金 鋒,肖 宏,崔旭浩

(北京交通大學(xué) 軌道工程北京市重點實驗室，北京 100044)

軌道不平順是軌道結(jié)構(gòu)的基本屬性之一，與輪軌間非線性接觸狀態(tài)密切相關(guān)，是線路設(shè)計的基本輸入?yún)?shù)。截至2019年9月，我國已有39個城市開通城市軌道交通線路，盡管運營里程已超過6 000 km,但至今我國尚未建立通用的城市軌道交通不平順譜。而根據(jù)新一輪北京軌道交通線網(wǎng)規(guī)劃(2017—2035年),我國將穩(wěn)步推進快速、大規(guī)模修建城市軌道交通線路的步伐?？梢姡诓杉拇罅寇墮z數(shù)據(jù)開展城市軌道交通不平順譜研究，不僅重要而且緊迫。

近年來，隨著城市規(guī)模的不斷擴張，部分城市軌道交通線路的速度也大幅提升，其中北京地鐵6號線的速度最高可達100 km/h。北京地鐵6號線首次采用8節(jié)B型地鐵列車并使用接觸網(wǎng)供電方式，是首次采用100 km/h列車的市區(qū)主干線，是第一條采用快慢車且設(shè)置快車越行站的線路。以往城市軌道交通在低速狀態(tài)下可以采用鐵路干線譜、國外譜等進行保守設(shè)計，然而隨著速度的增加，半徑小、速度高的動力特征就愈發(fā)顯著。如果還采用傳統(tǒng)的軌道譜進行設(shè)計，不僅會引起軌道零部件傷損，如扣件折斷[1]等，嚴(yán)重時設(shè)計的線路還會直接影響列車的運營安全。因此，對城市軌道交通快速線進行深入研究并建立對應(yīng)的軌道譜，對我國軌道交通建設(shè)具有非常重要的意義。

針對軌道不平順譜，國內(nèi)外已開展了相關(guān)研究。文獻[2]分析了滬寧線不平順譜的特征，并使用相干分析的方法進行了影響車輛加速度不平順因素的辨別。文獻[3]提出一種新的窗函數(shù)，一定程度上緩解了譜估計過程中的邊界效應(yīng)。文獻[4]分析了鋼軌接頭處的不平順功率譜，并使用了小波分析方法。文獻[5]通過對大量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的總結(jié)提出了中國干線鐵路通用軌道譜。文獻[6]對朔黃重載鐵路進行了不平順譜的估計，并使用HHT(Hilbert-Huang Transform)從時域與頻域上進行了軌道不平順幅值能量的分析。國外譜如美國六級譜[7]與德國干擾譜[8]，更是廣泛應(yīng)用于相關(guān)的設(shè)計與研究工作之中。

綜上可以看出，通過不斷研究[9-13]，已經(jīng)獲得不同類型的軌道譜，包括高速鐵路譜、客運專線譜、凍脹地區(qū)軌道譜、重載鐵路譜等。但至今，我國尚未建立軌道交通不平順譜，尤其是軌道交通快速線路譜，這嚴(yán)重影響了軌道交通的合理設(shè)計、檢測評估，并大大阻礙了軌道新產(chǎn)品、新技術(shù)的研發(fā)與推廣。

因此，本文以綜合軌檢車測量的北京地鐵6號線正常狀態(tài)幾何形位檢測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過多尺度小波分析及異常值剔除算法，引入并推導(dǎo)現(xiàn)代譜估計中的Burg法，進行城市軌道交通快速線路不平順譜研究。

1 不平順數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于人工標(biāo)定、傳感器漂移、數(shù)據(jù)傳輸、天氣等原因，會導(dǎo)致軌檢車進行軌檢作業(yè)時獲取的軌檢數(shù)據(jù)存在明顯的異常值，為了消除數(shù)據(jù)異常值的影響，需要針對軌道不平順的特性選擇適宜的濾波算法進行軌檢數(shù)據(jù)的預(yù)處理。

