孫永梅，趙維，闞園園

(大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028)＊

0 引言

譜估計是數(shù)字信號處理的十分重要研究領域，人們先后提出了各種譜估計的理論和方法，MUSIC譜估計因其具有分辨率高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，在生物醫(yī)學工程、雷達、水聲信號等領域得到廣泛應用.MUSIC譜估計方法基本思想是直接對估計的隨機過程相關矩陣進行特征分解，分別生成信號子空間和噪聲子空間，利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，構造空間譜函數(shù)，從而進行譜峰搜索來估計信號頻率.傳統(tǒng)的MUSIC譜估計方法假定背景噪聲滿足高斯分布，并采用二階統(tǒng)計量方法處理，但在地球物理、雷達、水聲信號等領域中所涉及的噪聲，往往不滿足高斯分布且具有顯著的尖峰脈沖和較厚的拖尾.因此在此種情況下高斯分布模型不再適用，α穩(wěn)定分布模型卻能很好的描述這類伴有顯著尖峰脈沖和較厚拖尾的噪聲［1－5］.α 穩(wěn)定分布由于不存在二階及二階以上統(tǒng)計量，所以基于自相關矩陣特征分解的傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法已不再適用，需要研究適用于上述脈沖噪聲環(huán)境的新的譜估計方法.本文首先介紹了α穩(wěn)定分布信號的數(shù)學模型和傳統(tǒng)的MUSIC譜估計方法，然后依據(jù)α穩(wěn)定分布信號的特性，提出了兩種改進的MUSIC譜估計方法.

1 α穩(wěn)定分布模型

如果隨機變量X具有式(1)所示的特征函數(shù)，則隨機變量X服從穩(wěn)定分布.

式中，sgn(·)為符號函數(shù);α為特征指數(shù)0＜α≤2，α值越小表明分布的拖尾越厚，尖峰脈沖越顯著，α=2時滿足高斯分布;β為對稱參數(shù)－1≤β≤1，當β=0稱為對稱α穩(wěn)定分布(SαS);γ為分散系數(shù)γ≥0，類似高斯分布中的方差;a為位置參數(shù)，對于SαS分布當0＜α≤1時，a為中值;當1＜α≤2 時，a 為均值［2］.

2 傳統(tǒng)的MUSIC譜估計方法

假設信號x(n)是復正弦信號加白噪聲，為

式中，αk=|αk|ejφk和ωk分別表示信號的復幅度和角頻率.初始相位φk是在［0，2π］均勻分布的隨機變量，并且當i≠k時，φi和φk是相互獨立的;v(n)是均值為0、方差為的白噪聲，且與信號相互獨立.

定義信號向量

則由式(2)有

式中，

向量a(ω)、S(n)和V(n)分別定義為

向量X(n)的自相關矩陣為

式中，I是一個M×M維的單位矩陣;P是信號S(n)的自相關矩陣.

對R進行特征值分解，有

式中，US是由大特征值對應的特征向量張成的子空間，即是信號子空間，UN是由小特征值對應的特征向量張成的子空間，即是噪聲子空間.在理想條件下，信號頻率向量a(ωk)與噪聲子空間的特征向量正交，即

由噪聲子空間的向量構成矩陣

信號角頻率的估計可以由函數(shù)PMUSIC(ω)的K個峰值位置確定.

譜函數(shù)PMUSIC(ω)的峰值的位置反映了信號的頻率值，但是它并非信號的功率譜，一般將PMUSIC(ω)稱為 MUSIC 譜［6］.

3 改進的MUSIC譜估計方法

傳統(tǒng)MUSIC方法是通過對數(shù)據(jù)序列X(n)的自相關矩陣R進行特征分解，然后由譜函數(shù)的峰值位置搜索來進行譜估計.但是當X(n)是含有α穩(wěn)定分布噪聲的復正弦信號時，數(shù)據(jù)序列X(n)的自相關矩陣不存在，這種基于自相關矩陣分解的MUSIC譜估計方法在這種情況下則不再適用.

