劉明曉，王旭光

（1.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710014；2.西安航天自動化股份有限公司 陜西 西安 710014）

基于MATLAB實現(xiàn)的AR模型功率譜估計

劉明曉1，王旭光2

（1.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710014；2.西安航天自動化股份有限公司 陜西 西安 710014）

現(xiàn)代功率譜估計和經(jīng)典功率譜估計是兩種常用的功率譜估計，同時也是分析隨機(jī)信號的常用方法。本文詳細(xì)介紹了現(xiàn)代功率譜估計中有關(guān)AR模型參數(shù)的功率譜估計，具體包括自相關(guān)算法、Burg算法、協(xié)方差算法以及改進(jìn)的協(xié)方差算法，在此基礎(chǔ)上又對四種不同功率譜估計方法的性能指標(biāo)進(jìn)行了比較分析。在MATLAB仿真軟件平臺上對AR模型參數(shù)的四種不同功率譜估計算法進(jìn)行了仿真，同時對功率譜估計結(jié)果進(jìn)行了分析比較并得到了預(yù)期的譜估計效果。最后從實際應(yīng)用角度出發(fā)討論了AR模型參數(shù)不同功率譜估計算法的特點，以便在應(yīng)用中能夠選擇合適的功率譜估計算法。

功率譜估計；AR模型；算法；MATLAB

在頻譜分析中功率譜估計是常被采用的一種重要方法，功率譜估計廣泛應(yīng)用于人們的日常生活、聲納、生物醫(yī)學(xué)、雷達(dá)以及農(nóng)業(yè)活動等不同領(lǐng)域的信號處理過程中[1-2]。如何從頻帶較寬的信號中檢測出頻帶較窄的信號也是功率譜估計在信號處理中的重要應(yīng)用[3]。此外功率譜估計是用有限長的數(shù)據(jù)來對信號進(jìn)行功率譜估計，是分析隨機(jī)信號時常被采用的一種重要方法。

為了能夠良好地解決經(jīng)典功率譜估計 （包括自相關(guān)法和周期圖法）中方差性能不好以及分辨率較低等問題提出了現(xiàn)代功率譜估計[4]，其涉及的領(lǐng)域以及學(xué)科相當(dāng)廣泛且內(nèi)容比較豐富[5]。現(xiàn)代功率譜估計包括非參數(shù)模型估計和參數(shù)模型估計兩種，前者有最小方差法，多分量的MUSIC方法等；后者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指數(shù)模型等[6-7]。文中對現(xiàn)代功率譜估計中有關(guān)AR模型參數(shù)的幾種典型求解算法進(jìn)行分析比較，同時在MATLAB仿真軟件平臺上對AR模型參數(shù)中不同算法的功率譜估計進(jìn)行了仿真，最后從實際應(yīng)用的角度出發(fā)討論了不同功率估計算法的特點，以便在實際應(yīng)用中能夠選擇最合適的功率譜估計算法[8]。

1 現(xiàn)代功率譜估計

現(xiàn)代功率譜估計又稱參數(shù)譜估計[9]，是先對數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察后再進(jìn)一步對參數(shù)模型進(jìn)行估計，然后根據(jù)得到參數(shù)模型輸出的功率來對信號進(jìn)行譜估計。采用現(xiàn)代功率譜估計能夠較好地改善經(jīng)典譜估計中方差性能差以及分辨率低等問題[10]?，F(xiàn)代功率譜估計中AR模型是應(yīng)用較多的一種模型。

1.1 AR模型的建立

AR模型是全極點模型同時又稱為自回歸模型[11]?？捎霉剑?）所示的差分方程來描述：

其中u（n）是一個白噪聲序列，其均值為0、方差為 σ2，p 是 AR 模型的階數(shù)，ap（i），i=1，2，…，p。AR 模型系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H（z）為：

