郭 楓 倪婧鈺

一、引言

隨著我國利率市場化改革不斷深入，央行逐步放松對存貸款利率的管制，市場化利率也正逐步形成。十八屆三中全會刊發(fā)《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問題的決定》，其中首次提出“加快推進(jìn)利率市場化，健全反映市場供求關(guān)系的國債收益率曲線”的新要求。在此大背景下，根據(jù)債券二級市場價格估計利率期限結(jié)構(gòu)的可行性和實用性逐步增強(qiáng)。國債利率期限結(jié)構(gòu)能最直接反映資產(chǎn)的無風(fēng)險基礎(chǔ)價格和市場資金的供求狀況；國債收益率曲線形態(tài)的變化還可以進(jìn)一步傳遞金融市場信息、預(yù)測宏觀經(jīng)濟(jì)周期波動。因此，研究如何更好地擬合中國國債收益率曲線具有重大的現(xiàn)實意義。

國債收益率曲線反映不同期限無違約風(fēng)險收益率之間的關(guān)系，其圖像是在以期限為橫軸、收益率為縱軸的坐標(biāo)平面上描述的一條曲線。這里的“收益率”指即期收益率(spot yield/zero-coupon yield)、平價收益率(par yield)和遠(yuǎn)期利率(forward rate)。它們均由貼現(xiàn)函數(shù)導(dǎo)出，彼此之間可以相互轉(zhuǎn)換。貼現(xiàn)函數(shù)的估計則基于債券市場各券報價或成交價格。由于任何債券市場的流通可交易債券在期限上均是離散的，無論貼現(xiàn)函數(shù)還是上述三種收益率函數(shù)均無法通過市場價格直接觀測，必須從可觀察到的各債報價中估計出隱含的連續(xù)利率期限結(jié)構(gòu)。眾所周知，無風(fēng)險收益率曲線是金融市場資產(chǎn)定價的基準(zhǔn)。因此，國債收益率曲線的擬合無論對科研學(xué)者還是金融從業(yè)人員來說都至關(guān)重要。

利率期限結(jié)構(gòu)模型一般分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型。靜態(tài)模型指采用插值(interpolation)等曲線擬合方法，利用某一債券市場(例如國債市場或AAA企業(yè)債市場)可觀測到的債券報價或?qū)嶋H交易價格平滑擬合出該市場的貼現(xiàn)函數(shù)δ(m)。國外學(xué)者Fama和Bliss(1987)[1]、McCulloch(1975)[2]、Nelson和Siegel(1987)[3]、Fisher等(1995)[4]的研究都是這種方法的代表，不同之處在于他們選擇構(gòu)建插值模型的函數(shù)形式不同。主流研究中有兩類插值模型具有較好的擬合效果和經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，在行業(yè)運(yùn)用中也最為普遍：一類是McCulloch三次樣條模型(McCulloch Cubic Spline)，另一類是基于指數(shù)衰減函數(shù)的Nelson-Siegel-Svensson模型。前者由McCulloch(1975)[2]首次提出，經(jīng)不斷優(yōu)化，McCulloch和Kochin(2000)[5]提出了非參Quadratic-natural cubic spline(以下簡稱QNC)三次樣條插值模型；McCulloch和Kochin(2000)[5]同時提出基于線性最小二乘的迭代估計方法，用于估計模型的未知系數(shù)。后者起源于Nelson和Siegel(1987)[3]提出的Nelson-Siegel(以下簡稱NS)模型，但應(yīng)用更廣的還是經(jīng)Svensson(1994)[6]拓展的Nelson-Siegel-Svensson(以下簡稱NSS)模型。這類模型的系數(shù)估計一般直接采用無約束非線性最優(yōu)化。Guo(2019)[7]在吸收二者優(yōu)良特質(zhì)的基礎(chǔ)上提出了多指數(shù)衰減插值模型(Multiple exponential decay interpolation model，以下簡稱MED)。他從經(jīng)濟(jì)學(xué)理論含義和實證擬合效果兩方面對比了MED、NSS以及基于QNC的改進(jìn)模型Semi-natural cubic spline(以下簡稱SNC模型)。他發(fā)現(xiàn)MED模型不但(部分地)吻合Nelson-Siegel模型中因子的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義(根據(jù)Diebold和Li(2006)[8]總結(jié))，而且保留了SNC模型的非參屬性，使模型對不同收益率曲線形態(tài)的適應(yīng)性更強(qiáng)。實證結(jié)果顯示，MED模型在擬合過去20年美國國債收益率曲線時顯著優(yōu)于NSS和SNC模型。

動態(tài)模型基于收益率服從某種動態(tài)隨機(jī)過程的假設(shè)，模擬收益率隨時間變化的動態(tài)規(guī)律。最流行的一類動態(tài)模型是仿射期限結(jié)構(gòu)模型(Affine term structure model,簡稱ATSM)，由Vasicek模型(Vasicek,1977[9])和CIR模型(Cox等,1985[10])等單因子模型演化而來，并經(jīng)Duffie和Kan(1996)[11]、Dai和Singleton(2000)[12]、Ang和Piazzesi(2003)[13]等將其發(fā)展完善。此類模型將收益率表示為少數(shù)服從動態(tài)隨機(jī)過程的因子的線性函數(shù)，用仿射擴(kuò)散過程刻畫因子的動態(tài)變化，通過無套利條件分析得出債券價格的解。

