目標函數(shù)值。為了更清晰地展示實驗結果，首先按照δ的不同取值將實驗結果分為兩組，然后在每一組實驗中分別分析其他因素對4種評審策略的影響。第一組實驗結果(δ=0)如圖4～圖6所示，第二組實驗結果(δ=1)如圖7～圖9所示。

從第一組實驗結果可以看出，在僅以項目完工時間期望為評價標準時(δ=0)，4種因素對評審策略的表現(xiàn)均有顯著影響?？傮w來說，當評審固定耗時較小(ζ=0)時策略S1最優(yōu)，當評審固定耗時較大(ζ=5和ζ=10)時策略S3最優(yōu)。針對每一種因素的詳細分析如下：

(1)在工期折扣因子方面 所有評審策略目標函數(shù)均隨β呈正線性增長，如圖4所示。在所有ζ取值下，S1均優(yōu)于S2且S3優(yōu)于S4，表明并行耦合任務2和任務7單獨評審更優(yōu)。相比之下，串行耦合任務8和任務14的評審更復雜。雖然當ζ=0時，S1優(yōu)于S3，S2優(yōu)于S4，但是隨著ζ的增長，S3逐漸優(yōu)于S1，S4逐漸優(yōu)于S2，而且S1的目標函數(shù)比S3的目標函數(shù)增長得更顯著。原因是，S1會同時增長4個評審節(jié)點的工期，而S3只增長3個。簡而言之，串行耦合任務組合評審策略在ζ較小時可能不是最優(yōu)，但是隨著ζ的增長會逐漸表現(xiàn)出優(yōu)勢。

(2)在返工概率系數(shù)方面 所有評審策略對應的函數(shù)值均隨c的增長呈多項式增長，如圖5所示。4種策略表現(xiàn)的優(yōu)劣與圖4所示結果相同，其內(nèi)在原因也與上述分析相同。

(3)在關聯(lián)度方面S1對應的函數(shù)值與r無關，S2，S3，S4對應的函數(shù)值與r呈線性關系，如圖6所示。由于S1中4個任務獨立評審，關聯(lián)度的改變對CTMC沒有影響。相比之下，S2，S3，S4均有組合評審，關聯(lián)度變化會同時影響評審準備時間和任務等待時間。對于串行耦合任務8和任務14，關聯(lián)度越大意味著其累積錯誤的風險越高，理論上應該獨立評審，但是獨立評審將增加評審準備時間。對于并行耦合任務2和任務7，關聯(lián)度增大將導致系統(tǒng)以更大的概率轉(zhuǎn)移至這兩個任務同時返工的狀態(tài)，即增加等待時間。因此，S3對應函數(shù)值一直與r負相關，S2和S4對應的函數(shù)值與r之間的關系則隨ζ的增長由正相關變?yōu)樨撓嚓P?？傊?種策略的表現(xiàn)優(yōu)劣與圖4所示結果相同，其內(nèi)在原因也與上述分析相同。

從第二組實驗結果可以看出，當以項目完工時間期望和方差組合(δ=1)為評價標準時，4種項目環(huán)境因素對評審策略的表現(xiàn)同樣有顯著影響。總體來說，第二組實驗結果與第一組實驗結果相似，區(qū)別在于圖7和圖8顯示部分策略之間存在交叉，表明在不同評審策略評價標準下，幾種策略的優(yōu)劣表現(xiàn)為部分環(huán)境下存在差異。造成這個現(xiàn)象的原因是PH分布的均值和方差同向變化(同時增加或減少)，但是變化速率不同。

上述實驗結果給設計項目管理工程實際帶來以下兩方面重要啟示：①應該根據(jù)所處項目環(huán)境選擇合適的評審策略。在大多數(shù)情形下，并行耦合任務應獨立評審，串行耦合任務在評審耗時較小時應獨立評審，反之則應組合評審。②應該集中精力降低返工概率，因為項目完工時間隨返工概率呈多項式增長，隨其余因素呈線性增長。從管理角度來說，可以通過加強與客戶的有效溝通、規(guī)范需求分析與設計過程等方法來降低返工概率。