由公式（1）和公式（2）可得到AR模型參數(shù)的功率譜估計計算公式：

AR模型的參數(shù)和x（n）自相關(guān)函數(shù)有如下的關(guān)系：

將上式寫成矩陣的形式：

式（5）為AR模型的正則方程，又稱尤拉-沃克（Yule-Walker）方程[12]。

1.2 AR模型參數(shù)估計的典型算法

1.2.1 自相關(guān)法

自相關(guān)法是AR模型參數(shù)估計中較為簡單的一種功率譜估計方法。按照模型階數(shù)由小到大的順序進(jìn)行計算，先計算階次 m=1 時的系數(shù) am（k）=a1（1）和，再計算 m=2 時的 a2（1），a2（2）和，按此方法依次計算到階次 m=p 時的 ap（1），ap（2），…，ap（p），及，當(dāng)?shù)木葷M足要求時即可停止。遞推公式為：

1.2.2 Burg算法

Burg算法進(jìn)行功率譜估計時其前后項序列誤差的前后都不加窗，使用Levinson-Durbin遞推可快速求解AR模型參數(shù)的系數(shù)。

Burg算法與自相關(guān)算法不同之處在于使序列x（n）的前后項功率預(yù)測誤差之和：

再根據(jù)Levinson-Durbin進(jìn)行遞推得出AR模型系數(shù)如下：

Burg算法不需先計算自相關(guān)函數(shù)進(jìn)而計算速度有所提高同時計算也相對簡單。與自相關(guān)算法相比分辨率也有所提高。但在處理白噪聲加正弦信號時功率譜線會出現(xiàn)分裂現(xiàn)象。

1.2.3 協(xié)方差算法

協(xié)方差算法與其他算法的不同之處在于預(yù)測誤差功率求和的上下限取值范圍不同。在協(xié)方差算法區(qū)間[0，N-1]外 x（n）樣本不為 0，故表達(dá)式中的 x（n-k）總是落在區(qū)間[0，N-1]中，因此預(yù)測誤差功率求和的上下限必然會落在[p，N-1]之間。得到的矩陣是半正定矩陣，且不具有Toeplitz性質(zhì)，故不能采用Levinson-Durbin遞歸算法進(jìn)行參數(shù)求解，同時得到的AR模型也不穩(wěn)定。

1.2.4 改進(jìn)協(xié)方差算法

采用改進(jìn)的協(xié)方差算法進(jìn)行功率譜估計時，為了使前后項功率誤差之和最小其前后項都不加窗，得到的協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，故不能用Levinson遞推算法對模型參數(shù)進(jìn)行求解。Marple在1980年提出了改進(jìn)協(xié)方差方程求解的快速算法，該算法能夠大大提高功率譜估計的性能。

1.3 用于功率譜估計的數(shù)據(jù)

文中采用由復(fù)數(shù)噪聲加上4個復(fù)正弦組成的數(shù)據(jù)對功率譜進(jìn)行估計。其中歸一化頻率分別是f1=0．15，f2=0．16，f3=0．252，f4=-0．16。 該數(shù)據(jù)的 128 點復(fù)序列如圖1所示。

圖1 功率譜估計數(shù)據(jù)

2 AR模型功率譜估計的MATLAB仿真

借助MATLAB對AR模型功率譜進(jìn)行估計時，上述4種算法分別采用pyulear函數(shù)、pburg函數(shù)、pcov函數(shù)和pmcov函數(shù)來完成功率譜估計。分別用這4個函數(shù)對圖1中的隨機(jī)序列進(jìn)行功率譜估計便可得到相應(yīng)的功率譜線。圖2～4是自相關(guān)算法得出的階次p分別為10，20和30時的AR模型功率譜曲線。

