李偉帥

(山東省青島膠州市第八中學(xué) 266300)

一、引言

平面幾何作為數(shù)學(xué)王國(guó)中重要的一部分，研究者眾多，很多有名的數(shù)學(xué)家，大學(xué)教授和學(xué)者都研究過(guò)平面幾何.但關(guān)于平面幾何名題方面研究得較少，我查資料所得到的結(jié)果為：中國(guó)學(xué)者高希堯著《世界數(shù)學(xué)歷史名題一百例》，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)杜錫錄著《平面幾何中的名題及其妙解》等.

縱觀其研究，大部分學(xué)者都是研究古今數(shù)學(xué)名題供人們閱讀或參考，但突出其妙解的材料并不是很多.所以我這次特對(duì)部分古今中外平面幾何中有名的題目進(jìn)行巧妙解法的探索，以提高探索解題方法，解題能力，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)思維的巧妙之處，激發(fā)同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

二、兩個(gè)名題及其妙解

1.哥尼斯堡七橋問(wèn)題

哥尼斯堡鎮(zhèn)有一座小島，一條名叫普雷格爾的小河分兩支流進(jìn)小鎮(zhèn)，從小島兩旁流過(guò)，然后匯成一支流出小鎮(zhèn)，如圖1所示.圖中D表示小島A，B，C表示鎮(zhèn)中三塊陸地.在小島D和陸地A之間有兩座小橋，這兩座小橋用a，b表示；在小島D和陸地B之間有兩座小橋，這兩座小橋用c，d表示；在小島D和陸地C之間有一座小橋，用e表示；在陸地A和陸地C之間有一座小橋，用f表示；在陸地B和陸地C之間有一座小橋，用g表示.問(wèn)題是：能否一次通過(guò)全部的七座橋，而每座橋只走一次？

歐拉對(duì)哥尼斯堡七橋問(wèn)題做了詳細(xì)的研究，于1736年發(fā)表了題為《與位置幾何有關(guān)的一個(gè)問(wèn)題的解》的文章.文章中它給出了判斷可能不可能把所有的橋走一次的簡(jiǎn)單法則：

如果有奇數(shù)座橋通過(guò)的地方不止兩個(gè)，滿(mǎn)足要求的路線是找不到的；

如果有奇數(shù)座橋通過(guò)的地方只有兩個(gè)，滿(mǎn)足要求的路線是可以找到的，不過(guò)必須從這兩座有奇數(shù)座橋可通過(guò)的地方之一出發(fā)，最后從另一座有奇數(shù)座橋通過(guò)的地方結(jié)束；

如果沒(méi)有一個(gè)地方是有奇數(shù)座橋通過(guò)，滿(mǎn)足要求的路線可以找到，并且可以從任何一座橋出發(fā).

按照歐拉給出的法則，不難知道要想一次通過(guò)哥尼斯堡鎮(zhèn)的所有七座橋，而每座橋只走一次是不可能的.如果把七橋問(wèn)題抽象出來(lái)，其實(shí)它就是一個(gè)筆畫(huà)問(wèn)題.事實(shí)上，由于不關(guān)心小島和陸地的漫記大小，所以可以把它們看做點(diǎn)，而對(duì)于橋，由于不關(guān)心其長(zhǎng)度、寬窄大小，可以把橋看做一段曲線.所以問(wèn)題就成為：有四個(gè)點(diǎn)A，B，C,D,連接D，A有兩條線段，連接D，B有兩條線段，連接D，C有一條線段，連接C，A有一條線段，連接C，B有一條線段，如圖2所示.

問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為能否一筆畫(huà)畫(huà)出這個(gè)圖，每條線段只畫(huà)一次，而且在畫(huà)時(shí)筆不允許抬起來(lái)離開(kāi)紙.

把所有奇數(shù)條線段通過(guò)的點(diǎn)叫做奇數(shù)點(diǎn)；偶數(shù)條線段通過(guò)的點(diǎn)叫做偶數(shù)點(diǎn).例如在圖2中，通過(guò)點(diǎn)A的線段有3條，通過(guò)點(diǎn)B的線段有3條，通過(guò)點(diǎn)C的線段有3條，通過(guò)點(diǎn)D的線段有5條，所以它們都是奇數(shù)點(diǎn).

判斷可能不可能一筆畫(huà)的最簡(jiǎn)單法則為：

如果奇數(shù)點(diǎn)多于2個(gè)，則不可能一筆畫(huà)出來(lái);如果奇數(shù)點(diǎn)共有2個(gè)，則可以一筆畫(huà)出來(lái)，而且必須從一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)起筆，從另一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)止筆；如果沒(méi)有奇數(shù)點(diǎn)，全部是偶數(shù)點(diǎn)，則一定可以一筆畫(huà)出來(lái)，可以從任何一個(gè)點(diǎn)起筆，從另外的任何一個(gè)點(diǎn)止筆.

2.費(fèi)馬點(diǎn)

費(fèi)馬是法國(guó)數(shù)學(xué)家,1601年8月20日生于圖盧斯附近的波蒙特，1665年1月12日卒于卡斯特爾.費(fèi)馬是解析幾何的兩個(gè)發(fā)明者之一.在笛卡兒的《幾何學(xué)》發(fā)表之前，他在1629年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.費(fèi)馬被譽(yù)為近代數(shù)論之父,他提出了“費(fèi)馬大定理”，之后三百多年，最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都未能給出一般性的證明,直到1994年“費(fèi)馬大定理”才被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯給出了嚴(yán)格證明.

費(fèi)馬點(diǎn)已知△ABC，找一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最小(圖3)，這個(gè)點(diǎn)P稱(chēng)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

下面給出的一個(gè)簡(jiǎn)明的解法是巴克納給出的,我們就銳角三角形的情況討論.

證明P是銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn).把△ACP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，得△AC′P′,使AC在AC′和AB之間.

∴△APP′是等邊三角形，∴PP′=PA,P′C′=PC.

∴PA+PB+PC=PB+PP′+P′C′.

∵AC′=AC, ∠C′AC=60°，∴C′是一定點(diǎn).

∴當(dāng)P點(diǎn)在BC′上時(shí)，才有BC′=PA+PB+PC為最小.

∵∠APC′=60°,∴∠APB=120°，同樣可知，當(dāng)∠APC=∠BPC=120°時(shí)，PA+PB+PC為最小.