在探討中國債券市場收益率曲線的文獻(xiàn)中，利用靜態(tài)和動態(tài)模型的研究成果均很豐富。在靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型方面，鄭振龍和林海(2003)[14]選取2002年9月13日的中國銀行間市場國債價格對我國的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計，將線性插值模型和二次樣條插值模型進(jìn)行對比。他們發(fā)現(xiàn)二次樣條插值模型具有計算簡便的優(yōu)點，且適用于形狀復(fù)雜的收益率曲線擬合。朱世武和陳健恒(2003)[15]選取2003年3月28日上交所15支附息國債收盤價擬合即期收益率曲線，對McCulloch三次樣條模型和NSS模型進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)NSS模型擬合程度更高，尤其是在曲線遠(yuǎn)端擬合方面優(yōu)于McCulloch三次樣條模型，更適用于我國交易所國債市場收益率曲線的擬合。郭濤和李俊霖(2007)[16]選取2005年7月至2006年6月上交所國債收盤價，分別采用McCulloch三次樣條、指數(shù)樣條和NS模型估計國債利率期限結(jié)構(gòu)，實證結(jié)果顯示NS模型擬合效果更穩(wěn)定，具有更好的樣本外(out-of-sample)擬合能力；而NSS的樣本內(nèi)(in-sample)擬合雖更好，但樣本外擬合誤差顯著大于NS，說明NSS模型存在過度擬合(over-fitting)。周子康等(2008)[17]在NS和NSS模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建出了NS修正模型(以下簡稱NSM)，并對2005年1月至2007年11月的上交所國債收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果顯示NSM模型擬合精度更高，價格誤差更小，在多項指標(biāo)表現(xiàn)上優(yōu)于NS和NSS模型，更適用于中國交易所國債市場。

動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型方面，范龍振和張國慶(2005)[18]構(gòu)造了兩因子CIR模型，選取1997年1月至2002年4月上交所國債交易價格數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，發(fā)現(xiàn)兩因子模型不能充分捕捉收益率曲線形狀特征，且預(yù)測誤差具有系列相關(guān)性，模型的因子解釋能力有待提高。沈根祥和陳映洲(2015)[19]在動態(tài)NS模型(Diebold和Li,2006[8])的基礎(chǔ)上提出了雙斜率動態(tài)NS模型，并選取2006年3月至2013年11月銀行間市場國債數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果顯示雙斜率動態(tài)NS模型對我國國債收益率曲線近端的靜態(tài)擬合和動態(tài)預(yù)測效果較經(jīng)典動態(tài)NS模型顯著提高。丁志國等(2016)[20]選取2005年1月至2012年12月中國宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)作為狀態(tài)變量，并將狀態(tài)變量假設(shè)為AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1)以及隨機(jī)游走四種動態(tài)過程，然后比較擬合和預(yù)測效果。結(jié)果顯示Vasicek-AR(1)模型更加適合中國國債收益率的擬合與預(yù)測。

靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型因具有更簡潔的函數(shù)形式、更小的計算負(fù)荷，以及比經(jīng)典ATSM模型更好的擬合效果(Christensen等,2011[21])，在學(xué)術(shù)研究和行業(yè)實操中有著更廣泛的應(yīng)用。SNC和NSS兩種主流的靜態(tài)模型各有優(yōu)劣，兩者之間的選擇在很大程度上取決于擬合收益率曲線的目的。SNC是非參模型，模型的具體參數(shù)個數(shù)可由樣本數(shù)據(jù)最優(yōu)決定，因而在擬合各種收益率曲線形態(tài)方面具有更大的靈活性，適合金融從業(yè)者尋找市場短期價格異象(price anomalies)及套利機(jī)會。遺憾的是，基于三次函數(shù)的SNC模型偶爾給被擬合的收益率曲線帶來一些不切實際的形態(tài)；此外，模型還必須施加遠(yuǎn)端點條件(long-end point condition)，以便在遠(yuǎn)端點之外的外推區(qū)間(extrapolation)實現(xiàn)漸進(jìn)收斂(asymptotic convergence)。反觀之，NSS模型是參數(shù)模型，模型表達(dá)式是固定的，不能隨樣本數(shù)據(jù)優(yōu)化調(diào)整，因而擬合的曲線形態(tài)相對單一。然而，NSS模型的基礎(chǔ)指數(shù)衰減函數(shù)自帶漸進(jìn)收斂性，模型不需要施加任何端點條件；而且指數(shù)衰減函數(shù)天然適合擬合貼現(xiàn)函數(shù)曲線，這為收益率曲線提供了更簡約的函數(shù)形式和更光滑平穩(wěn)的擬合效果，因此更適合宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)家將其用于科研目的。Guo(2019)[7]提出的MED模型繼承了這兩種代表性插值模型的優(yōu)點：首先，MED基于指數(shù)衰減函數(shù)，繼承NSS模型的簡約性與擬合平穩(wěn)性；其次，MED繼承SNC模型的非參性，能適應(yīng)更多的曲線形態(tài)。在美國國債市場收益率曲線的擬合中，MED模型的表現(xiàn)優(yōu)于SNC和NSS，在一定程度上證明了MED模型的實用價值。

