付堯春 迭東

摘 要

本文通過(guò)施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題理論為切入點(diǎn)，將數(shù)學(xué)物理方法中的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分以及特殊函數(shù)僅僅作為其理論應(yīng)用的特殊實(shí)例展開(kāi)教學(xué)，為探索數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)改革提供一種參考模式。

關(guān)鍵詞

S-L方程;完備函數(shù)系;級(jí)數(shù)展開(kāi);教法

中圖分類號(hào)： ?G642;O411.1-4 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.07.029

0 引言

數(shù)學(xué)物理方法是以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討各種物理現(xiàn)象和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，利用已知的物理定律和物理原理對(duì)未知物理現(xiàn)象和規(guī)律在可以容許的界限內(nèi)作出精確的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的數(shù)學(xué)問(wèn)題給出或者研究出數(shù)學(xué)解法，最后，再依據(jù)其給出的數(shù)學(xué)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象或規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，有可能實(shí)際情況與理論有一定出入，這就需要進(jìn)一步根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正初始模型。二階偏微分方程是數(shù)學(xué)物理方法的重要組成部分，是核心，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)和物理學(xué)的交叉領(lǐng)域，有許多數(shù)學(xué)物理方法方面的教材常常將經(jīng)典力學(xué)、電磁場(chǎng)理論、熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的幾個(gè)常見(jiàn)物理方程歸集到一起加以系統(tǒng)的研究，如蘇聯(lián)物理數(shù)學(xué)家阿諾爾德著作《經(jīng)典力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》（1974），這也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方法作為一門物理學(xué)專業(yè)的必修課其地位十分重要，是學(xué)生能否順利進(jìn)入下一階段學(xué)習(xí)其他后續(xù)課程的關(guān)鍵，但是，由于授課時(shí)數(shù)、學(xué)生生源質(zhì)量的參差不齊的限制，加之這門課程本身的學(xué)習(xí)需要具有一定的數(shù)學(xué)背景知識(shí)，所以，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中有不少學(xué)生對(duì)這門課程有著畏懼情緒，在課堂中，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)由于缺乏扎實(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)而表現(xiàn)出不知所措的現(xiàn)象。在目前物理方程的教學(xué)中，幾乎所有的教材都將不同邊界、初始條件的方程放在不同章節(jié)分別加以講授，但是這就大大地增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的壓力，分散了學(xué)生的關(guān)注焦點(diǎn)，極大地影響了對(duì)問(wèn)題透過(guò)全局的理解和把握。本文結(jié)合自己多年從事數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劰P者在這門課程教學(xué)中處理以上情況的心得和方法。

1 施圖姆-劉維爾方程本征值問(wèn)題-理解其他章節(jié)內(nèi)容關(guān)鍵

教學(xué)理論告訴我們，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)經(jīng)歷決定了他們一般都不太適應(yīng)抽象的理論而更加喜歡具體的實(shí)例，但這不僅要耗費(fèi)大量的授課時(shí)間，還需要學(xué)生具備大量的數(shù)學(xué)背景知識(shí)——而這正是大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題，由于受限于授課時(shí)數(shù)太少（遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于正常要求授課時(shí)數(shù)的）無(wú)法在短時(shí)間里給學(xué)生們補(bǔ)短，筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)活動(dòng)中，積極探索啟用靈活的反向教學(xué)原則：理論——實(shí)踐;抽象——具體。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，隨著施圖姆-劉維爾本征值理論不斷地在大量的帶邊界條件的物理方程問(wèn)題中的應(yīng)用實(shí)例的增多，學(xué)生對(duì)S-L理論有了進(jìn)一步理解，可以應(yīng)用S-L理論解決一些常見(jiàn)的方程求解問(wèn)題。

2 S-L本征值問(wèn)題理論應(yīng)用

數(shù)學(xué)物理方法中，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分以及后面的特殊函數(shù)都是解決數(shù)學(xué)物理方程的十分有力的工具，這些內(nèi)容也是教材《數(shù)學(xué)物理方法》里的幾個(gè)大章節(jié)，但由于某些特殊原因講授課時(shí)數(shù)被大幅縮減，為了使學(xué)生很好地掌握傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)理論及特殊函數(shù)知識(shí)，在具體的實(shí)例中理解消化抽象生澀S-L理論，筆者僅僅將這些章節(jié)內(nèi)容作為運(yùn)用S-L理論解決問(wèn)題的一個(gè)練習(xí)題而已，由這些具體實(shí)例進(jìn)一步說(shuō)明：傅里葉級(jí)數(shù)基礎(chǔ)函數(shù)系、傅里葉積分基礎(chǔ)函數(shù)系、特殊函數(shù)等都可以用S-L本征值問(wèn)題的解函數(shù)——具有完備正交性質(zhì)本征函數(shù)定義。

2.1 生成-復(fù)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的完備正交系

由于篇幅限制就不一一羅列了，許多常見(jiàn)的重要的特殊函數(shù)都可以用S-L本征值問(wèn)題加以定義，都可以表述為這種具有解析系數(shù)的線性微分方程解。

3 結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)中，作者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，試圖探索一條行之有效的教法，既能保證在較短時(shí)間里完成教學(xué)任務(wù)，又要盡量避開(kāi)學(xué)習(xí)過(guò)程中需要的大量數(shù)學(xué)背景知識(shí)，同時(shí)還要保證學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握，以施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題為基本線索將《數(shù)學(xué)物理方法》的幾個(gè)部分穿起來(lái)講授就是一次嘗試，當(dāng)然，一門高難度課程的學(xué)習(xí)僅僅靠教法的改進(jìn)是不行的，學(xué)習(xí)效果受多種因素的影響，比如課堂、課后練習(xí)就是影響效果的決定因素。如何將課堂、課后作業(yè)練習(xí)與課堂教學(xué)有機(jī)結(jié)合，從而達(dá)到事半功倍的效果是筆者今后教學(xué)改革的重點(diǎn)方向。

參考文獻(xiàn)

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[2]邵恵民.數(shù)學(xué)物理方法[M].科學(xué)出版社，2004.