摘 要：一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容，也是學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。近年來，一次函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及和現(xiàn)實生活相結(jié)合的一次函數(shù)應(yīng)用問題一直是中考的熱點。文章主要對學(xué)生解答一次函數(shù)問題時常見問題予以剖析，希望對學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);常見問題;數(shù)形結(jié)合思想

中圖分類號：G633.6 ? ? ??文獻標識碼：A ? ? ? ??文章編號：2095-624X（2020）05-0062-02

引 言

數(shù)學(xué)對于我們?nèi)粘Ｉ钜约翱茖W(xué)研究的影響不言而喻，衣食住行都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。數(shù)學(xué)是一門抽象化、復(fù)雜化、邏輯性非常強的學(xué)科，在進行數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師通常會結(jié)合實際利用多種數(shù)學(xué)思想方法來簡化和具體化教學(xué)內(nèi)容。

一、分類討論思想的應(yīng)用

分類討論思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是指在解決數(shù)學(xué)問題時，涉及的研究對象比較多，不能統(tǒng)一研究，所以需要結(jié)合實際，將研究對象以某種標準進行區(qū)分，然后分別獨自進行探究，最后得出整體結(jié)論的解題思想。在解決數(shù)學(xué)問題時，一般分作以下幾步進行：①明確分類對象;②明確分類標準;③逐步分類，分別得到階段性的結(jié)果;④用最初的標準檢驗篩選結(jié)果;⑤歸納得出結(jié)論。與此同時，運用分類討論的思想也要遵循一定的原則，即按照統(tǒng)一標準進行劃分，不重不漏，按照等級先后順序進行。

例1：已知直線y=kx+b，經(jīng)過點P（1，0）且與y軸交點為Q，若直線與坐標軸所圍成的三角形面積為2，求這條直線的函數(shù)表達式。

學(xué)生常見的解題方法如下：已知三角形面積表達式為面積=1/2×底×高，而直線與坐標軸圍成的三角形為直角三角形，因此三角形的底和高就分別是直線與坐標軸交點到原點的距離，其中OP=1，—×1×OQ=2，因此，OQ=4，Q點坐標為（0，4），再將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，所以，這條直線的函數(shù)表達式為y=-4x+4。

雖然解題思路正確，但是學(xué)生在得出Q點坐標時，思考并不全面。OQ代表的是三角形的底或高，是一條線段，因此OQ一定大于零，意味著Q點到原點之間的距離為4，而Q點極有可能在y軸正半軸上，也可能在y軸負半軸上。學(xué)生憑借OQ=4>0，就判斷Q點坐標為（0，4）是片面的，Q點坐標還可能為（0，-4），因此在后續(xù)解答時，要進行分類討論。當Q點坐標為（0，4）時，將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，此時這條直線的函數(shù)表達式為y=-4x+4。當Q點坐標為（0，-4）時，將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=4，b=4，此時這條直線的函數(shù)表達式為y=4x+4。

例2：已知一次函數(shù)y=（n-1）x+n+1的圖象不經(jīng)過第三象限，求m的取值范圍。

筆者整理了一下，學(xué)生常見的解題方法如下。已知一次函數(shù)y=（n-1）x+n+1的圖象經(jīng)過第三象限，那么其函數(shù)圖象會經(jīng)過第一、二、四象限，而當一次函數(shù)ykx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限時，k<0，b>0。因此n-1<0，n+1>0，聯(lián)合解得-1

同樣，學(xué)生在判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限時，缺乏考慮，因此圖象不經(jīng)過某個象限，并不表示其一定會經(jīng)過其他三個象限，還可能會經(jīng)過其他兩個象限。即上題應(yīng)考慮圖象只經(jīng)過第二、四象限的情況，此時b=0，即n+1=0，n=-1。

二、具有現(xiàn)實意義的一次函數(shù)問題

在利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題時，常常忽視題目中函數(shù)所代表的實際意義，從而導(dǎo)致解題錯誤。

例3：已知某客車在離開車站5km后，以30km/h的速度勻速行駛，求客車離開車站后的距離L與其行駛時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出其圖象。

學(xué)生常見的解題方法如下：設(shè)L=kt+b，由題意可知當t=0時，L=5，當t=1時，L=5+30=35，因此將兩組數(shù)據(jù)分別代入L=kt+b中，可得L=30t+5，并畫出函數(shù)圖象為一條經(jīng)過第一、二、三象限的直線。雖然這道題目比較簡單，但是學(xué)生亦很容易出現(xiàn)解題錯誤。首先一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線的前提條件是自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，而進一次函數(shù)與實際問題結(jié)合在一起時，其取值范圍往往不是全體實數(shù)，以此題為例，自變量x的取值范圍是x≥0，因此函數(shù)表達式為L=30t+5（t≥0），其函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限。

例4：小剛在探究彈簧長度與外力的變化規(guī)律時，得到一組數(shù)據(jù)，見下表。

假設(shè)砝碼質(zhì)量為x，彈簧總長度為y，根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)信息，寫出函數(shù)表達式，并指出其函數(shù)圖象經(jīng)過第幾象限。

這道題目的表述簡單，已知兩函數(shù)圖象上兩點坐標，求函數(shù)的表達式，學(xué)生通常會做出如下解答。設(shè)y=kx+b，將x=0，y=5和x=550，y=14代入其中，求得y=—x+5，由k>0，b>0，因此函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限。殊不知，這種解題方式是錯誤的，學(xué)生忽視了彈簧的現(xiàn)實意義，當彈簧被拉伸到一定長度，即外力超過彈性限度時，彈簧不會再因外力變化而伸長，因此后兩組數(shù)據(jù)并不能作為函數(shù)表達式中的已知量，而且無論是砝碼的質(zhì)量還是彈簧總長度都是一直大于零，因此，其函數(shù)圖象只會在第一象限。正解為：設(shè)y=kx+b，將x=0，y=5和x=350，y=14，代入一次函數(shù)表達式中，可得y=—x +5，圖象經(jīng)過第一象限。

三、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離?！睌?shù)與形分別體現(xiàn)了事物的兩種不同方向的屬性，但是在一定條件下，數(shù)形之間可以有機結(jié)合在一起，甚至相互轉(zhuǎn)化，這種思維的方式就是數(shù)形結(jié)合的思想。

例5：已知一次函數(shù)y=kx+b，和坐標圖象上三點A（5，y1）、B（10，y2）、C（-4，y3），其中30，b<0知，該一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，得出y3

結(jié) 語

分類討論具有較強的邏輯思維性質(zhì)，是一種學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到的常規(guī)解題思路，學(xué)生利用分類討論思想解決一次函數(shù)問題可以使學(xué)生解題思路更加清晰且具有條理性和全面性。

學(xué)生在解決與現(xiàn)實生活相結(jié)合的一次函數(shù)問題時，要注意考慮函數(shù)的現(xiàn)實意義。

利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)問題有利于學(xué)生理解復(fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)題目，簡化解題過程。

一次函數(shù)是初中代數(shù)的重要組成部分，也是解決生活實際問題的重要模型，教師在教學(xué)中要善于幫助學(xué)生梳理總結(jié)，以便學(xué)生掌握解題技巧與方法。

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作者簡介：奉徽德（1972—），男，瑤族，廣西富川人，中學(xué)一級教師，本科，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。