應(yīng)用MED模型擬合中國國債收益率曲線，并檢驗其擬合效果是否更優(yōu)將是一個有趣的研究課題。本文首次同時使用三種模型擬合中國銀行間市場國債收益率曲線，在三種曲線擬合“賽馬”的實驗中對比研究MED、SNC和NSS的優(yōu)劣。對于三種模型未知參數(shù)的估計，本文均采用McCulloch和Kochin(2000)[5]提出的迭代線性最小二乘估計法。對于非參模型MED和SNC，本文按照Guo(2019)[7]提出的參數(shù)選擇最優(yōu)化方法進(jìn)行調(diào)整。具體地，模型參數(shù)的選擇應(yīng)同時滿足以下兩個條件：(1)擬合誤差項為完全隨機(jī)的白噪音序列。此條件由Durbin-Watson或其他序列相關(guān)檢驗確定。(2)模型整體擬合優(yōu)度最優(yōu)。此條件通過貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterions，簡稱BIC)確定。綜合兩項檢驗的結(jié)果選擇最合適的參數(shù)個數(shù)和模型設(shè)定。我們選取2009年1月至2018年12月共計10年的銀行間市場國債月度價格數(shù)據(jù)作為樣本，每個月的數(shù)據(jù)由當(dāng)月最后一個交易日的交易(或報價)數(shù)據(jù)代表。每一期月度(橫截面)樣本數(shù)據(jù)被分為樣本內(nèi)和樣本外兩個子樣本集。樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于模型未知系數(shù)估計，樣本外數(shù)據(jù)用于檢驗?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谶^度擬合。在殘差分析中，我們選擇加權(quán)均方根誤差(weighted root mean squared error，簡稱wRMSE)衡量其擬合效果。由于MED和SNC是非參數(shù)模型，殘差分析結(jié)果無法直接與參數(shù)模型NSS進(jìn)行對比，我們因此對兩個非參模型的價格殘差統(tǒng)計量wRMSE進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，并將原始和經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的wRMSE進(jìn)行模型間比較。樣本內(nèi)和樣本外兩個組別的殘差分析顯示，MED在每個樣本子集和絕大部分期限區(qū)間產(chǎn)生最小的標(biāo)準(zhǔn)化累計加總月度wRMSE、月度wRMSE極大值和標(biāo)準(zhǔn)差。這表明MED模型的曲線擬合優(yōu)度最高，穩(wěn)健性最好，而過度擬合問題卻并不突出。

本文剩余部分安排如下：第二部分在基本定義的基礎(chǔ)上回顧MED、SNC和NSS三種模型并進(jìn)行定性對比；第三部分討論插值模型未知系數(shù)的估計方法，并分別用三種模型擬合中國銀行間國債市場收益率曲線；第四部分在殘差分析的基礎(chǔ)上比較三種模型在擬合中國銀行間國債市場收益率時的優(yōu)劣性及穩(wěn)健性；第五部分為總結(jié)。

二、模型及設(shè)定

(一)基礎(chǔ)變量及函數(shù)定義

收益率或債券定價的相關(guān)基本概念在此不加贅述，本部分主要統(tǒng)一文中各模型通用的變量及函數(shù)定義。

(1)

簡單起見，我們假設(shè)國債的價格由公式(1)的離散現(xiàn)金流形式?jīng)Q定。對于附息型中國國債，離散現(xiàn)金流發(fā)生的頻率為半年一次或一年一次。

在已知貼現(xiàn)函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們可以推導(dǎo)出債券市場的收益率。三大主要收益率中，連續(xù)復(fù)利即期收益率(spot yield/zero-coupon yield)(2)即期收益率也被稱為即期利率或零息債到期收益率，其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義為投資者對期限為m、沒有任何中間現(xiàn)金流的一筆即期投資的收益回報需求。定義為：

(2)

中國債券市場上流通的國債類型可分為附息、零息和到期一次還本付息(發(fā)行期限為一年)三種。對于附息型國債，平價收益率(par yield/par bond yield)是另一類重要收益率指標(biāo)，即期限為m的附息債券以票面價格出售時的到期收益率。連續(xù)現(xiàn)金流情境下的連續(xù)復(fù)利平價收益率定義為：

(3)

利率期限結(jié)構(gòu)也可以用遠(yuǎn)期利率(forward rate)表示。這種收益率是投資者當(dāng)期對未來特定時期——從m1年后開始，以m2年為期限——進(jìn)行零息債投資的收益需求。當(dāng)m2→0，我們得到瞬時遠(yuǎn)期利率(instantaneous forward rate)，即投資者當(dāng)期要求的m年后的瞬時回報率。連續(xù)復(fù)利下的遠(yuǎn)期利率(3)本文從此處起將“瞬時遠(yuǎn)期利率”直接簡稱為“遠(yuǎn)期利率”，下文不再專門區(qū)分。可表示如下：

(4)

由公式(2)和公式(4)可推出

(5)

其中-logδ(m)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義為期限m年的總收益，而y(m)與f(m)分別是投資的算術(shù)平均收益和邊際收益。由公式(3)和公式(4)又可知

(6)

公式(2)～公式(6)表明，即期收益率、平價收益率和遠(yuǎn)期利率均可由貼現(xiàn)函數(shù)δ(m)導(dǎo)出，且任意兩兩間可相互轉(zhuǎn)換。因此，收益率曲線擬合問題變成了一個貼現(xiàn)函數(shù)的建模問題。

(二)模型一般函數(shù)式

許多研究者選擇針對負(fù)對數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)-logδ(m)建立利率期限結(jié)構(gòu)插值模型，而非直接建模貼現(xiàn)函數(shù)δ(m)。基于負(fù)對數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)建模的優(yōu)點是便于給插值模型施加端點條件。例如，SNC模型就施加了遠(yuǎn)端點自然條件，從而實現(xiàn)擬合目標(biāo)函數(shù)在遠(yuǎn)端外推(extrapolation)區(qū)間單調(diào)遞增(二階導(dǎo)數(shù)在遠(yuǎn)端點收斂于零)。但這種建模方式的缺點在于貼現(xiàn)函數(shù)和債券價格函數(shù)的非線性會極大增加系數(shù)估計的計算負(fù)荷。

