摘?要：二次型的理論及其性質(zhì)是高等代數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，二次型的應(yīng)用及其廣泛，尤其是二次型的理論在曲線方程和曲面方程的研究，以及在經(jīng)濟(jì)管理等方面都有著重要的理論和實(shí)用價(jià)值。為使讀者能夠較全面深入的了解，正確清晰的理解和掌握二次型的理論及其應(yīng)用，本文主要是針對(duì)二次型及其理論在幾何和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用作一些簡(jiǎn)介。如有不恰當(dāng)之處，歡迎老師，同學(xué)以及讀者給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：二次型;二次曲線;二次曲面;標(biāo)準(zhǔn)型

二次型及其理論的建立有著很強(qiáng)的幾何背景，二次型的理論的探討是從18世紀(jì)開(kāi)始的，它的起源是對(duì)二次曲線和二次曲面的分類問(wèn)題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選擇主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀。柯西在他人研究著作的基礎(chǔ)上，探討化簡(jiǎn)變數(shù)的二次型等問(wèn)題，證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變化下具有不變性，以及n個(gè)變量的兩個(gè)二次型能用一個(gè)線性變換，同時(shí)化為平方和。在1858年，維爾斯托拉斯給出了對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成為平方和的一般的方法。

一、二次圓錐曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

在平面幾何中，對(duì)于一般的二次圓錐曲線方程

我們都可以利用旋轉(zhuǎn)和平移變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，使得一般的二次圓錐曲線方程（1）劃分為橢圓，雙曲線，或拋物線三種類型之一。其步驟如下：

解：首先將二次型用正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，為此，令，經(jīng)計(jì)算可求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，將它們單位化，得到，作如下的正交變換，代入二次圓錐曲線方程得到：，再通過(guò)配方后，得到標(biāo)準(zhǔn)形，它是以為中心得雙曲線。

二、二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

在空間解析幾何中，二次曲面方程得一般形式為：

令，則（3）式就化為由于此式的二次項(xiàng)中不含有變量的交叉乘積，只含有平方項(xiàng)，在通過(guò)一次平移變換就可以把二次曲面方程（1）化為易于判定類型的標(biāo)準(zhǔn)方程了。

另外二次型在探討系統(tǒng)的穩(wěn)定性、最優(yōu)化中極值求解、高等代數(shù)以及物理力學(xué)、物理學(xué)電阻器功率的消耗等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用.由于篇幅所限，這里就不在累贅了。

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。