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        平行線中的“截線”

        2016-11-24 09:45:58內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院徐俊文
        學(xué)苑教育 2016年14期
        關(guān)鍵詞:截線內(nèi)錯(cuò)角同位角

        內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐俊文

        平行線中的“截線”

        內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院徐俊文

        《平行線的性質(zhì)與判定》是初中幾何教學(xué)的開(kāi)始,教學(xué)中由于簡(jiǎn)述判定定理與性質(zhì)定理,極易使學(xué)生產(chǎn)生沒(méi)有“截線”或“截線”可有可無(wú)的誤區(qū),事實(shí)上,“截線”在平行線的判定定理與性質(zhì)定理的使用中起著至關(guān)重要的作用,本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐闡述了“截線”在平行線的性質(zhì)與判定定理的使用中的重要作用以及使用方法,教學(xué)中應(yīng)更加注意強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“截線”重要作用的認(rèn)識(shí).

        平行線幾何教學(xué)截線

        平行線中的“截線”是平行線的性質(zhì)定理和判定定理應(yīng)用的基礎(chǔ),但在日常教學(xué)中,為了方便學(xué)生記憶定理,在敘述定理時(shí),我們往往采用簡(jiǎn)述的方式,如“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”、“兩直線平行,同位角相等”.這種簡(jiǎn)述的方式,往往會(huì)使學(xué)生忽視“截線”的存在,甚至認(rèn)為“截線”不存在.事實(shí)上,定理的完整敘述中都提到了“截線”這一條重要的直線,如“如果兩條平行直線被第三條直線所截,那么同位角相等”、“兩直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么兩直線平行”,如果“截線”不存在,那么“同位角”、“內(nèi)錯(cuò)角”、“同旁內(nèi)角”都將不存在,是不能應(yīng)用性質(zhì)定理及判定定理的.所以,在教學(xué)中適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化“截線”的存在是必要的,適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)拓展一些依靠“截線”而存在的角的求法和相關(guān)問(wèn)題的解法不但會(huì)使學(xué)生加深對(duì)定理中“截線”的認(rèn)識(shí),更能讓學(xué)生了解幾何問(wèn)題研究的方法,開(kāi)拓學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的視野.下面結(jié)合平行線性質(zhì)定理及判定定理中的幾個(gè)例題,談?wù)劇敖鼐€”在平行線中的不可忽視的作用.

        一、兩直線被一條直線所截

        1.性質(zhì)定理的應(yīng)用.

        例1.已知:如圖1,a∥b,∠1=56°,求其余各角的度數(shù).

        圖1 

        解:∵a∥b,∴∠5=∠1=56°,

        ∴∠7=∠5=56°,∠3=∠1=56°,

        ∵∠1+∠2=180°,

        ∴∠2=180°-∠1=180°-56°=124°,

        ∵a∥b,∴∠6=∠2=124°,

        ∴∠8=∠6=124°,∠4=∠2=124°.

        評(píng)析:題目中,雖沒(méi)有提到“截線”c,但正是因?yàn)橛辛恕敖鼐€”才構(gòu)成了這八個(gè)角,八個(gè)角當(dāng)中不僅是已知了∠1的大小,可以求出其余各角,而是只要已知其中任何一個(gè)角,就可以求出其余各角.

        2.判定定理的應(yīng)用.

        例2.已知:如圖2,∠1=∠2,求證:a∥b.

        圖2 

        證明:∵∠2=∠3, ∠1=∠2,

        ∴∠1=∠3,∴a∥b.

        例3. 如圖3,已知∠1=120°,∠A=60°,判斷直線AB與CD是否平行,并說(shuō)明理由.

        圖3 

        解:AB∥CD,理由如下:

        ∵∠1+∠2=180°,

        ∴∠2=180°-∠1 =180°-120° =60°,

        ∴∠A=∠2, ∴AB∥CD.

        評(píng)析:以上兩個(gè)題的題設(shè)部分均沒(méi)有提到“截線”,但是為證明直線平行所需要的同位角都是依賴于“截線”存在的,因此在解決與“判定直線平行”有關(guān)的問(wèn)題時(shí),只要找準(zhǔn)了“截線”,再結(jié)合需要證明的平行的直線,便很容易找到證明直線平行所需的同位角,內(nèi)錯(cuò)角,同旁內(nèi)角.

        二、兩直線被兩直線所截

        1.性質(zhì)定理的應(yīng)用.

        例4.如圖4,若已知∠1、∠2的大小,便可如例1所示求出其余的14個(gè)角的大?。蝗粜D(zhuǎn)直線d至與直線c平行,如圖5,則只需知道其中一個(gè)角的大小,便可由例1所示的方法,求出其余15個(gè)角的大小.

        圖4 

        圖5 

        因此,能正確識(shí)別“截線”,并根據(jù)“截線”的位置正確使用“截線”及其相關(guān)的結(jié)論,可以化未知為已知,化難為易.

        2.判定定理的應(yīng)用.

        例5.如圖6,下列推理錯(cuò)誤的是()

        圖6 

        A.∵∠2=∠5,∴c∥d

        B.∵∠3=∠4,∴c∥d

        C.∵∠1=∠3, ∴c∥d

        D.∵∠2=∠3,∴a∥b

        答案:C

        評(píng)析:此題中關(guān)鍵就是要分清判斷直線平行的角是依賴哪條截線存在的,且應(yīng)注意,兩條直線平行與否應(yīng)根據(jù)推理,不應(yīng)根據(jù)視覺(jué)感覺(jué).

        三、兩直線被三直線所截

        性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用的經(jīng)典例題及其變式練習(xí).

        例6.如圖7,已知,點(diǎn)A、B、C在同一條直線上,點(diǎn)D、E、F在同一條直線上,且∠A=∠F,∠C=∠D.求證:AE∥BF.

        圖7 

        證明:∵∠C=∠D,

        ∴DF∥AC.∴∠A=∠1,

        又∵∠A=∠F,

        ∴∠F=∠1,

        ∴AE∥BF.

        變式.如圖8,已知∠1=∠2,下列結(jié)論正確的是()

        圖8 

        A.AB∥EFB.AB∥BF

        C.AB∥EF,AE∥EF

        答案:B

        評(píng)析:此圖就是將例6中的點(diǎn)C沿著B(niǎo)A方向滑動(dòng)至與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D沿著EF方向滑動(dòng)至與點(diǎn)E重合,但仍然是兩直線被三條直線所截的問(wèn)題.

        平行線中有了“截線”,才有了角,才能構(gòu)成相等、互補(bǔ)的角,反之相等、互補(bǔ)的角才能判定直線平行,因此,“截線”在平行線中起著至關(guān)重要的作用,在教學(xué)中不可忽視.

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        4.2 相交線與平行線
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