Guo(2019)[7]首次將所有插值模型歸納為基于負(fù)對數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)建模的同一類一般函數(shù)式(general functional form)，不同模型之間的差異則體現(xiàn)在構(gòu)成一般函數(shù)式的不同的基礎(chǔ)函數(shù)(basis functions)。降低計算負(fù)荷、提高數(shù)值算法收斂穩(wěn)健性通過將非線性估計轉(zhuǎn)換為線性估計實現(xiàn)，例如使用McCulloch和Kochin(2000)[5]提出的迭代線性最小二乘法。此法在第三部分使用過程中將詳細(xì)討論。

根據(jù)Guo(2019)[7]的研究，負(fù)對數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)的一般函數(shù)式φ(m)為：

(7)

該式將-logδ(m)假設(shè)為基礎(chǔ)函數(shù)Ψ(m)和系數(shù)β的線性多項式組合，且必須滿足兩個條件：(1)φt(mt,i)通過原點；(2)在任意t時刻，多項式總項數(shù)kt不大于(用于估計的樣本內(nèi))樣本觀測總數(shù)nt。

(三)模型基礎(chǔ)函數(shù)式

1.MED模型。

MED(Multiple Exponential Decay Interpolation)模型由Guo(2019)[7]提出。模型基礎(chǔ)函數(shù)式Ψj(m)遵循以下兩個原則建立。其一，貼現(xiàn)函數(shù)δ(m)具備(近似于)指數(shù)衰減函數(shù)的特征：在近端具有向上、反向或駝峰的形狀，在遠(yuǎn)端漸進(jìn)衰減并收斂于0。其二，受ATSM等動態(tài)模型啟發(fā)，y(m)被假設(shè)為服從某種動態(tài)隨機(jī)過程，其函數(shù)表達(dá)式一般由微分方程構(gòu)成；f(m)因此應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，因為根據(jù)公式(5)，f(m)是微分方程y(m)的解。為了控制擬合收益率曲線遠(yuǎn)端的漸進(jìn)收斂特性，MED模型表達(dá)式全部kt個基礎(chǔ)函數(shù)Ψj(m)中應(yīng)有一個的一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)1，其余(k-1)個Ψj(m)的一階導(dǎo)數(shù)收斂于0，而這(k-1)個Ψj(m)的原函數(shù)值應(yīng)收斂于一個有限數(shù)值。如此，遠(yuǎn)期利率曲線和即期收益率曲線各自擁有一條遠(yuǎn)端漸近線(asymptote)。

綜上兩原則，MED模型的Ψ(m)被設(shè)定為：

(8)

其中，參數(shù)τj不隨期限m變化，但隨Ψj(m)變化。

由公式(2)可得即期收益率y(m)的表達(dá)式：

(9)

按照Diebold和Li(2006)[8]對NS模型經(jīng)濟(jì)學(xué)含義的解釋，公式(9)最后一項βk代表NS模型中的長期“水平”(level)因子，用于擬合即期收益率曲線在m→時的收斂水平。剩余項系數(shù)與NS模型的短期“斜率”(slope)因子一致，決定了所擬合期限結(jié)構(gòu)的期限利差。與NS模型不同的是，MED模型中沒有第三種“曲率”(curvature)因子，取而代之的是額外的、不定數(shù)量的“斜率”因子。顯然，MED模型部分地繼承了NS(以及NSS)模型的因子，因此它們具有近似的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

2.NSS模型。

NSS(Nelson-Siegel-Svensson)模型是由Svensson(1994)[6]在NS模型基礎(chǔ)上拓展而來。Gürkaynak等(2007)[22]用遠(yuǎn)期利率函數(shù)定義的NSS模型表達(dá)式如下：

(10)

為了將公式(10)統(tǒng)一為公式(7)的形式，我們根據(jù)公式(4)將f(m)積分，得到NSS模型的一般函數(shù)式(7)，其基礎(chǔ)函數(shù)表達(dá)式如下：

Ψ1(m)=m

(11)

NSS和MED的模型表達(dá)式有兩個共同特征。其一，它們都基于指數(shù)衰減函數(shù)exp(-m/τ)，而這一函數(shù)在數(shù)學(xué)上定義了“e重衰期”(e-fold life)(4)e重衰期的定義類似于半衰期(half life)，指一個整體衰減至其最初大小的1/e所需的時間。。其二，它們包含兩個共同因子：水平和斜率。然而，它們在擬合收益率曲線的靈活性上有很大差異。對于NSS，k的取值固定為4，即有6個未知參數(shù)需要估計——4個β和2個τ。因此，它最多能擬合兩個“駝峰”的收益率曲線。相比之下，MED模型允許任意正整數(shù)k的取值，以便為擬合的收益率曲線提供同等甚至更豐富的形狀。這一特性大大提高了模型的擬合靈活性。

3.SNC模型。

SNC(Semi-natural cubic spline interpolation)模型是Guo(2019)[7]在McCulloch和Kochin(2000)[5]QNC(Quadratic-natural cubic spline interpolation)模型基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來。QNC模型對近端(第一、二個節(jié)點間)施加了一個二次型端點條件，而在遠(yuǎn)端(終節(jié)點之外)施加了一個線性自然條件，故名Quadratic-natural。然而，Guo(2019)[7]認(rèn)為在樣本量足夠的情況下，近端的二次型條件既無理論基礎(chǔ)，又缺乏經(jīng)驗證據(jù)，而且在模型估計過程中顯得多余，完全可以舍去。因而Guo(2019)[7]提出SNC模型，舍去近端二次型條件，保留遠(yuǎn)端的自然條件，其余跟QNC基本保持一致(5)其實SNC模型相較QNC在節(jié)點選擇、k值確定等方面還有顯著不同。Guo(2019)[7]有詳細(xì)討論，此處不再贅述。。該模型的基礎(chǔ)函數(shù)被定義為如下三次函數(shù)族，目的是在每個節(jié)點周圍二階連續(xù)且光滑。

