太敬藝

【摘 要】高中數(shù)學知識之間的聯(lián)系十分密切，一題多解要求學生對同一問題嘗試從多個不同的思考角度解答，能滿足學生多樣化學習的需要，提升其思維能力。筆者基于建構(gòu)主義理論和信息加工學習論，以一道數(shù)列題為例，根據(jù)高三學生已有的知識和活動經(jīng)驗，提出在教學中預留一題多解的空間，啟發(fā)學生打破定勢思維，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;一題多解;思維結(jié)構(gòu);數(shù)列

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0158-02

解題課的功能是使學生在概念課、原理課的基礎(chǔ)上鞏固已學概念、原理、思想與方法，并熟練運用它們解決問題[1]。考慮到高三學生的基礎(chǔ)知識和基本技能掌握情況，教師應將關(guān)注點放在提高學生理解、分析、解答問題的能力上。部分學生在面臨熟悉的數(shù)學情境或遇到與之前經(jīng)驗類似的問題表征形式時，容易憑借“經(jīng)驗與直覺”產(chǎn)生定勢思維，不利于發(fā)散性數(shù)學思維及其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。因此在數(shù)學教學中，教師應重視學生的知識背景，做好學情分析，鼓勵學生發(fā)散思維，積極引導學生對有啟發(fā)性的數(shù)學問題進行共同探索、交流、質(zhì)疑和評價，利用一題多解幫助學生避免“功能固著”現(xiàn)象，使學生在問題解決中完善知識網(wǎng)絡，養(yǎng)成多角度、全方位思考問題的習慣。

1? ?一題多解

一題多解教學是指針對同一個問題引導學生從不同角度進行解讀、探究、比較，并評價不同的解決方法。建構(gòu)主義理論指出學習者會以自己的原有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對新信息進行編碼，建構(gòu)自己的理解，原有知識又會因新經(jīng)驗的進入發(fā)生調(diào)整和改變，其中包含新舊經(jīng)驗沖突所引發(fā)的觀念和結(jié)構(gòu)重組[2]。教學中，教師應鼓勵學生從不同角度思考問題，通過對題目的深入探究和評析幫助學生激活原有的知識經(jīng)驗、技能經(jīng)驗，并將其作為新知識、新技能、新方法的生長點。

信息加工心理學家安德森將知識分為兩類，一類是陳述性知識，即關(guān)于事實、定義、定理、規(guī)則等方面的知識;另一類是程序性知識，指如何完成具體任務的知識。在帶領(lǐng)學生探索解題方法的過程中，教師不能急于求成或包辦代替，而應預留充足的時間帶領(lǐng)學生回顧已有的知識經(jīng)驗（陳述性知識），鼓勵學生嘗試不同的解法（程序性知識）。學生只有在勇于探索、大膽試錯、積極展示對問題的多種解讀中，才能自發(fā)地強化或修正本身的知識結(jié)構(gòu)和技能，完善現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)。

2? ?例題剖析

該例題是高三習題課中對學生來說有自主探究價值的一道數(shù)列問題。下面筆者從學生具體解答情況出發(fā)，說明一題多解是如何體現(xiàn)學生數(shù)學思維結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

例題：已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，且a3=3，

a1，a2，a4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1+2b2+3b3

+...+nbn=2an（ nN* ）。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;

（2）求證：。

解：設數(shù)列{an}的公差為d，則a1=3-2d，a2=3-d，a3=3，a4=3+d，由（3-2d）（3+d）=（3-d）2解得d=1或d=0（舍去），所以an=n（ nN* ）。

因為b1+2b2+3b3+...+nbn=2n（ nN* ），所以b1+2b2+

3b3+...+（n-1）bn-1=2（n-1）（n2，nN* ），兩式相減整理得。

驗證：當n=1時，成立，所以bn=

（ nN* ）。

本題第（1）問是常見題型，解法較為常規(guī)，易錯點在于求數(shù)列{bn}時，許多學生對n的取值范圍考慮得不夠嚴謹，忽略了對n=1的驗證。第（2）問的待證不等式的構(gòu)造巧妙，具有很高的探究價值，教師在講解中需循序漸進并適時引導、點撥學生。課堂上，學生積極探索，產(chǎn)生了以下三種解法。

2.1? 數(shù)學歸納法

因為...