圖2 階次p=10時自相關(guān)算法功率譜估計

從圖2～4的功率譜估計圖形可以得出，在階次p較低時 （如圖2所示）功率譜估計的分辨率不理想。當(dāng)階次p提高到30時，在頻率f1和f2處兩個正弦信號剛好被分離開，在頻率f3和f4處也能夠分離出兩個正弦信號。在自相關(guān)算法中由于對序列的前后項加窗降低了分離效果，數(shù)據(jù)越短分離效果越不好。

圖3 階次p=20時自相關(guān)算法功率譜估計

圖4 階次p=30時自相關(guān)算法功率譜估計

圖5～圖6是Burg算法對隨機(jī)數(shù)列信號進(jìn)行功率譜估計時的功率譜曲線。

圖5 階次p=10時Burg算法功率譜估計

圖6 階次p=15時Burg算法功率譜估計

比較分析圖5和圖6可以得出在階次p=15時得到了較好的譜估計。另外對比圖4和圖5可以看到Burg算法的分辨率明顯優(yōu)于自相關(guān)算法，在階次較低時（如圖5所示）也能較好地分辨出間隔較小的頻率點。

圖7為階數(shù)p=10時協(xié)方差算法對隨機(jī)數(shù)列信號進(jìn)行估計得到的功率譜曲線。

圖7 階次p=10時協(xié)方差算法功率譜估計

從圖7可得出功率譜估計在信號源頻率f1=0．15，f2=0．16，f3=0．252，f4=-0．16 處功率譜線相對較窄，在其他頻率處功率譜線起伏劇烈。采用協(xié)方差算法對功率譜進(jìn)行估計能夠較真實地反映信號實際模型。

圖8～圖9是階數(shù)p=10和p=15時改進(jìn)的協(xié)方差算法得出的AR模型功率譜估計曲線。

圖8 階次p=10時改進(jìn)協(xié)方差算法功率譜估計

圖9 階次p=15時改進(jìn)協(xié)方差算法功率譜估計

比較圖7～圖9可以得出兩種協(xié)方差算法的功率譜估計大致相同，但改進(jìn)的協(xié)方差算法在信號頻率處的峰值更加尖銳、更加突出且更有利于辨識。分析圖8和圖9可以得出在階次較高時能得到非常滿意的功率譜估計曲線。

3 結(jié) 論

文中介紹了現(xiàn)代功率譜估計中AR模型參數(shù)的幾種功率譜估計算法。其中自相關(guān)算法需要對前項預(yù)測的誤差序列前后加窗，加窗降低了自相關(guān)算法的分辨率，數(shù)據(jù)越短分辨率越低。與自相關(guān)算法相比Burg算法有較好的分辨率，但有時會出現(xiàn)譜估計曲線分裂現(xiàn)象。改進(jìn)的協(xié)方差算法性能最好，但計算與編程都相對繁瑣。在對功率譜進(jìn)行估計時，需要依據(jù)實際數(shù)據(jù)序列選擇更合適的算法進(jìn)行功率譜估計。

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The realization of AR model power spectrum estimation based on MATLAB

LIU Ming-xiao1，WANG Xu-guang2
（1.Xi'an Railway Vocational&Technical Institute，Xi'an 710014，China； 2.Xi'an Aerospace Automation CO，.LTD.，Xi'an 710014，China）

Power spectrum estimation can be divided into modern spectral estimation and classical spectral estimation，it is an method for analyzing random signal.It describes the autocorrelation algorithm，Burg algorithm，covariance algorithm and improved covariance algorithm of AR model parameters in Modern Spectral Estimation，and their perform indicators are analyzed in this paper.These methods for AR model parameter algorithm are implemented by MATLAB，the results of simulation are analyzed and get a better spectrum estimation.Moreover，the advantages and disadvantages of these methods are discussed from the experimental view so as to make reasonable selection in practical work.

PSD estimation； AR model； algorithm；MATLAB

TN015

A

1674－6236（2017）17-0129-04

2016-07-23稿件編號：201607167

劉明曉（1987—），女，河南焦作人，碩士，助教。研究方向：電力系統(tǒng)及其自動化。