(12)

其中：θ1(m)=m,θ2(m)=m2,θ3(m)=m3,θi(m)=max{0,(m-κi-2)3},i=4,…,k+2。

MED與SNC都屬非參插值模型，kt取值隨t期樣本數(shù)據(jù)變動。這一特性使得MED與SNC模型在擬合收益率曲線時具有比NSS模型更大的靈活性。遺憾的是，基于三次函數(shù)的SNC模型偶爾給被擬合的收益率曲線帶來一些不切實際的形態(tài)，例如過分“彎曲”或過多“駝峰”的曲線。此外，在遠(yuǎn)端外推區(qū)間，三次函數(shù)無法自主實現(xiàn)漸進(jìn)收斂，必須專門施加約束條件，如SNC模型中的線性自然條件。施加線性約束條件后，即期收益率函數(shù)在外推區(qū)間獲得漸進(jìn)收斂，但遠(yuǎn)期利率函數(shù)自終節(jié)點(6)終節(jié)點一般由用于估計的樣本券的最長剩余期限確定。起將變?yōu)槌?shù)。這有悖利率期限結(jié)構(gòu)的無套利條件(7)盡管實際操作中，這種套利機(jī)會可能無法實現(xiàn)，因為國債市場上找不到剩余期限長于終節(jié)點所對應(yīng)期限的個券用于套利。不過，無風(fēng)險收益率曲線是金融市場資產(chǎn)定價的基準(zhǔn)，它可能被用于國債市場以外的其他市場，任何期限因此都有可能成為定價標(biāo)的。。相比之下，MED模型基于指數(shù)函數(shù)，所擬合的曲線更加平滑；此外，指數(shù)衰減函數(shù)自帶收斂特性，不需要添加任何約束條件，這也是MED模型較SNC的先進(jìn)之處。

綜上，從定性分析角度而言，MED相較于另外兩個模型更具優(yōu)勢。與SNC相比，MED模型具有更強(qiáng)的擬合穩(wěn)定性，且不存在因端點約束條件導(dǎo)致的套利機(jī)會。與NSS相比，MED模型在擬合各種類型收益率曲線方面具有更大的靈活性。

三、模型估計及實證結(jié)果

解決該問題的有效途徑之一在于將非線性最優(yōu)化轉(zhuǎn)化為迭代循環(huán)的線性優(yōu)化問題。Guo(2019)[7]比較了一般的非線性最優(yōu)化估計方法和基于McCulloch和Kochin(2000)[5]的迭代最小二乘估計法(iterative linear least squares,簡稱ILLS)，發(fā)現(xiàn)在擬合美國國債市場數(shù)據(jù)時，ILLS在高效性和穩(wěn)健性兩方面均有壓倒性優(yōu)勢。本研究因此直接摒棄非線性最優(yōu)化，而統(tǒng)一將ILLS運(yùn)用于三種模型對中國銀行間國債市場收益率曲線的擬合。本部分首先簡要回顧ILLS估計方法與非參數(shù)模型的最優(yōu)設(shè)定，然后匯報三種模型對中國國債收益率曲線擬合的實證結(jié)果。

(一)模型估計方法

我們選取2009年1月至2018年12月共計10年(120個月)的銀行間國債市場月度數(shù)據(jù)作為樣本，所有數(shù)據(jù)取自Wind.月度數(shù)據(jù)以樣本期間每個自然月最后一個交易日的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)。每個橫截面樣本包括當(dāng)天所有流通券中有交易或有報價并進(jìn)行一定剔除后的債券，例如剔除所有含權(quán)券和有特殊流動性問題的個券。對于保留下來的樣本券，我們收集它們的發(fā)行期限、到期日、息票率、付息頻率、加權(quán)平均買賣凈價、交易金額(如果有)等指標(biāo)數(shù)據(jù)。然后，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，并將每個橫截面樣本分為樣本內(nèi)(in-sample)和樣本外(out-of-sample)兩個子樣本，每個子樣本集的觀測點數(shù)量約占篩選后整體樣本的50%。其中，樣本內(nèi)子集用于模型估計，而樣本外子集用于模型比較。涉及樣本券選取、數(shù)據(jù)預(yù)處理和樣本分組的具體方法在附錄中詳述。

正常的參數(shù)估計步驟應(yīng)該是首先確定k值，即(非參數(shù))模型的具體表達(dá)式，再進(jìn)行β和τ的估計。不過，本部分在假設(shè)k取值確定的情況下首先介紹如何基于ILLS估計τ和β，然后再討論選擇最優(yōu)k值的方法。