1.1 異常值剔除算法

使用逐點遍歷法對原始軌檢車檢測數(shù)據(jù)進行異常值剔除。與相鄰值比較法相比，逐點遍歷法解決了出現(xiàn)連續(xù)多個超限不平順幅值時方法失效的問題。

圖1為逐點遍歷法剔值處理后與原始輸入數(shù)據(jù)的對比圖。從圖1可以看出，使用該方法進行異常值消除的效果比較明顯，有效地剔除了錯誤項。

圖1 異常值剔除后與原始數(shù)據(jù)對比

1.2 多尺度趨勢項消除算法

軌距、軌向等不平順由于其結(jié)構(gòu)特性，存在明顯的趨勢項，其均值不為0，從圖1就可以看出圖形中軸趨于負值，這也說明需要進行趨勢項的消除。

考慮到軌檢車采樣過程中信號頻率范圍較寬，且不是嚴(yán)格的周期信號，本文采用小波分析方法進行多尺度趨勢項消除。

1.2.1 多尺度趨勢項消除算法

正交小波變換中用到兩個濾波器組h(j)與g(j)，分別表示低通濾波器與高通濾波器，兩者關(guān)系為g(j)=(-1)jh(1-k)。令需要處理的信號f(j)為原始信號，且取a0(j)=f(j)，則信號分解、重構(gòu)算法[14]為

(1)

(2)

(3)

式中：i為分解次數(shù)。式(1)、式(2)為分解算法，式(3)為重構(gòu)算法，通過分解可將實測軌道不平順數(shù)據(jù)中低頻成分與高頻成分分離開來，其中所需要的不平順數(shù)據(jù)為高頻部分，低頻部分則為曲線超高等的趨勢項，在重構(gòu)過程中將低頻信號選擇性地過濾可達到消除趨勢項的目的。

對于理想濾波器，在2j尺度上，h(f)和g(f)的頻率范圍分別為[0,fs/2j+1]和(fs/2j+1,fs/2j]，軌檢車每隔0.25 m采樣一次，采樣空間頻率fs為4，而我們所關(guān)注的軌道譜中主要不平順波長范圍為1～32 m，需要分解6次才能達到濾波目的?？紤]到軌道結(jié)構(gòu)的特殊性，需要對小波分析所使用的小波基進行嚴(yán)格的篩選與對比。

1.2.2 小波基選取對比

在小波分析的過程中扮演最重要角色的就是小波基，目前較為流行的有正交小波Daubechies小波(dbN)、雙正交小波Biorthogonal(biorN.N)、近似對稱的Symlet小波(symN)和Coiflet小波(coifN)等。其中N為小波分解層數(shù)，分解層數(shù)越多小波消失矩階數(shù)越高，濾波越徹底。

為了篩選出最適合城市軌道交通濾波處理的母小波，進行了各種小波分解重構(gòu)后結(jié)果的對比，見圖2。

圖2 各種母小波結(jié)果對比

從圖2可以看出，通過小波的變換之后,基于各小波基的結(jié)果均比較明顯，趨勢項消除質(zhì)量均滿足軌道不平順譜分析的要求。為了取最優(yōu)小波基，列出相關(guān)的評價指標(biāo)進行篩選，如表1所示。

表 1 小波基處理結(jié)果對比

從表1可以看出，與源數(shù)據(jù)相比，經(jīng)過小波處理后數(shù)據(jù)的期望值與方差均有減小，結(jié)合圖2中處理后小波的形態(tài)，可以看出對軌道譜估計有影響的低頻趨勢項已經(jīng)被較好地處理；其次，從表1還可以看到coif5母小波的期望值與方差兩個指標(biāo)值均是最優(yōu)。因此，本文采用coif5母小波進行趨勢項消除工作。

1.2.3 趨勢項消除

使用coif5小波基，進行6次多尺度分解重構(gòu)得到了預(yù)處理后的軌距、高低、軌向不平順數(shù)據(jù)。限于篇幅，僅將部分預(yù)處理結(jié)果展示，見圖3。