4 案例分析

為了驗證本文所構建模型和方法的工程實用性，同時驗證上一章所得實驗結論的可靠性，本章以深圳某企業(yè)的一套模具設計過程為例進行分析。

該企業(yè)模具設計包括產(chǎn)品分析、2D設計、3D設計和出正式圖紙等幾個步驟，流程如圖10所示。通過歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計，得到如表1所示的任務工期參數(shù)信息。

表1 任務工期參數(shù)信息

任務工期均值/h工期方差平方變異系數(shù)產(chǎn)品分析(常規(guī))8641產(chǎn)品分析(返工)4161客戶確認1228822D設計(常規(guī))2457612D設計(返工)86413D設計(常規(guī))487681/33D設計(返工)8641正式圖紙162561

產(chǎn)品分析需要提交客戶確認，2D和3D設計后需要提交組長/設計主管評審，三者串行耦合。因為客戶要求先進行確認，而且客戶確認后可以提前采購部分大型物料，所以產(chǎn)品分析不會與2D和3D設計組合評審。統(tǒng)計得知，客戶確認后的返工概率為0.25，2D和3D評審每次準備耗時ζ大約在0.5～1 h，工期折扣因子β=0.167，2D評審的返工概率為0.5。若2D評審后再進行3D設計，則3D評審的返工概率為0.3，否則將因錯誤累積而增至0.6。

該企業(yè)當前是將2D和3D單獨評審，需要分析其與組合評審策略哪種更優(yōu)：①策略S1，將2D和3D設計單獨提交組長/設計主管評審；②策略S2，將2D和3D設計一起提交給組長/設計主管評審。

采用本文所建模型與方法得到表2所示的結果。若僅以完工時間均值作為評審策略的評價標準(δ=0)，則獨立評審策略S1在ζ≤1時更優(yōu)，而組合評審策略S2在ζ=2時更優(yōu)；若以完工時間和方差同時作為評審策略的評價標準(δ=1)，則獨立評審策略在3種情形下均更優(yōu)。由此可見，企業(yè)當前的評審策略是合理的，該結果與本文實驗結論一致。

表2 兩種評審策略的計算結果

如前所述，企業(yè)可以通過提高設計員能力、加強與客戶的有效溝通等方式降低返工概率。為了更全面地分析上述案例并進一步驗證本文實驗結論，在假定該企業(yè)降低返工概率的情形下對比兩種策略的優(yōu)劣。不失一般性，假定客戶確認后的返工概率降為0.2，2D評審的返工概率降為0.3，2D評審后再進行3D設計的3D評審返工概率降為0.2，因錯誤累積的3D評審返工概率降為0.4，計算得到表3所示的結果(其中Dev(E(T))%和Dev(Var(T))%分別表示項目完工時間的均值和方差與表2結果的偏差百分比)。可以看出，相比表2，降低返工概率后，項目完工時間均值和方差均顯著減小(下降約6%)。在低返工概率下，策略S1對應的E(T)和Var(T)在3種情形下均小于策略S2的對應值，即S1優(yōu)于S2。另外，隨著ζ的增長，兩種評審策略之間的差距明顯縮小，其原因同第3章實驗結果的詳細分析。

表3 降低返工概率后的兩種評審策略計算結果

5 結束語

本文針對具有一般工期和隨機返工的設計任務評審策略分析問題，基于PH分布構建了項目完工時間概率分布估算解析模型。實驗結果表明，項目環(huán)境因素對評審策略的表現(xiàn)有顯著影響，沒有哪種策略在所有環(huán)境下均最優(yōu)。一般來說，并行耦合設計任務應獨立評審，串行耦合設計任務在評審準備時間較小時應獨立評審，否則應組合評審。本文研究還發(fā)現(xiàn)，返工概率是影響設計項目完工時間的首要因素，企業(yè)應重點利用有效溝通和規(guī)范設計等方式來降低任務返工概率。最后，通過深圳某企業(yè)模具設計過程應用案例驗證了模型和方法的有效性。

本文所構建的模型和方法具有一定普適性，對研發(fā)評審、制造質(zhì)檢等問題均具有一定指導意義。然而，當項目網(wǎng)絡規(guī)模較大時，PH分布會面臨大規(guī)模矩陣運算無法求解的問題，采用仿真等方法是更好的選擇。下一階段工作將研究對應的評審策略動態(tài)優(yōu)化問題。