1.τ的設(shè)定。

不同于Gürkaynak等(2007)[22]整體估計未知參數(shù)β和τ，Guo(2019)[7]選擇基于樣本內(nèi)子集的剩余期限分布直接賦值τ，然后根據(jù)τ值再估計β。直接賦值可以進(jìn)一步降低計算負(fù)荷，提高估計效率。不僅如此，直接賦值τ也有一定理論基礎(chǔ)。依上節(jié)分析，MED和NSS模型均基于指數(shù)衰減函數(shù)exp(-m/τ)，其決定了所擬合曲線的斜率和曲率，而斜率和曲率出現(xiàn)變化的位置由τ的取值決定：τ取值較小時，收益率曲線形態(tài)在較小的期限區(qū)間(近端)產(chǎn)生變化，反之則在較大的期限區(qū)間(遠(yuǎn)端)產(chǎn)生豐富的形態(tài)。中國國債市場流通券的剩余期限分布一般特點為中期(1～10年)最多，短期(1年以下)次之，長期(10～50年)最少，因此收益率曲線形態(tài)變化與豐富程度的分布也應(yīng)該跟上述剩余期限分布大致吻合。

步驟Ⅰ：令τk→，使得Ψk(m)=m，βk因此控制遠(yuǎn)期利率f(m)在遠(yuǎn)端(m→)的漸進(jìn)收斂。

2.β的估計。

(13)

步驟Ⅰ：加權(quán)線性最小二乘法(WLS)估計β0，權(quán)重為各債券成交金額占當(dāng)日市場總成交額的比例。其中ytmi是債券i的到期收益率(10)由于債券價格取買賣全價的平均價，這里的到期收益率即是按全價均價計算的到期收益率。：

i=1,…,n.

(14)

(15)

步驟Ⅲ：運(yùn)用WLS估計βq+1：

i=1,…,n.

(16)

3.k的選擇。

Durbin-Watson(以下簡稱DW)是檢驗擬合殘差是否存在序列相關(guān)的候選方法之一。以擬合2015年7月銀行間國債市場收益率曲線為例，圖1展示了MED模型在不同k取值時擬合殘差項的DW統(tǒng)計值及其95%置信區(qū)間(11)具體來說，從k=2開始獲得模型每個k值對應(yīng)的DW統(tǒng)計數(shù)據(jù)?；趉值的載荷矩陣ψ(m;τ)，對95%置信區(qū)間和平均臨界值進(jìn)行數(shù)值模擬，并將它們分別點繪在圖上。。如圖所示，DW統(tǒng)計值大致隨k增大而增大；95%置信區(qū)間給出擬合殘差項不存在序列相關(guān)的DW值范圍。第一個超過左尾2.5%下界(圖1中的點劃線)的DW值對應(yīng)最小k值，即k=3，該k值的MED模型擬合殘差項不存在序列相關(guān)。該k值對應(yīng)的DW值同時也最接近其平均臨界值(圖1中的虛線)，這樣的k確保了殘差項出現(xiàn)序列相關(guān)的概率最小。

圖1 DW檢驗結(jié)果,2015/07,MED

注：(1)運(yùn)用MED模型擬合2015年7月31日收益率曲線，此圖顯示模型每個k≥2整數(shù)值對應(yīng)的DW統(tǒng)計值。(2)2015年7月31日樣本內(nèi)子集債券數(shù)量=23，樣本外子集債券數(shù)量=22，樣本總量=45。(3)95%置信區(qū)間和平均臨界值已在圖中給出，基于單尾檢驗。

然而，DW檢驗所基于的強(qiáng)假設(shè)在一定程度上限制它在本研究中的應(yīng)用。首先，DW檢驗假設(shè)殘差項為正態(tài)分布，且不適用于高階自相關(guān)。其次，DW檢驗對樣本量和k的取值有一定適用要求。當(dāng)這些假設(shè)條件不完全滿足時，非參數(shù)游程檢驗(non-parametric run’s test)可以作為檢驗序列相關(guān)的另一個候選方法。它用于檢驗一個雙值序列的相互獨立性，原假設(shè)為序列中的元素是隨機(jī)的。在我們研究的問題中，殘差項的“游程”(run)是序列的最大非空段，該序列由0值上下的連續(xù)元素組成。游程檢驗返回的伴隨概率可與預(yù)先設(shè)定的顯著性水平(例如5%)進(jìn)行比較，以判斷是否拒絕原假設(shè)。與圖1所示的DW檢驗類似，我們依次對k≥2的每個整數(shù)k值進(jìn)行游程檢驗。第一個伴隨概率大于5%的k值確定了最簡潔的非參模型表達(dá)式。

對于模型整體擬合優(yōu)度，我們可以運(yùn)用各種信息準(zhǔn)則挑選最優(yōu)k值。以貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion，簡稱BIC)為例，圖2顯示了2015年7月收益率曲線擬合中每個k≥2整數(shù)值對應(yīng)的BIC值。其中，BIC值隨k值先降低后上升，當(dāng)k=4時模型擬合優(yōu)度最高；k=3或5的擬合優(yōu)度次之。

圖2 BIC結(jié)果,2015/07,MED

注：(1)運(yùn)用MED模型擬合2015年7月31日收益率曲線，此圖顯示模型每個k≥2整數(shù)值對應(yīng)的BIC值。(2)2015年7月31日樣本內(nèi)子集債券數(shù)量=23，樣本外子集債券數(shù)量=22，樣本總量=45。

綜合上述序列相關(guān)檢驗和模型整體擬合優(yōu)度，用MED模型擬合2015年7月銀行間國債收益率曲線時，我們?yōu)槟Ｐ腿≈祂=3。在本例中，根據(jù)DW檢驗結(jié)果，選擇k=3確保了殘差項序列相關(guān)的概率最小，同時保證了模型最簡約。雖然最優(yōu)BIC值對應(yīng)k=4，但其DW檢驗結(jié)果靠近右尾2.5%上界(圖1中的實線)；而且，k=3對應(yīng)的BIC值也基本接近于k=4對應(yīng)的BIC值。以DW檢驗結(jié)果為主要參考，結(jié)合BIC值，我們因此選擇k=3作為該月k的最終取值。

