毛傳林

摘要：眾所周知，所有的整數(shù)能夠被分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類，我們也經(jīng)常選0作為偶整數(shù)這一類的代表，選1作為奇整數(shù)這一類的代表。我們對(duì)自然界中存在的各種物體，看到的各種現(xiàn)象都在進(jìn)行著分類，并選出一類中的某個(gè)典型代表作為這一類的標(biāo)準(zhǔn)型。

關(guān)鍵詞：翻棋 數(shù)學(xué) 轉(zhuǎn)化 分類 標(biāo)準(zhǔn)型

整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)，二次曲線分為橢圓和雙曲線。給定一個(gè)二次曲線方程，怎么判斷其是橢圓還是雙曲線？常見(jiàn)的做法是將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)型，然后再加以判別。實(shí)際上，此方程中蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化、分類，并從每一個(gè)類中選出一種最為簡(jiǎn)單、最能夠反映性質(zhì)的元素，作為這一類元素代表的邏輯過(guò)程。此外，每一個(gè)類中的元素，由于都能夠轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型元素，所以同一類中的元素之間實(shí)際上是可以相互轉(zhuǎn)化的。本文以“翻棋”游戲作為研究對(duì)象，簡(jiǎn)單淺析說(shuō)明轉(zhuǎn)化、分類、確定標(biāo)準(zhǔn)型這一深刻的數(shù)學(xué)思想。

“翻棋”游戲常常被描述如下：在3× 3方格中有9顆棋子（棋子的正面是黑色，反面是白色）。每次任選一行或者一列，把所選行或列的全部棋子正反面翻轉(zhuǎn)叫做一次T操作。請(qǐng)問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)有限次T操作，將某個(gè)圖形下的棋子全都變成黑色朝上？

一、1× 1方格和2× 2方格

3× 3方格里面9個(gè)棋子，每個(gè)棋子正反面又分別有黑白兩種顏色，這樣對(duì)應(yīng)的圖形將會(huì)產(chǎn)生29（=512）種可能情況，似乎太多了點(diǎn)。我們先來(lái)考慮1× 1方格和方格2× 2方格兩種較為簡(jiǎn)單的情況吧。

很容易看到1× 1方格只有一個(gè)格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者說(shuō)經(jīng)過(guò)0次T操作，就把全部棋子變成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要經(jīng)過(guò)1次T操作，就可以把全部棋子變成黑色。所以，可以得到結(jié)論：對(duì)于1×× 方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經(jīng)過(guò)有限次T操作，將棋子全部變?yōu)楹谏?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/04/11/xwjy201702xwjy201702103-2-l.jpg" style="">

現(xiàn)在，來(lái)討論2× 2方格的情況。在2× 2方格中放上棋子，將會(huì)產(chǎn)生16種可能情況，不算太多，我們可以把他們?nèi)慨嫵鰜?lái)，如下：

為了方便敘述，我們給上述16種情況給出ABCD……的編號(hào)，并寫在圖形下方。注意到每經(jīng)過(guò)一次T操作，從一個(gè)舊的圖形出發(fā)，我們可以得到一個(gè)新的圖形，如選圖形A的第2行進(jìn)行T操作，我們會(huì)得到圖形K；當(dāng)然，選圖形K的第2行進(jìn)行T操作，我們會(huì)重新得到圖形A。這使得我們意識(shí)到，假如兩個(gè)圖形可以經(jīng)過(guò)有限次T操作相互轉(zhuǎn)化，那么他們中只要有一個(gè)最終可以通過(guò)有限次T操作變成全部黑面朝上，則另外一個(gè)圖形也可以通過(guò)有限次T操作變成全部黑面朝上了。這種轉(zhuǎn)化，驅(qū)使我們想知道，看哪些圖形之間可以相互轉(zhuǎn)化，而哪些圖形之間不能相互轉(zhuǎn)化。我們把可以相互轉(zhuǎn)化的圖形看作是一類的。這樣，問(wèn)題來(lái)了：所有圖形能夠分成多少類呢？

命題1：我們規(guī)定，如果兩個(gè)圖形，可以經(jīng)過(guò)有限次T操作相互轉(zhuǎn)化，那么這兩個(gè)圖形被說(shuō)成是同為T類的；否則，被說(shuō)成不是同為T類的。

問(wèn)題：2× 2方格下棋子的圖形，經(jīng)過(guò)有限次T操作，可以分為多少個(gè)不同的T類？

在2× 2方格的情況下，我們可以將全部16種圖形分成下述兩類。請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證，上述同一類的圖形如何通過(guò)T操作相互轉(zhuǎn)化。