（ nN* ）

（1）當n=1時，成立。

（2）當n=k時，成立。

下面證明n=k+1時，不等式仍然成立。

因為，

要證明n=k+1時不等式仍然成立，只需證明

，

化簡后得（*）

即證，當時，此不等式顯然成立。

由（1）（2）可知，原不等式對一切正整數(shù)n成立，

證畢。

數(shù)學歸納法是高中數(shù)學中的一種重要的演繹推理法，通常用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立，反映由特殊推導出一般的思維過程。筆者觀察到部分學生在進行到步驟（*）時卡殼，沒有清晰的化簡方向，只完成了對數(shù)學歸納法基本步驟的簡單模仿。此處的關(guān)鍵點在于啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)，然后順利進行因式分解。從信息加工理論的角度來看，如果學生不能將新學的知識與原有數(shù)學概念或規(guī)律聯(lián)結(jié)，則在單一情境中獲得的知識是單薄、孤立的，不能對輸入的信息進行有效加工，進而產(chǎn)生思維障礙，導致解題受阻。

2.2? 基本不等式

將待證不等式移項得

由多元基本不等式

得

當且僅當n=0時，等號成立，故

對一切正整數(shù)n成立。

部分學生觀察到了左邊不等式前后兩項分子分母的對應關(guān)系，并由此聯(lián)想到了多元基本不等式：對于m個正數(shù)t1，t2，...，tm，其算術(shù)平均值不小于其幾何平均值，然后類比數(shù)列中的“累乘法”，利用基本不等式將冗長的不等式結(jié)構(gòu)簡化。

2.3? 構(gòu)造函數(shù)不等關(guān)系

從函數(shù)角度引導學生后，學生聯(lián)想到了常見函數(shù)不等關(guān)系：由x > lnx+1（x≠1）得。

為證明原不等式，需證明，即證，由x > lnx+1知其成立，故原不等式得證。

數(shù)列的本質(zhì)是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，所以學生可巧妙利用函數(shù)的不等關(guān)系、對數(shù)式運算法則對不等式結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，而這正能體現(xiàn)學生對數(shù)列的本質(zhì)屬性的深刻理解.

問題解決是一種重要的思維活動，是學習者運用知識與經(jīng)驗解決問題的過程[3]。數(shù)學解題靈活性的關(guān)鍵在于數(shù)學知識之間的聯(lián)系，如本例中數(shù)列、函數(shù)、不等式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。數(shù)學知識網(wǎng)絡中，陳述性知識是網(wǎng)絡的節(jié)點，程序性知識則是聯(lián)系節(jié)點的“通道”。學生通過重復記憶和大量練習可以暫時掌握陳述性知識，但因缺乏對概念來源和技巧應用的本質(zhì)理解，當問題表征發(fā)生變化時，難以成功建立相關(guān)陳述性知識的聯(lián)結(jié)，對程序性知識的掌握不夠牢靠，從而導致出現(xiàn)聽課易、解題難的

現(xiàn)象。

日常教學中，教師應保持課堂良好的學習交流氛圍，信任學生的獨立探究能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神，避免學生將數(shù)學問題的解決等同于基本概念、公式、定理的生搬硬套。此外，課堂教學中，教師應促進學生主動輸出，逐步克服思維惰性，并在學生給出好的問題切入角度時給予及時評價和認可，調(diào)動其主觀能動性，使學生自發(fā)地將單一知識點之間的“通道”打通，使整個數(shù)學思維網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)更高效、穩(wěn)固。

【參考文獻】

[1]朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學[J].數(shù)學教育學報，2020（2）.

[2]劉曉明，王麗榮.學習理論的新發(fā)展及對現(xiàn)代教學的啟示[J].外國教育研究，2000（2）.

[3]吳增強.論有效教學的心理學支持[J].教育發(fā)展研究，2011（4）.