徐沖 劉燁燁

摘要：本文從學(xué)生立體幾何空間想象能力及作圖能力的培養(yǎng)，特殊幾何模型的應(yīng)用，立體幾何與古代文化三個方面闡述在2021屆新高考形勢下立體幾何的一些教學(xué)策略與感悟。

關(guān)鍵詞：立體幾何;策略;感悟

一、空間想想象能力以及作圈能力的培養(yǎng)

立體幾何的知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)要求學(xué)生必須具備一定的空間想象能力以及作圖能力，否則不可能真正地學(xué)好和應(yīng)用這部分知識，許多高中生對立體幾何這一章節(jié)“望而卻步”，最根本的原因就是缺乏空間想象能力以及作圖能力。立體幾何最開始的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，先讓學(xué)生了解各種空間幾何體，直觀地感受立體圖形，在接觸足夠多的立體圖形后再深入探究空間幾何體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，探究其中點(diǎn)，線，面的關(guān)系。教師應(yīng)遵循從整體了解空間幾何體到局部探究各幾何體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也要遵循從具體實(shí)物到抽象幾何關(guān)系的原則。在立體幾何的教學(xué)過程中教師應(yīng)該向?qū)W生提供豐富的實(shí)物模型或利用幾何畫板，利用GGB等多媒體軟件向?qū)W生展示空間幾何體，這樣可以幫助學(xué)生非常直觀、方便地認(rèn)識空間幾何體的圖形結(jié)構(gòu)特征，為學(xué)生深入學(xué)習(xí)圖形點(diǎn)線面的幾何性質(zhì)提供依據(jù)，強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)習(xí)的直觀性，經(jīng)歷這樣的過程也有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，同時有助于培養(yǎng)學(xué)生在平面上作空間圖形的能力。新課程標(biāo)準(zhǔn)中給了這樣一個案例：正方體截面的探究情境：如果我們用一個平面去截切一個正方體，那么所得的截面的形狀將會是什么樣的？我們可以先對剖面進(jìn)行分類，可以找到一種方法來切出這些剖面，并描繪這些剖面的演示圖。比方說，可以根據(jù)橫截面圖中的邊數(shù)來分。

1.如果正方體被截得的截面是三角形，能夠截切出多少個不同的三角形？

2.如果截面是四邊形，能夠截切出多少不同的四邊形？

3.能否截出五邊形，六邊形？

4.可以超過六邊形嗎？

5.截面面積最大的三角形是什么形狀的三角形？

引用課標(biāo)分析：“可以通過切割正方體白蘿卜啟發(fā)思考進(jìn)行觀察白蘿卜的截面，或者使用橡皮泥做模型;也可以在透明的立方體小箱中注入彩色水，觀察水箱不停變換位置時液體表面的形狀，同時加入不同水量時觀察表面的形狀;我們還可以借助ggb，幾何畫板等多謀體技術(shù)直觀、快捷地展示各種可能出現(xiàn)的截切面。這樣一個展示的過程是先給學(xué)生一些直觀的感受，學(xué)生一旦有了這些直觀感，就可以做出大膽而合理的猜想，然后嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明結(jié)論。經(jīng)歷這樣逐漸深入，由淺入深，由直觀感受到抽象概括的探究過程有助于學(xué)生在具體情境中提升直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等素養(yǎng)，從而積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗(yàn)。

感悟：新課標(biāo)，新高考將學(xué)生的空間想象力的培養(yǎng)放在十分重要的位置，在平時的教學(xué)過程中教師可以借助各種實(shí)物，多媒體等工具幫助學(xué)生從直觀感受開始建立學(xué)生的空間想象力和空間作圖能力。

二、立體幾何與古代文化

2017年全國高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)第一次明確提出在高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)文化的知識。近年來高考真題卷和模擬卷經(jīng)常出現(xiàn)以經(jīng)典的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》為參考背景的題目，其中2019由國家命題中心命題的山東高三數(shù)學(xué)模擬卷中也有類似題型。將知識、方法和文化與數(shù)學(xué)結(jié)合起來，并深層次地考慮到學(xué)生對新環(huán)境，新情境下的知識的理解以及他們將知識在不同的情境背景下的遷移能力。教師教授立體幾何這一章節(jié)時應(yīng)做好這方面的融合工作。這里有一些具體的例子，教學(xué)過程中可以引用。