圖3 趨勢項消除對比總圖

從圖3可以看出，軌距、高低等使用小波處理均有良好的效果，數(shù)據(jù)基線均已歸零。

2 軌道譜獲取方法的優(yōu)化

2.1 軌道譜估計方法的選擇

由于軌道不平順影響因子眾多導(dǎo)致其幅值的不確定性，使其有明顯的隨機特性。為了描述隨機過程，本文使用功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)函數(shù)進行隨機過程的描述。由于獲取的信號長度不為無限長，不具備平方可積條件，這對工程上使用傅里葉變換獲取功率譜密度函數(shù)造成了障礙。

目前，工程上普遍使用經(jīng)典譜估計方法進行軌道譜的估計。經(jīng)典譜估計方法主要由周期圖法與其優(yōu)化方法組成。經(jīng)典譜估計方法是以傅里葉分析為理論基礎(chǔ)的一種較為成熟的譜估計方法，又稱為非參數(shù)模型譜估計，包括間接法和直接法。間接法是以有限序列數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)為媒介來估計原始數(shù)據(jù)的功率譜，其理論基礎(chǔ)是維納-辛欽定理，在1958年由Blackman和Tukey提出[15]。作為早期的譜估計方法，間接法在延遲參數(shù)較大時會導(dǎo)致計算量過大，且估計的精度不高，所以一般使用直接法[16]。直接法又稱周期圖法，其通過直接利用有限序列數(shù)據(jù)的傅里葉變換來估計其功率譜，是經(jīng)典譜估計的一個常用方法，目前所提出的中國干線譜、高速譜使用的均是周期圖法或其改進方法。

直接法的方差計算十分復(fù)雜，由Jenkins 的結(jié)論[17]可知，方差可以表述為

(4)

式中:IN(ω)為直接法功率譜估計量;Px(ω)為真實功率譜;ω為圓頻率;N為數(shù)據(jù)長度。當(dāng)N較大時，直接法方差可近似表示為

(5)

式(5)表明，直接法的方差不隨著數(shù)據(jù)量N的增大而趨于0，因此不是功率譜的一致估計[18]。

為了優(yōu)化其方差性能，又提出了Bartlett法與Welch法進行軌道譜的估計。

Bartlett法基本思想是將原始數(shù)據(jù)進行分段，使用矩形窗函數(shù)進行功率譜的估計并進行平均，由于各段數(shù)據(jù)越少，估計的偏差越大，這種方法以估計的偏差增大為代價，達到減小方差的目的。

相較于Bartlett法，Welch法在進行分段時需要將每段信號樣本進行重疊，在同樣的分段數(shù)下各段數(shù)據(jù)變長，限制了偏差大小的范圍，減小了方差，提升了經(jīng)典法功率譜的估計效果。各段重疊50%可使方差減少一半，但是更多的重疊并不能進一步降低方差。

由于可使用FFT算法進行快速計算，周期圖法及其優(yōu)化算法廣泛應(yīng)用于目前軌道譜的估計，但是其具有以下缺點：

(1)經(jīng)典譜分辨率較低。

(2)經(jīng)典譜估計方法得到的軌道譜估計方差性能較差，不是真實軌道譜的一致估計，并且在數(shù)據(jù)點增加時譜曲線起伏加劇。

(3)經(jīng)典譜估計方法的平滑和平均與窗函數(shù)的使用緊密關(guān)聯(lián)。沒有一個窗函數(shù)能使譜估計在方差、偏差和分辨率各方面同時得到改善，使用平滑和平均主要用來改善周期圖的方差性能，但往往又降低了分辨率、增加了偏差。

(4)由于假定信號在數(shù)據(jù)觀測區(qū)間以外等于0，因此估計結(jié)果較難與實際軌道譜相匹配，這種現(xiàn)象在數(shù)據(jù)序列較短時尤其明顯，經(jīng)典法不適用于短序列信號的軌道譜估計。