3.1 FLOC-MUSIC譜估計方法

由于α穩(wěn)定分布隨機變量不存在二階及二階以上的統(tǒng)計量，因此只能采用分數(shù)低階統(tǒng)計量對含有α穩(wěn)定分布的信號進行分析和處理.對于SαS分布隨機變量X和Y，滿足0＜α≤2，則X和Y的分數(shù)低階協(xié)方差(FLOC)定義［7］為

可以看出，分數(shù)低階協(xié)方差相當于對 x(n)和y(n)先進行非線性預處理，然后再計算互相關.

文獻［8］對上述非線性處理過程進行了數(shù)學證明，結論為:如果x(n)和y(n)為μ=0的SαS分布過程，則(x(n))＜A＞和(y(n))＜A＞是滿足零均值概率密度函數(shù)的對稱分布，且當式(13)中的約束條件滿足時具有有限的二階矩.

本文依據(jù)α穩(wěn)定分布信號的特性，利用分數(shù)低階協(xié)方差代替MUSIC譜估計方法中的相關，可以得到一種改進的MUSIC譜估計方法(FLOC－MUSIC).下面給出FLOC－MUSIC譜估計方法步驟:

步驟1 由X(n)的N個觀測樣本，先對其進行如式(14)的非線性變換得到C(n)，然后構造數(shù)據(jù)序列C(n)的自相關矩陣RCC.

步驟2 對RCC進行特征值分解，得到M－K個最小特征值對應的特征向量，得到噪聲子空間的向量，根據(jù)式(10)構造矩陣G.

步驟3 定義信號向量a(ω)=［1e－jωi…e－j(K－1)ωi］T，i=1，2，…，M，利用式(12)進行譜估計，峰值位置就是待求復正弦信號的頻率.

3.2 FLOC-ROOT-MUSIC譜估計方法

對于長序列信號源，傳統(tǒng)的MUSIC譜估計方法能很好進行頻率估計，但當信號源是短序列時，傳統(tǒng)的MUSIC譜估計方法性能退化.求根MUSIC譜估計方法將MUSIC方法轉化為一種多項式求根形式，能對短序列信號源進行很好地估計［6］.

定義向量a(z)為

當z=ejω時，向量a(z)是頻率為ω的信號頻率向量.定義多項式

利用噪聲子空間的向量構成矩陣G，式(17)可以表示為

由(17)可 知 zk=ejωk，k=1，…，K 是 方 程PROOT－MUSIC(z)=0的根.由于與復正弦信號頻率有關的K個根zk=ejωk，k=1，…，K都位于單位圓|z|=1上，單位圓上的復數(shù)z=ejω應滿足z*=z－1，所以有

將式(19)代入式(18)，得到修正方程

于是信號頻率估計問題轉化為一元高次方程求根問題，這種方法稱為ROOT－MUSIC譜估計方法.

若信號源含有α穩(wěn)定分布噪聲，由于信號的自相關矩陣不存在，上述ROOT－MUSIC譜估計方法同樣會出現(xiàn)退化現(xiàn)象.利用分數(shù)低階協(xié)方差代替ROOT－MUSIC譜估計方法中的自相關，可以得到另一種改進的譜估計方法(FLOC－ROOTMUSIC).下面給出 FLOC－ROOT－MUSIC 譜估計方法步驟:

步驟1 由X(n)的N個觀測樣本，先對其進行如式(14)的非線性變換得到C(n)，然后如式(15)構造數(shù)據(jù)序列C(n)的自相關矩陣RCC.

步驟2 對RCC進行特征值分解，得到M－K個最小特征值對應的特征向量，得到噪聲子空間的向量，根據(jù)式(10)構造矩陣G.

步驟3 求解式(20)，找出最接近單位圓的K個根，這些根的相位就是信號頻率的估計.