由上述分類可以看出，對(duì)于2× 2方格，如果正面黑色朝上的棋子個(gè)數(shù)是偶數(shù)的時(shí)候，相應(yīng)的圖形可以經(jīng)過(guò)是可以經(jīng)過(guò)有限次T操作變成圖形A，也就是全部黑色朝上的；否則，正面黑色朝上的棋子個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)的時(shí)候，相應(yīng)的圖形是不可能經(jīng)過(guò)有限次T操作變成圖形A的，但是我們發(fā)現(xiàn)它們總可以變成圖形B。實(shí)際上，這時(shí)，我們就把圖形A當(dāng)成了第一類中所有圖形的代表，圖形B當(dāng)成了第二類中所有圖形的代表，圖形A和圖形B也被稱為標(biāo)準(zhǔn)型。

二、3× 3方格

3× 3方格中棋子對(duì)應(yīng)的圖形的情況有29（=512）種之多，不可能像2× 2方格時(shí)那樣一一羅列出來(lái)，該怎么辦呢？我們發(fā)現(xiàn)，在處理2× 2方格時(shí)，通過(guò)圖形間的轉(zhuǎn)化，分類，并確定標(biāo)準(zhǔn)型的想法還是可以使用的。 最后，我們得到的圖形，第1行3個(gè)格子和第1列3個(gè)格子里面的棋子一定都是黑面朝上。這樣的一個(gè)圖形我們稱之為標(biāo)準(zhǔn)型。綜合上面的分析，我們可以得到下述命題：

命題2：令X是一個(gè)3× 3方格棋子的圖形，那么可以經(jīng)過(guò)有限次T操作，將圖形X變成一個(gè)第1行3個(gè)格子和第1列3個(gè)格子里面的棋子都是黑面朝上的標(biāo)準(zhǔn)型。

對(duì)于一個(gè)3× 3方格下棋子的圖形，它可以轉(zhuǎn)變到兩個(gè)或者多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型嗎？下面的命題告訴我們，這是不可能的，它只可能轉(zhuǎn)變成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。

命題3：令X是一個(gè)3× 3格下棋子的圖形，經(jīng)過(guò)有限次T操作將X轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，那么X只有唯一的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形。 證明：設(shè)圖形X可以經(jīng)過(guò)有限次T操作化為標(biāo)準(zhǔn)型Y，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)型Z。假設(shè)Y和Z在某個(gè)格子里的

棋子顏色不一樣。不妨，在這個(gè)格子里，Y圖形的棋子是黑色，Z圖形的棋子是白色。可以看到，需要對(duì)Z圖形里，這個(gè)白色棋子所在的行或者列，一共進(jìn)行奇數(shù)次T操作，才能將這個(gè)棋子的顏色變成黑色。但是，這將導(dǎo)致，Z圖形中，和這個(gè)白色棋子位于同一行或同一列的第1個(gè)棋子的顏色變?yōu)榘咨?所以圖形Y和Z是不能通過(guò)有限次T操作相互轉(zhuǎn)化的。這與他們都可以通過(guò)X經(jīng)過(guò)有限次T操作轉(zhuǎn)化而來(lái)矛盾。我們得到結(jié)論，Y和Z必須完全相同，也就是X只有唯一的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。

三、結(jié)論

在各種數(shù)學(xué)理論或者專著中常用的術(shù)語(yǔ)“等價(jià)關(guān)系”和“等價(jià)類”，大眾讀者往往只能記住這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)的數(shù)學(xué)描述，而不知其到底為什么要給出這樣的描述，于是就有了數(shù)學(xué)抽象、深?yuàn)W，但卻不切實(shí)際的感覺(jué)。實(shí)際上，所謂“等價(jià)關(guān)系”就是對(duì)元素可以相互轉(zhuǎn)化的抽象描述，“等價(jià)類”也就是在講可以相互轉(zhuǎn)化的所有元素被視為一類。所以，數(shù)學(xué)理論中，一般只要出現(xiàn)這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)的地方，對(duì)應(yīng)的就是在對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類。

通過(guò)“翻棋”這一簡(jiǎn)單而有趣的游戲，在游戲過(guò)程中，首先對(duì)圖形變化有了樸素的感性認(rèn)識(shí)。然后，利用分類的基本方法論，能夠使學(xué)生在數(shù)學(xué)上對(duì)怎樣分類，如何分類，怎么確定標(biāo)準(zhǔn)型，有個(gè)理性認(rèn)識(shí)，從而慢慢理解“等價(jià)關(guān)系”和“等價(jià)類”內(nèi)涵，最終掌握分類的基本方法論。

參考文獻(xiàn)：

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