曾喬

摘? 要：留數(shù)定理作為復(fù)變函數(shù)中留數(shù)理論的重要定理之一，其定理在實(shí)際生活中得到廣泛的應(yīng)用.尤其是當(dāng)某些定積分被積函數(shù)的原函數(shù)不容易給出時(shí)，利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算這些比較困難的定積分是解決定積分的求解問(wèn)題上的一個(gè)有效方法，文章就怎樣利用留數(shù)定理求某幾種特殊情形的定積分的值做以下闡述。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù);留數(shù)定理;積分計(jì)算

中圖分類號(hào)：O174.5? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）11-0175-02

Abstract： As one of the important theorems of residue theory in complex function， residue theorem has been widely used in real life. Especially when the original functions of some integral functions are not easy to be given， using the residue theorem to calculate these difficult definite integrals is an effective method to solve the problem of definite integrals. This paper expounds how to use the residue theorem to calculate the value of definite integral in some special cases.

Keywords： complex function; residue theorem; integral calculation

在解決工程技術(shù)中的一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)通常會(huì)遇到求解一些實(shí)積分，尤其是計(jì)算積分區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分或反常。例如，在光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分x2dxdx;熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算cosbxdx;阻尼問(wèn)題中需要計(jì)算;傅里葉變化法求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題的偏微分方程時(shí)將遇到的osbxdx（a>0，b為任意實(shí)數(shù)）積分計(jì)算等。這些實(shí)變函數(shù)的積分所具有的特點(diǎn)是被積函數(shù)的原函數(shù)通常不好直接給出，需要應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的一些特殊的積分手段才能求解，從而通常所應(yīng)用的牛頓-萊布尼茨公式就不能得以應(yīng)用，這就不易于我們對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的討論，這時(shí)就得利用復(fù)變函數(shù)這門課程的相關(guān)內(nèi)容。

留數(shù)定理作為復(fù)變函數(shù)中留數(shù)理論的重要定理之一，復(fù)積分里的Cauchy-Goursat定理、柯西積分公式及其高階導(dǎo)數(shù)公式都作為它的特殊情形，同時(shí)留數(shù)定理也是將復(fù)積分與洛朗級(jí)數(shù)相結(jié)合應(yīng)用后的結(jié)果。留數(shù)定理的主要應(yīng)用體現(xiàn)在可以把積分路徑為封閉光滑曲線的復(fù)積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和，但在這之前必須得正確理解孤立奇點(diǎn)的概念、孤立奇點(diǎn)的幾種類型以及函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念。因此掌握留數(shù)的計(jì)算法，特別是極點(diǎn)處留數(shù)的求法是應(yīng)用留數(shù)定理的重點(diǎn)，也是實(shí)際中求解一些特殊實(shí)變函數(shù)積分的關(guān)鍵點(diǎn)。不僅如此，應(yīng)用留數(shù)定理還能計(jì)算一些不易求得的廣義積分與反常積分，這些特殊積分可以用留數(shù)理論分類后做統(tǒng)一處理。所以留數(shù)定理在作理論探討和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義。

如何利用留數(shù)定理求解三種類型的實(shí)積mxdx等幾種類型的積分，整體思路是將實(shí)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)換成復(fù)變函數(shù)沿著某條封閉光滑路線的積分，所以就得設(shè)法把沿區(qū)間的積分換為沿封閉路線的積分，通常所采用的方法：一是先找一個(gè)與所求的被積函數(shù)f（x）密切相關(guān)的復(fù)變函數(shù)F（z），使得當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí)有F（z）就是f（x），或者F（z）的實(shí)部或者虛部中有一個(gè)是f（x）;二是找出一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線，使與區(qū)間一起構(gòu)成封閉曲線。

1 留數(shù)的定義與計(jì)算

定義1[1]? 設(shè)a（a≠∞）是函數(shù)f（z）的孤立奇點(diǎn)，若函數(shù)

f（z）在0<|z-a|

2 留數(shù)定理[1]

設(shè)D是復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡(jiǎn)單閉曲線C。設(shè)f（z）在D內(nèi)除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1，z2，…，zn外，在每一點(diǎn)都解析，并且它 計(jì)算（cos？茲，sin？茲）d？茲型積分

若有z=ei？茲，則d？茲由歐拉公式得

當(dāng)？茲從0變化到2？仔時(shí)，z沿單位圓周正方向繞行一周，因此有以下的計(jì)算積分公式：

例1 計(jì)算積分I

解：令z=ei？茲，則d？茲（z）=？漬（a）可知

3.2 計(jì)算dx型積分

定理1[2]? 設(shè)f（z）=為有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0），與Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）為互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合條件：（1）n-m？叟2;（2）在實(shí)軸上Q（z）≠0;于是有

例2 設(shè)a>0，計(jì)算積分

解 設(shè)f（z）=因?yàn)?/p>

所以

例3 求積分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的值

解 因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理1知道

3.3 計(jì)算? ? ? ? ? ? ? 型積分

定理2[3] 設(shè)g（z），其中P（z）及Q（z）是互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合條件：

（1）Q（z）的次數(shù)比P（z）的次數(shù)高;（2）在實(shí)軸上Q（z）≠0;（3）m>0;則有

例4 計(jì)算積分

解 因?yàn)閒（z）=平面x2=5內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，在實(shí)軸上只有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)x1=2，x2=5。于是

所以

因此利用留數(shù)定理在圍線積分中的應(yīng)用計(jì)算對(duì)一些特殊實(shí)積分進(jìn)行留數(shù)定理的探究，如反常積分、廣義積分等中的應(yīng)用，可以起到舉一反三的作用，它是研究計(jì)算定積分，尤其是對(duì)原函數(shù)不易直接求得的實(shí)積分和反常積分，常是一個(gè)有效的方法，其要點(diǎn)是將其劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分，再把計(jì)算周線積分的整體問(wèn)題，化為計(jì)算各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問(wèn)題，繼而就可得到解決。不僅如此留數(shù)定理還能推導(dǎo)出了電磁學(xué)中的安培環(huán)路定理，其方法比較簡(jiǎn)便，避免了一些教材中的復(fù)雜推導(dǎo)，還能解決靜電學(xué)、電磁學(xué)中的一些積分的運(yùn)算。因此柯西留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)理論的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何在教學(xué)中突出重點(diǎn)，化難為易，是今后的教學(xué)研究的重要內(nèi)容之一。

除此之外在控制理論中，當(dāng)我們需要進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，需要利用拉普拉斯變換來(lái)分析系統(tǒng)的傳遞特性，這時(shí)如果利用拉普拉斯的逆運(yùn)算公式進(jìn)行分析求解，在運(yùn)算上會(huì)有一定的難度，而將留數(shù)利用在拉普拉斯的逆運(yùn)算上則會(huì)大大降低了運(yùn)算的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]智麗麗，李艷青.留數(shù)定理在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].昌吉學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（1）：74-76.

[3]陸生琪.留數(shù)理論及其應(yīng)用[J].三江學(xué)院，2009（33）：947-949.