4 仿真分析

設v(n)為服從α穩(wěn)定分布噪聲序列，信號

L為歸一化頻率.觀測序列為

X(n)=A*S(n)+V(n)，其中A為M×K維矩陣，對帶α穩(wěn)定分布噪聲的信號分別用傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法和本文提出的改進MUSIC譜估計方法進行頻率估計，并比較三種方法的性能.信號歸一化頻率fi=，其中f1=0.1，f2=0.2，M=10.

4.1 高斯噪聲和α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下三種算法的性能比較

采樣信號長度L=2 000，設定混合信噪比MSNR=0 dB，α分別設定為2、1.2，獨立運行20次結果.仿真結果分別如圖1～圖3所示.

圖1 傳統(tǒng)MUSIC譜估計結果

圖2 FLOC-MUSIC譜估計結果

圖3 FLOC-ROOT-MUSIC譜估計結果

從圖1～圖3中可以看出，當α=2時傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法、FLOC－MUSIC譜估計方法及FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法都能很好進行頻率估計;但當α=1.2時，由于不滿足高斯分布，傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法不再適用估計性能嚴重退化，而 FLOC－MUSIC譜估計方法及 FLOCROOT－MUSIC譜估計方法仍能很好進行頻率估計.

4.2 不同混合信噪比下三種算法的性能比較

采樣信號長度L=2000，設定α =1.2，混合信噪比MSNR 分別設定為 －10、－5、0、5 和10 dB，獨立運行20次，計算每種方法的均值和標準差.仿真結果如表1所示.

表1 不同信噪比下三種算法的均值和標準差比較

由表1可以看出，由于α=1.2，不滿足高斯分布，所以基于相關矩陣分解的傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法的估計效果很差，而FLOC－MUSIC譜估計方法及FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法能對于不同混合信噪比下的帶噪信號進行有效的頻率估計，混合信噪比越大，估計的均值越接近于真實值.

4.3 不同α值下三種算法的性能比較

采樣信號長度L=2 000，設定MSNR=0 dB，分別設定 α 為0.8、1.1、1.4、1.7、和 2，獨立運行20次結果，計算每種方法的均值和標準差.仿真結果如表2所示.

由表2可以看出，當α=2時，傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法和FLOC－MUSIC譜估計方法及 FLOCROOT－MUSIC譜估計方法均能很好的進行頻率估計.但是當α＜2時，傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法估計性能變差，而 FLOC－MUSIC譜估計方法及FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法仍能很好的進行頻率估計.

表2 不同α值時三種算法的均值和標準差比較

4.4 不同信號長度時 FLOC-MUSIC算法和FLOC-ROOT-MUSIC算法性能比較

設定MSNR=0 dB、α =1.1時，分別取采樣信號長度L=2 000和L=200，采用FLOC－MUSIC譜估計方法及FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法進行頻率估計，獨立運行20次結果，計算每種方法的均值和標準差.仿真結果如表3、表4所示.

由表3、表4可以看出，對于長序列的信號源，F(xiàn)LOC－MUSIC 譜估計方法及 FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法均能很好的進行信號頻率估計;對于短序列，當混合信噪比較低時，F(xiàn)LOC－ROOTMUSIC譜估計方法的性能明顯好于FLOC－MUSIC譜估計方法.

表3 α=1.1、L=2 000時不同MSNR的仿真結果

表4 α=1.1、L=200時不同MSNR的仿真結果

5 結論

由于不存在二階統(tǒng)計量，所以在脈沖噪聲環(huán)境下，傳統(tǒng)MUSIC譜估計方法效果變差，本文利用分數(shù)低階統(tǒng)計量的處理方法，對帶噪信號進行了非線性處理，提出了改進的MUSIC譜估計方法.仿真結果表明，F(xiàn)LOC－MUSIC譜估計方法和FLOC－ROOT－MUSIC譜估計方法在高斯噪聲和脈沖分布噪聲環(huán)境下均具有良好的性能.對于帶有α穩(wěn)定分布噪聲的短序列，當混合信噪比較低時，F(xiàn)LOC－ROOT－MUSIC譜估計方法的性能明顯優(yōu)于FLOC－MUSIC譜估計方法.

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