在樣本期內(nèi)，我們?yōu)镸ED和SNC模型分別選擇每個橫截面樣本最適合的k值。表1的C組給出了樣本期內(nèi)k值選取的統(tǒng)計分布。

(二)實證結(jié)果

按照第三部分第一節(jié)的方法，我們嘗試用MED、SNC和NSS三種插值模型分別對每個月度的收益率曲線進(jìn)行擬合。圖3是基于2015年7月銀行間國債數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的收益率曲線?；谙嗤瑱M截面樣本，三種模型的擬合結(jié)果差異十分顯著。首先，SNC模型擬合(圖3-(b)所示)的遠(yuǎn)期利率曲線(虛線)在終節(jié)點(12)據(jù)Wind數(shù)據(jù)顯示，2015年7月31日銀行間國債市場有交易或雙邊報價的債券中期限最長為9.95年。該期限自然成為2015年7月收益率曲線擬合樣本的終節(jié)點。之后的遠(yuǎn)端外推區(qū)間變?yōu)樗?。這是線性自然端點條件作用的結(jié)果，也是套利機(jī)會產(chǎn)生的來源，而其他兩個基于指數(shù)函數(shù)的模型沒有出現(xiàn)這種情況。其中，MED模型的遠(yuǎn)期利率曲線(圖3-(a)所示)實現(xiàn)收斂，而NSS(圖3-(c)所示)不僅未明顯收斂，還出現(xiàn)收益率在遠(yuǎn)端變?yōu)樨?fù)值的情況，跟現(xiàn)實情況不符。其次，三個模型擬合的遠(yuǎn)期收益率曲線均有一個駝峰，但出現(xiàn)的位置不同：NSS模型大概出現(xiàn)在第6～7年，而另外兩個模型大概在5年的位置。最后，MED和NSS模型擬合的即期收益率曲線(實線)均出現(xiàn)頂點(虛線向下穿過實線之處)，然后MED的遠(yuǎn)期利率曲線自頂點處單調(diào)收斂，NSS模型的遠(yuǎn)期利率曲線沒有任何單調(diào)特征；SNC模型擬合的即期收益率曲線在50年內(nèi)沒有頂點。

圖3 擬合的收益率曲線,2015/07

注：(1)圖(a)、(b)、(c)顯示的收益率曲線分別由MED、SNC、NSS模型進(jìn)行擬合。(2)期限以年為單位，收益率以年百分比表示。(3)樣本取自中國銀行間國債市場2015年7月末有成交或報價的數(shù)據(jù)。

圖4展示三種模型分別擬合樣本期全部120個月的月度即期收益率曲線，從中我們可以看到近10年來中國無風(fēng)險收益率曲線隨時間變化的動態(tài)過程。圖4-(a)為MED模型擬合的收益率曲線，該擬合成功地捕捉到樣本期初的低利率環(huán)境以及2013和2017年兩次“錢荒”事件導(dǎo)致的利率高企。具體而言，2008年金融危機(jī)發(fā)生后，全球進(jìn)入貨幣政策寬松期；當(dāng)時我國實施積極的財政政策和適度寬松的貨幣政策，刺激投資、擴(kuò)大需求。在這種政策背景下，2009年及其之后一段時間的資金成本走低，體現(xiàn)在短期和長期的無風(fēng)險利率大幅下行。2013年，信用大規(guī)模向地產(chǎn)、地方投融資平臺等部門擴(kuò)張，銀行資金被貸短長用的期限錯配現(xiàn)象嚴(yán)重；央行隨即控制資金投放，導(dǎo)致市場(特別是貨幣市場等短期市場)資金全面緊張，國內(nèi)出現(xiàn)流動性收縮，短期利率也隨之攀升。2017年市場情況與2013年類似，同樣是由于“錢荒”引起利率攀升，在圖中可明顯看到那時的利率處于較高水平。除此之外，圖4-(a)還顯示在過去10年里個別月份即期收益率曲線出現(xiàn)水平甚至倒掛，預(yù)示當(dāng)期宏觀周期出現(xiàn)轉(zhuǎn)折。

圖4 擬合的即期收益率曲面,2009/01—2018/12

注:(1)圖(a)、(b)、(c)顯示的三維曲線分別由MED、SNC、NSS模型進(jìn)行擬合。(2)期限以年為單位；收益率以年百分比表示。(3)共選取樣本期中國銀行間國債市場120個月的月末報價數(shù)據(jù)。

相比之下，SNC和NSS模型的擬合結(jié)果(圖4的(b)和(c)所示)不能清晰、完整地反映收益率曲線的動態(tài)變化過程，特別是NSS模型的擬合曲面嚴(yán)重扁平化。出現(xiàn)此情況的主要原因是NSS模型在個別月份未能成功地在遠(yuǎn)端實現(xiàn)收斂，導(dǎo)致收益率縱軸(Yield)被放大，無法體現(xiàn)曲線在局部收益率區(qū)間的復(fù)雜波動，說明其在擬合中國銀行間國債市場數(shù)據(jù)時的收斂穩(wěn)健性較差。SNC模型在遠(yuǎn)端表現(xiàn)較好，但近端出現(xiàn)異常波動，對利率環(huán)境特征的捕捉力不足。在下一節(jié)中，我們將進(jìn)一步對比MED模型與其他兩模型擬合的優(yōu)劣性與穩(wěn)定性。

