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        數(shù)學(xué)文化之中國古代對等差數(shù)列的研究

        2020-05-28 09:36:06張國林邵書靜
        關(guān)鍵詞:駑馬良馬九章算術(shù)

        張國林 邵書靜

        中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)列知識早有研究,如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張邱建算經(jīng)》等書中,都記載了許多有趣的數(shù)列問題.本文選取幾個(gè)古老的數(shù)列問題,編寫介紹如下,供同學(xué)們研究思考.

        例1 今有金棰,長五尺.斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?(選自《九章算術(shù)》)

        【譯文】今有一錐狀金鞭,全長5尺,截根部1尺,重4斤,截頂部1尺,重2斤.由末到本一尺一尺截取,依次各重多少?

        【解析】由題可知,由末到本,每尺的重量成等差數(shù)列.設(shè)首項(xiàng)a1=2,末項(xiàng)a5=4,項(xiàng)數(shù)n=5,設(shè)公差為d.由an=a1+(n-1)d.解得d=12.所以,a2=212,a3=3,a4=312.

        故頂部1尺重2斤,下1尺重2斤8兩,再下1尺重3斤,再下1尺重3斤8兩,根部1尺重4斤.

        值得注意的是,魏晉時(shí)代的大數(shù)學(xué)家劉徽在其注中說:“令本末相減,余,即四差之凡數(shù)也.”這就是an=a1=(n-1)d.這在中國數(shù)學(xué)史上是一個(gè)很大的創(chuàng)造.

        例2 今有女不善織,日減功遲.初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖,問織幾何?(選自《張丘建算經(jīng)》)

        【譯文】今有女子不善織布,每天織布以同數(shù)遞減,開始每天織5尺,最后一天織1尺,共織布30天,問共織布多少?

        此題是等差數(shù)列求和問題.張丘建的解法為:“并初末日織尺數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得.”即為Sn=n(a1+an)2.這與高斯算法有異曲同工之妙,而張丘建比高斯早了近1500年!這充分說明古代中國在數(shù)學(xué)方面的研究起步早,挖掘深,研究廣.

        例3 今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增十三里.駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬.問幾何日相逢及各行幾何?(選自《九章算術(shù)》)

        【譯文】有良馬和劣馬各一匹,都從長安出發(fā)到齊,兩地相距3000里.良馬第一日走193里,以后每天比前一天加速13里,劣馬第一天走97里,以后每天比前天減速12里.良馬先到齊后,立刻返回迎接劣馬,問良馬和劣馬幾天相遇,各走了多少里?

        【解析】由題知,良馬與劣馬每日的行程均成等差數(shù)列.設(shè)良馬第一日的行程為a1=193里,公差為d1=13里;劣馬第一日的行程為b1=97里,公差為d2=-0.5里.利用公式Sn=na1+n(n-1)d2(劉徽在注解中已經(jīng)指明了這個(gè)公式)求良馬和劣馬的行程.

        良馬15日行程:15×193+15×(15-1)×132=4260(里);劣馬15日行程:15×97+15×(15-1)×(-0.5)2=1402.5(里).不足:6000-4260-1402.5=337.5(里).

        良馬16日行程:16×193+16×(16-1)×132=4648(里);劣馬16日行程:16×97+16×(16-1)×(-0.5)2=1492(里).盈余:4648+1492-6000=140(里).現(xiàn)只需求15日后兩馬相遇的時(shí)間即可,這時(shí),兩馬的距離是337.5里,用等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,可求:良馬第16日的速度是193+15×13=388(里∕日),劣馬第16日的速度是97+15×(-0.5)=89.5(里∕日).二馬的速度和是388+89.5=477.5(里∕日).故二馬在第16日相遇的時(shí)間337.5477.5=135191日,總計(jì),二馬相遇時(shí)間為15135191日;良馬行程為:4260+388×135191=453446191里;劣馬的行程:1402.5+89.5×135191=1465145191里.

        總之,中國古代數(shù)學(xué)家對等差數(shù)列做過廣泛、深入的研究,適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)文化知識,也符合新課程的教育理念,能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

        注:本文系2019年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《數(shù)學(xué)文化在高中課堂教學(xué)中的滲透案例研究》(JCJYC19030548)研究成果.

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