2.2 Burg法理論推導(dǎo)

經(jīng)典譜估計的分辨率與信號的有效長度成反比，而現(xiàn)代譜估計的分辨率可以不受此限制。因為對于給定的N點有限長序列x(n)，雖然其估計出的相關(guān)函數(shù)也是有限長的，但現(xiàn)代譜估計方法隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，使其可能的長度超過給定的長度，因而AR(Auto Regressive)模型譜的分辨率較高。

Burg法是AR系數(shù)求解算法中較為優(yōu)秀的方法，已經(jīng)逐漸應(yīng)用于其他學(xué)科功率譜的估計。因此本節(jié)主要引入Burg法并進行推導(dǎo)，開展軌道不平順譜估計的研究。

Burg法的基本思想是，令前后預(yù)測誤差功率ρf與ρb之和為最小

(6)

計算過程中前后誤差分別為ef(n)與eb(n)，這時有

(7)

(8)

上式中，當(dāng)AR模型法階次m由1增至p時，eb(n)有如下的遞推關(guān)系

(9)

(10)

按照式(10)進行計算后，在階次m狀態(tài)下的AR模型系數(shù)可以由Levinson遞推算法求出，即

(11)

在上述Burg算法的推導(dǎo)中可以看到，AR模型的階數(shù)直接關(guān)系到軌道不平順譜估計質(zhì)量，若階數(shù)太小則譜估計曲線過于平滑，若階數(shù)太大譜估計曲線會出現(xiàn)虛假譜峰，圖4為一段軌道不平順數(shù)據(jù)不同階數(shù)的對比。

因此，如何選取AR模型合適的階數(shù)成為使用Burg法估計軌道不平順譜的一個難點。

圖4 Burg法不同階數(shù)估計結(jié)果對比

當(dāng)預(yù)測誤差功率P達到指定的閾值，或者不再發(fā)生變化時，這時的階數(shù)即是應(yīng)選的正確階數(shù)。

為了保證城市軌道交通譜對應(yīng)現(xiàn)代譜估計階數(shù)的科學(xué)性，使用赤池信息準(zhǔn)則[19](Akaika’s Information theoretic Criterion，AIC)進行階數(shù)估計。

AIC準(zhǔn)則通過使下式達到最小估計模型階次

(12)

可以證明，AIC表示AR模型估計的PDF(Probability Density Function)與數(shù)據(jù)真實PDF之間的Kullback-Leibler距離的估計值，此種定階方法不僅適用于AR模型階次，還可用于MA(Moving Average)模型與ARMA(Auto Regressive Moving Average)模型階次的確定[20]。

2.3 軌道譜估計質(zhì)量的對比

如2.1節(jié)所述，Welch法作為周期圖法的優(yōu)化算法，使用加窗、數(shù)據(jù)重疊等手段減小方差。本文通過Welch法進行了軌道譜方差性能的改進。

圖5為Welch法與Burg法進行譜估計的對比，從圖5可以看出，Burg法相較于Welch法方差性能更好，并由于使用了與直接法、Welch法截然不同的計算手段，跳出了方差、偏差與分辨率之間的矛盾循環(huán)，在降低方差的同時，還保證了其分辨率與譜估計的準(zhǔn)確性。

圖5 Welch法與Burg法功率譜結(jié)果對比

如2.1節(jié)所述，直接法及其改進算法結(jié)果均不是實際譜的一致估計，而Burg法獲取的結(jié)果則是實際譜的一致估計。Burg法與最常用的直接法、Welch法的譜估計特性比較如表2所示。

表2 不平順譜估計方法對比

從表 2各項對比結(jié)果中可知，Burg法作為現(xiàn)代譜估計方法，由于計算方式的進步，相較于直接法、Welch法等經(jīng)典譜估計方法在分辨率、譜的一致性、方差性能、適用范圍等類別中均有優(yōu)勢，契合日漸提高的軌道不平順譜估計精度與不平順幾何形位設(shè)計的需要。