例1.斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一，并為中國所特有.圖一圖二是斗拱實(shí)物圖，圖三是斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體.本圖中的斗是由棱臺與長方體形凹槽（長方體去掉一個小長方體）組成.若棱臺兩底面面積分別是400cm²，900cm²，高為9cm，長方體形凹櫓的體積為4300cm3，那么這個斗的體積是（）。

A.5700cm³B.8100cm³C.10000cm³D.9000cm³

點(diǎn)評：本題以古代建筑為背景，由現(xiàn)實(shí)情境抽象出數(shù)學(xué)問題，考察學(xué)生在新情境下處理數(shù)學(xué)問題的能力。

例2.魯班鎖是我們古代的益智玩具，是漢代第一次在所謂的建筑結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的榫卯結(jié)構(gòu)。從外面看，這是一個完全對稱的立體圖形。從外部來看，六個等長的長方體被分為三組，兩兩垂直。在圖中，如果長方體的高度是8，而底部的方形的邊長是2，則將魯班鎖現(xiàn)在放在球形容器中，球容器的最小表面面積是（ ）（容器壁厚度可不計(jì)算在內(nèi)）。

A.21π B.40π C.41π D.84π

點(diǎn)評：本題以古代工具魯班鎖為背景，考察球體表面積問題。新情境蘊(yùn)含老問題。

例3.中國古代建筑用榫頭，卯眼連接木構(gòu)件。如下圖有凸出部分的稱之為榫頭，相對應(yīng)的帶有凹進(jìn)部分的叫卯眼，則下圖的木質(zhì)結(jié)構(gòu)可以結(jié)合成一個長方體的卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（ ）。

點(diǎn)評：以古代建筑為背景，考察了學(xué)生的空間想象能力

A.1 B.2 C.3 D.4

點(diǎn)評：試題以《九章算術(shù)》中研究立體幾何所用的兩個特殊椎體（陽馬，鱉懦）為背景，給予新定義，增添了試題的新穎性。但其實(shí)質(zhì)仍然考察了線面垂直，面面垂直等基本幾何問題。

感悟：以上例題通過古典建筑，榫卯結(jié)構(gòu)，陽馬，鱉臑，印信等有關(guān)古代文化的物體作為背景，通過現(xiàn)賣情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，在文化中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)中體會中國文化。

三、巧妙使用長方體模型

長方體是特殊的六面體，是眾多幾何體的基本結(jié)構(gòu)，其特殊性在于其擁有非常好的對稱性，各點(diǎn)、線、面元素之間具有相等，平行，垂直等特殊的數(shù)量和位置關(guān)系，內(nèi)涵豐富，是研究線面關(guān)系，線線關(guān)系，面面關(guān)系特殊幾何體的一個重要載體。在處理某些復(fù)雜立體幾何問題時，若能根據(jù)題意合理、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出長方體模型，則可化繁為簡，化難為易，巧妙地將題目解出，收到事半功倍的效果。

例1：正四面體的邊長為2，則其外接球的體積為__。

點(diǎn)評：將正四面體放入正方體體中，此時比較困難的四面體的外接球問題就轉(zhuǎn)化為正方體外接球問題了。起到了化繁為簡的目的。

例2.是正方形平面，，則與所成角的度數(shù)是__。

點(diǎn)評：按照題目要求，構(gòu)造下圖的正方體，題目迎刃而解。

例3.正四面體S-ABC，如果E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角為__。

點(diǎn)評：此題看似復(fù)雜，但只要將四面體放入下圖的正方體中，即可化難為易。

例4.如果四面體的每一個面均是邊長為的全等三角形，那么這個四面體的體積是__。

評論：這個四棱錐的對邊是相等的，因此可以把六條邊作為六個面的對角線來構(gòu)造一個長方體，四面體的體積問題可以轉(zhuǎn)化為長方體的體積問題。

例5.正四面體中，是的中點(diǎn)，是棱上的一動點(diǎn)，的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為__。

點(diǎn)評：構(gòu)造下圖的正方體，建立空間直角坐標(biāo)系會非常輕松解決這道題目。

感悟：亂花漸欲迷人眼，有時很多復(fù)雜的幾何體讓我們無從下手，但靜下心去看出它本質(zhì)的出處，會發(fā)現(xiàn)很多都源于長方體中，所以利用好長方體模型將會為我們的解題帶來很大的方便。

四、結(jié)語

立體幾何中存在的教學(xué)內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，并且對學(xué)生未來發(fā)展具有重要意義。所以我們在教學(xué)中應(yīng)盡力激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、作圖能力，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)工作奠定基礎(chǔ)。