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        二次曲面拋物截面存在性定理*

        2021-12-16 08:29:44安佰玲張德燕
        關(guān)鍵詞:二次曲面截線拋物

        安佰玲,張德燕

        (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

        二次曲面是空間結(jié)構(gòu)中最常見的函數(shù)曲面,在計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)和機械制圖中有重要應(yīng)用.不少學(xué)者將二次曲面應(yīng)用于研究參數(shù)曲面的擬合、復(fù)雜三維幾何體的建模及曲面拼接問題[1-5],研究這些問題的過程中,都離不開二次曲面與平面的截線形狀及參數(shù)方程的討論.此外,討論二次曲面上的具有某種幾何特征的平面截線存在性問題,對于研究二次曲面的幾何性質(zhì)與形狀具有重要的理論價值.目前,關(guān)于二次曲面平面截線的存在性及其應(yīng)用研究大多集中在圓或橢圓截線上[6-9],因為這類二次曲線的代數(shù)方程比較容易構(gòu)造.而關(guān)于拋物線截面的存在性及其代數(shù)方程求解問題的研究成果不多,因此,筆者擬利用2種方法給出二次曲面拋物線截面存在的條件及其代數(shù)形式.

        1 預(yù)備知識

        為了敘述方便,作以下約定:

        定義1設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0,若平面π:lx+my+nz+p=0與S的交線為拋物線,則稱平面π為二次曲面S的拋物截面.

        引理1[10]對于二次曲面S:F(x,y,z)=0,設(shè)λ1,λ2,λ3為實對稱矩陣A*的特征值,則存正交變換X=QY,使得S的方程變?yōu)?/p>

        f(x′,y′,z′)=λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+ax′+b′y+cz′+d=0,

        其中X=(x,y,z)T,Y=(x′,y′,z′)T,(a,b,c)T=2QTξ,d=a44.

        二次曲面Σ:f(x′,y′,z′)=0與S:F(x,y,z)=0僅相差一個正交變換X=QY,因此二次曲面S拋物截面的求解可轉(zhuǎn)化二次曲面Σ拋物截面的求解,所求的拋物截面也相差一個正交變換X=QY.

        引理2[11]在xoy平面上,二次曲線φ(x,y)=0為拋物線?I2=0,I3≠0.

        2 主要結(jié)果及其證明

        定理1對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,若二次曲面Σ存在拋物截面,設(shè)α,β為拋物截面上的正交單位向量,β沿拋物線的對稱軸方向,則λ1,λ2,λ3不能同時為正或者同時為負,且:

        (1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號(不妨設(shè)λ1λ2>0,其他情形同理可得).

        ①當(dāng)λ1=λ2時,

        其中θ∈[0,2π).

        ②當(dāng)λ1≠λ2時,

        (2)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個同號(不妨設(shè)λ3=0,其他情形同理可得).此時,

        α=(cosθ,sinθ,0),β=(0,0,1),

        其中θ∈[0,2π).

        (3)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個異號(不妨設(shè)λ3=0,其他情形同理可得).此時,

        ①β2=0,α=(cosθ,sinθ,0),其中θ∈[0,2π).

        (4)λ1,λ2,λ3中有2個為0(不妨設(shè)λ1=λ2=0,其他情形同理可得).此時,

        其中|m|≤1,θ∈[0,2π).

        證明設(shè)二次曲面

        Σ:f(x,y,z)=λ1x2+λ2y2+λ3z2+ax+by+cz+d=0,

        (1)

        平面π與曲面Σ交于拋物線Γ,P0(x0,y0,z0)為拋物線的頂點,α=(α1,α2,α3),β=(β1,β2,β3),由題意可得拋物線的參數(shù)方程為

        (2)

        其中t∈R,λ為不等于0的常數(shù).將方程組(2)代入(1)式,可得

        若二次曲面Σ存在拋物截面,則存在P0(x0,y0,z0)∈Σ,α,β,使得方程F(t)=0有無窮多解,結(jié)合α,β的幾何特征,可得

        (3)

        (4)

        若Σ存在拋物截面π,則必然存在α,β滿足方程組(3),顯然λ1,λ2,λ3均不為0且同號時,方程組(3)中的第1個方程無解,因此二次曲面Σ無拋物截面.

        (1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號時,不妨設(shè)λ1λ2>0.由方程組

        可得α1β1∶α2β2∶α3β3=(λ2-λ3)∶(λ3-λ1)∶(λ1-λ2).

        ①若λ1=λ2,由于β3≠0,否則β1=β2=0,于是α3=0,可得

        其中θ∈[0,2π).

        ②若λ1≠λ2,由βi≠0,i=1,2,3,可得

        (2)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個同號時,不妨設(shè)λ3=0.由方程組

        可得β1=β2=0,β3=±1.再由方程組

        (3)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個異號時,不妨設(shè)λ3=0.由方程組

        可得

        ①若β2=0,則β1=0,β3=±1,α=(cosθ,sinθ,0),θ∈[0,2π).

