趙加營 王騰飛 (江蘇省宿遷中學(xué) 223800)

橢圓與圓極為相似，它的封閉性特征可以類比圓的諸多性質(zhì)．不僅如此，橢圓又是圓錐曲線的“領(lǐng)頭羊”，和雙曲線、拋物線等開放曲線有著共通的特性(如對稱性、離心率、光學(xué)性質(zhì)等)．因此，對橢圓的研究具有極其重要的地位和作用．這一點(diǎn)不僅體現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)世界的廣泛應(yīng)用及數(shù)學(xué)世界的理論研究中，也表現(xiàn)在現(xiàn)行高考制度下的考題內(nèi)．在圓錐曲線解題教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)部分橢圓問題往往不是以顯性的形式出現(xiàn)，而是隱藏在題設(shè)所給的信息中，只有通過化歸轉(zhuǎn)化，讓橢圓顯現(xiàn)出來才能峰回路轉(zhuǎn)，從而迎刃而解．對于這一類“隱形橢圓”問題，根據(jù)題設(shè)中隱含信息把橢圓顯化是解決問題的關(guān)鍵．在轉(zhuǎn)化、顯化的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力(如邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等)、合作能力、創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．

1 第一定義顯示橢圓

例1已知△ABC的周長為6，AB=2，求△ABC面積的最大值．

圖1

以上思路是不少學(xué)生拿到題目后的第一選擇，但是這里存在以下兩個問題：(1)運(yùn)算量偏大，出錯機(jī)會多；(2)盡管結(jié)果是對的，但變量x的范圍是錯誤的．事實(shí)上，x的范圍應(yīng)該是04-x且2+4-x>x，即1

點(diǎn)評數(shù)學(xué)概念是最基礎(chǔ)的知識，是數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)．對于數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確理解和掌握是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提．而應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題往往能起到事半功倍的效果，常常能舉重若輕，一點(diǎn)即通．運(yùn)用概念，往往沒有復(fù)雜的運(yùn)算，也可避免設(shè)置的陷阱．第二種思路就是通過橢圓的第一定義，把隱藏的橢圓顯現(xiàn)出來．在顯化的過程中，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，從而培養(yǎng)等價轉(zhuǎn)化的思維能力．

另外，蘇教版教材選修2-1中利用橢圓的第一定義的問題有：

第33頁習(xí)題7：已知圓F1:(x+1)2+y2=1，圓F2:(x-1)2+y2=9．若動圓C與圓F1外切，且與圓F2內(nèi)切，求動圓圓心C的軌跡方程．

圖2

第33頁習(xí)題11(操作題)：準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過點(diǎn)F(圖2)，然后將紙片展開，就得到一條折痕(為了看清楚，可把直線l畫出來)．這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕．觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

第76頁本章測試6：已知點(diǎn)N(2,0)，圓M:(x+2)2+y2=36，點(diǎn)A是圓M上一個動點(diǎn)，線段AN的垂直平分線交直線AM于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程是．

2 第二定義揭示橢圓

點(diǎn)評數(shù)和形是構(gòu)成數(shù)學(xué)問題的兩個基本要素，正如一枚硬幣的正反面，兩者的恰當(dāng)轉(zhuǎn)換有利于問題的順利解決．本題中，觀察條件中等式兩邊的結(jié)構(gòu)，通過其幾何意義的聯(lián)想，運(yùn)用橢圓的第二定義揭開隱藏的橢圓，尋找到動點(diǎn)的軌跡．事實(shí)上，幾乎所有數(shù)學(xué)問題的解決都是在不斷地等價轉(zhuǎn)換問題，由復(fù)雜到簡單，由陌生到熟悉，由綜合到基本，由抽象到具體．加強(qiáng)學(xué)生等價轉(zhuǎn)換問題的思維能力的訓(xùn)練，也是對數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)造性的訓(xùn)練，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

3 圓的伸縮演變橢圓

圖3

點(diǎn)評從教育哲學(xué)的觀點(diǎn)看，某些知識結(jié)構(gòu)之間存在著必然的內(nèi)在聯(lián)系，橢圓與圓正是如此．本題中，揭開隱藏的橢圓后，可以清楚看到：在伸縮變換中，圓與橢圓互為演變；從類比推理上，得出兩者一致性的結(jié)論(斜率乘積為定值)．沿著這樣的思路，還可以探究出兩者諸多類比的性質(zhì)．對培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力(特別是合情推理中的類比推理)，揭示數(shù)學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)知能力，都是大有裨益的．

4 Dandelin雙球締造橢圓

圖4

分析 此問題中兩個平面之間的距離其實(shí)就是兩球心O1,O2之間的距離，也就是兩個半徑與中間“懸空”部分的距離．“懸空”的距離怎么求呢？似乎是比較困難的．但如果換個角度，設(shè)球O1,O2與平面γ切于F1,F2，點(diǎn)P是平面γ與圓柱相交的曲線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P的母線與平面α,β交于點(diǎn)K1,K2．由于PF1,PK1均為球O1的切線，所以PF1=PK1．同理，PF2=PK2．故PF1+PF2=PK1+PK2為定值．根據(jù)橢圓

點(diǎn)評本題有著悠久的數(shù)學(xué)文化背景和豐富的圓錐曲線知識．追溯圓錐曲線的起源，2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262-前190)采用平面切割圓錐的方法得到圓、橢圓、雙曲線、拋物線．并且，在其《圓錐曲線》著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果．事實(shí)上，現(xiàn)在教材中的第一定義是阿波羅尼斯《圓錐曲線》中的一個命題[1]．

另外，比利時數(shù)學(xué)家旦德林(Dandelin，1794-1847)在圓錐與圓的切線等研究上取得了巨大的成果．舉世聞名的旦德林雙球就以他的名字命名．旦德林在圓錐里上下各塞進(jìn)相離內(nèi)切球，球面與切截平面的切點(diǎn)就是焦點(diǎn)，平面與圓錐的截線是圓錐曲線．旦德林雙球?qū)A錐曲線的截線定義和軌跡定義如此神奇地融為一體，真是讓人嘆為觀止．同時，圓錐曲線的第二定義在此也巧妙呈現(xiàn)：截線上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離與到相應(yīng)兩個平面的交線的距離之比為離心率．

對此問題的探究，一方面可以利用圓錐曲線的豐富內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的教育．另一方面，在研究問題的過程中，平面與空間不斷轉(zhuǎn)換，線面相切與面面相切相互交織，平面距離與空間距離不斷轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象能力能夠得到有效的訓(xùn)練與提升．

以上幾個“隱形橢圓”的例子只是冰山一角．事實(shí)上，球的斜投影、一些星體的運(yùn)行軌道、某些動點(diǎn)的軌跡(如帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中研究的“三線軌跡”和“四線軌跡”[2]等問題)等等都會“顯露”出橢圓來．從高觀點(diǎn)上看，數(shù)學(xué)的研究對象之間存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系，一邊是“顯山露水”的，另一邊是“藏而不露”的，兩者之間似乎有一根無形的絲線，將它們密切地牽連在一起，從一邊沿著這條絲線抽絲剝繭，便可順利地到達(dá)另一邊．在教學(xué)中，需要教師精心設(shè)計，精選問題，啟發(fā)學(xué)生善于捕捉提供的信息，發(fā)揮聯(lián)想，加強(qiáng)聯(lián)系，積極聯(lián)動，將思維游走在“絲線”上，去揭示隱藏起來的橢圓、圓等．在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力、合作能力、創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．