四、模型定量比較——基于殘差分析的“賽馬”實驗

表1 殘差分析和模型設(shè)定的描述性統(tǒng)計匯總

(一)殘差分析標(biāo)準(zhǔn)化

收益率曲線擬合最不能忽視的問題是過度擬合，即通過增加非參數(shù)多項式模型的項數(shù)或參數(shù)個數(shù)達(dá)到樣本內(nèi)更好的擬合結(jié)果。這樣做往往無法在樣本外獲得同樣成功的擬合。因此，我們將每個橫截面樣本整體分為樣本內(nèi)和樣本外兩個子樣本，目的就是要對比同一個模型在樣本內(nèi)與樣本外擬合的差異，特別要檢查樣本內(nèi)擬合優(yōu)度最高的模型是否在樣本外也能實現(xiàn)最高的擬合優(yōu)度。

(17)

表2 月加權(quán)RMSE累計總和，2009/01—2018/12

(二)中國國債市場的擬合結(jié)果

綜上所述，基于中國國債市場現(xiàn)狀，MED模型在樣本期比其他兩個模型具有更好的擬合性能，且過度擬合程度最低。因此，MED模型在中國銀行間國債市場有更好的應(yīng)用價值。與此同時，我們也驗證了SNC模型和NSS模型在應(yīng)用上的優(yōu)勢和局限：SNC模型雖然存在過度擬合的情況，但同樣具有不錯的擬合效果，在某些情況下可作為收益率曲線擬合的備選模型；而NSS模型表現(xiàn)明顯弱于其他兩個模型，不推薦將其運(yùn)用于中國銀行間國債市場。

五、結(jié)論

本文著眼于利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)插值模型，重點研究適用于中國銀行間市場國債收益率曲線擬合的實證模型。在研究中國債券市場的文獻(xiàn)中，本文的亮點有三。首先，本文首次將MED模型引入中國市場，嘗試用其擬合中國無風(fēng)險收益率曲線。其次，本文摒棄穩(wěn)健性和計算效率均不佳的非線性最優(yōu)化估計法，轉(zhuǎn)而采用McCulloch和Kochin(2000)[5]提出的迭代線性最小二乘法進(jìn)行未知系數(shù)估計。最后，按照Guo(2019)[7]提出的參數(shù)選擇最優(yōu)化方法對非參模型進(jìn)行最優(yōu)調(diào)整，即通過DW檢驗或其他序列相關(guān)檢驗確保擬合殘差項為白噪音序列，并結(jié)合BIC值確定模型整體擬合優(yōu)度。綜合兩項檢驗的結(jié)果，同時考慮模型的有效性、最優(yōu)性和簡約性，逐期選擇最合適的參數(shù)個數(shù)和模型具體設(shè)定。

附錄

數(shù)據(jù)預(yù)處理及樣本分組

中國銀行間國債市場數(shù)據(jù)源自Wind金融數(shù)據(jù)庫。在進(jìn)行估計之前，需要對數(shù)據(jù)庫原始數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選、分組和預(yù)處理。首先，計算附息國債的到期收益率，此處計算使用的債券價格為加權(quán)雙邊買賣均價凈價計算出的相應(yīng)全價(dirty/full price)?？紤]到中國國債存在半年付息一次與一年付息一次兩種息票現(xiàn)金流形式，我們分別將計算出的不同離散復(fù)利到期收益率A轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利到期收益率R：

接下來對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，建立樣本池。首先，對于發(fā)行期限在一年以下(不包括一年)的零息債券，全部包含在樣本池中。其次，對于發(fā)行期限在一年及一年以上的附息債券，需進(jìn)行篩選。如果有兩只或兩只以上的債券具有相同的到期日，僅挑選具有最小買賣價差的那只債券進(jìn)入樣本池。再次，剔除所有發(fā)行期限大于一年但剩余期限小于一年的附息債券。最后，遵循Bliss(1996)[24]，剔除含權(quán)和特殊流動性問題的個券(13)在本研究樣本期間，銀行間市場流通的國債中沒有含權(quán)債券。。

之后，將經(jīng)過篩選的月度橫截面樣本分為兩個子樣本集——樣本內(nèi)子集和樣本外子集，各占樣本全集大約50%。對于正文中定義的每個期限區(qū)間，我們結(jié)合買賣價差和成交量進(jìn)行分組：有成交量數(shù)據(jù)并且買賣價差較小的債券具有較高的流動性，交易較為活躍，優(yōu)先選入樣本內(nèi)子集。因此，所有活躍券(包括on-the-run債券)均被分入樣本內(nèi)子集用于估計。

表3展示了樣本期所有樣本券在不同樣本子集以及不同期限子區(qū)間的分布情況。大多數(shù)期限子區(qū)間基本按照其成交量情況分組：有成交量數(shù)據(jù)的債券優(yōu)先分入樣本內(nèi)子集，無成交量數(shù)據(jù)的債券進(jìn)入樣本外子集，因此兩個子樣本組間可能存在一定差異。期限在一年以下的債券具有較高的流動性，因此更多的被分配在樣本內(nèi)。在分組時，發(fā)行期限為一年的附息債券與零息債券具有一定的替代關(guān)系，因此其分配情況與零息債券相反，更多的被放在樣本外數(shù)據(jù)組。由表中數(shù)據(jù)可以看出期限在30～50年的流通券數(shù)量較少，為均衡兩個子樣本組的數(shù)據(jù)分配，此區(qū)間內(nèi)樣本基本按照50%的比例進(jìn)行分配。

表3 樣本債券分組統(tǒng)計

注：樣本期為2009年1月至2018年12月，共選取了中國銀行間國債市場120個月的月末數(shù)據(jù)。