        ②若β2≠0,則β1≠0,由λ1α1β1+λ2α2β2=0,可得

        (4)λ1,λ2,λ3中有2個為0時,不妨設(shè)λ1=λ2=0.將λ1,λ2代入(3)式,可得β3=0.由方程組

        根據(jù)定理1,可得二次曲面Σ:f(x,y,z)=0拋物截面存在的必要條件,以及拋物截面法向量n=α×β必須滿足的解析條件,但即使λ1,λ2,λ3,n滿足定理1中的條件,其對應(yīng)的平面也未必是Σ的拋物截面,還取決于方程組(4)的解的存在情況.

        由定理1可得以下結(jié)果:

        推論1設(shè)二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,若λ1,λ2,λ3不同時為正或者同時為負,對于任意滿足定理1中條件的α,β,存在λ≠0使得方程組(4)有解,則二次曲面Σ存在法向量為n=α×β的拋物截面,其拋物線的參數(shù)方程如方程組(2)所示.

        除了利用拋物線的參數(shù)方程探求二次曲面拋物截面存在的解析條件,還可以結(jié)合拋物線在坐標(biāo)面上的投影方程及其不變量給出解析條件.利用這種方法容易判別二次曲面是否具有平行于坐標(biāo)面或坐標(biāo)軸的拋物截面.

        定理2平面π:lx+my+nz+p=0(n≠0)與二次曲面Σ:f(x,y,z)=0交于拋物線

        (5)

        的充要條件是

        證明令

        (6)

        將方程組(6)代入方程組(5),可得

        顯然,方程組(6)對應(yīng)R3中一個仿射坐標(biāo)變換.根據(jù)經(jīng)典二次曲線理論[10],拋物線在仿射變換下仍然是拋物線.證畢.

        定理3對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,有:

        (1)二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件是λ1=0,a≠0或λ2=0,b≠0或λ3=0,c≠0.

        (3)二次曲面Σ存在與z軸相交的拋物截面z=lx+my+p的充要條件是λ3(λ1m2+λ2l2)=-λ1λ2,并且

        A11l2+A22m2+A33p2+2A12lm+2A13lp+2A23mp+2A14l+2A24m+2A34p+A44≠0,

        (7)

        其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3,A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2,均為常數(shù).

        證明(1)二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面(不妨設(shè)其為平行于xoy面的拋物截面z=k)的充要條件為存在k,使得

        是拋物線.由定理2,Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

        同理,二次曲面Σ存在平行于xoz面的拋物截面的充要條件為

        λ1=0,λ3≠0,a≠0或λ3=0,λ1≠0,c≠0;

        二次曲面Σ存在平行于yoz面的拋截面的充要條件為

        λ2=0,λ3≠0,b≠0或λ3=0,λ2≠0,c≠0.

        綜上所述,二次曲面Σ存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件為

        λ1=0,a≠0或λ2=0,b≠0或λ3=0,c≠0.

        (2)y=kx+m,k≠0是二次曲面Σ拋物截面的充要條件為存在k,m,使得

        是拋物線.由定理2,Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

        (3)z=lx+my+p是二次曲面Σ的拋物截面的充要條件為存在l,m,p,使得

        是拋物線.由定理2,Γk是拋物線當(dāng)且僅當(dāng)

        其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3,A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2,均為常數(shù).證畢.

        由定理3可得以下結(jié)果:

        推論2二次曲面Σ:f(x,y,z)=0存在平行于坐標(biāo)面的拋物截面的充要條件是λ1,λ2,λ3中至少有1個為0,并且為0的二次項對應(yīng)變量的一次項不為0.

        推論3對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,有:

        (1)若λ3=0,λ1λ2=0,c≠0或者λ3=0,c≠0,λ1λ2>0,則對于?k≠0,m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

        (3)若λ3≠0,λ1=λ2=0,則對于?k(a+bk≠0),m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

        推論4對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,有:

        (1)若λ1=λ2=0,則對于?l,m,p滿足bl-am≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

        (2)若λ3=λ1=0,a≠0,則對于?l,m,p滿足2cl+a≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

        (3)若λ3=λ2=0,則對于?l,m,p滿足c2l2+(mc+b)2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

        (4)若λ1=0,λ2λ3≠0,a≠0,則對于?l,m,p滿足l=0,λ3m2+λ2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

        (5)若λ2=0,λ1λ3≠0,b≠0,則對于?l,m,p滿足m=0,λ3l2+λ1≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

        3 5種典型二次曲面的拋物截面

        5種典型二次曲面包括橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面和雙曲拋物面,根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)方程、定理1、定理3及推論2~4,容易得到這5種典型二次曲面的拋物截面有以下結(jié)論(結(jié)論僅針對標(biāo)準(zhǔn)方程):

        (1)橢球面不存在拋物截面.

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