3 城市軌道交通譜的擬合

根據(jù)城市軌道快速線軌道不平順譜的分布規(guī)律及特點，通過使用計算機窮舉法進行擬合公式的適應(yīng)性計算，歸納、統(tǒng)計分析不同擬合公式，確定了適合城市軌道交通的不平順譜擬合模型，包括軌距、高低及軌向，其表達式為

軌距：

(13)

高低：

(14)

軌向：

(15)

使用Levenberg-Marquardt最小二乘理論對Burg法得出的軌道譜估計結(jié)果進行模型參數(shù)擬合，擬合結(jié)果見圖6～圖8。由圖6～圖8可知，擬合曲線可以較好地表述基于Burg法譜估計結(jié)果的各波長段特征，其中在1～2 m小波長區(qū)段，相對而言存在少量可接受的數(shù)據(jù)擬合誤差。表3為高低、軌距、軌向三種不平順擬合的公式參數(shù)及計算結(jié)果。從表3可知，三者擬合優(yōu)度均在0.95以上，擬合質(zhì)量較高。

圖6 軌距不平順擬合結(jié)果

圖7 高低不平順擬合結(jié)果

圖8 軌向不平順擬合結(jié)果

表3 北京地鐵6號線軌道譜擬合結(jié)果

4 城市軌道交通譜的分析

由于城市軌道交通結(jié)構(gòu)本身的特殊性，其軌道不平順也展現(xiàn)出不同的特性。圖9～圖11為城市軌道交通譜與其他譜的對比。

由圖9可知，對于軌距不平順，北京地鐵快速線路譜總體上要優(yōu)于美國六級譜、120 km/h通用軌道譜，劣于德國干擾譜。

圖9 北京地鐵6號線軌距譜與其他譜的對比

由圖10可知，快速線高低譜總體上優(yōu)于120 km/h通用譜，整而言趨于美國六級譜與德國低干擾譜之間，在1～6.3 m波長段要優(yōu)于上海地鐵譜,整體而言兩者差別不大。

由圖11可知，快速線軌向譜總體上優(yōu)于美國六級譜、120 km/h通用譜；略優(yōu)于上海地鐵軌向譜，位于德國低干擾譜與德國高干擾譜之間。

圖10 北京地鐵6號線高低譜與其他譜的對比

圖11 北京地鐵6號線軌向譜與其他譜的對比

綜上可以看出，北京地鐵快速線路譜優(yōu)于美國六級譜、120 km/h通用譜，劣于德國低干擾譜，與上海地鐵地下段譜特征相差不大。以上結(jié)果表明，城市軌道交通本身的線路特性使得其軌道譜與高速鐵路譜、干線譜存在差異，而與上海地鐵擬合譜相差不大，使用本文擬合譜來進行城市軌道交通尤其是快速線路的設(shè)計與研究，更接近實際、更合理。

5 結(jié)論

(1)通過在數(shù)據(jù)預(yù)處理過程中使用多尺度小波分析方法與異常值剔除算法，對原始數(shù)據(jù)中錯誤項與多尺度趨勢項進行消除，獲取了可靠度較高的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，為類似軌檢數(shù)據(jù)處理提供了參考。

(2)在趨勢項消除環(huán)節(jié)進行了母小波的對比分析，表明coif5小波基可以很好地適應(yīng)城市軌道交通譜對于原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)隨機要求。

(3)引進并推導(dǎo)了Burg法，并與Welch法、直接法等進行對比分析，結(jié)果表明，Burg法在譜估計過程中，比其他兩種方法在方差性能和分辨率性能方面均有優(yōu)勢。使用信息論中的AIC準(zhǔn)則解決了Burg法確定計算階數(shù)的問題，較好地完成了基于Burg法的譜估計。

(4)通過對大量公式的適應(yīng)性計算，得到與城市軌道交通快線特征最為契合的擬合公式，并使用Levenberg-Marquardt算法進行了軌道譜的擬合，得到城市軌道交通快速譜擬合公式。