莊光明，梁文欽，郭寶英，趙國(guó)威，馬 琨，趙軍圣

（1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059；2.聊城市水城中學(xué)，山東 聊城252000；3.聊城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東聊城252000）

0 引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究、揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用［1，2］。自從柯?tīng)柲衤宸颍↘olmogorov）于1933年給出了隨機(jī)事件的概率P（A）的公理化定義，幾十年來(lái)，包括許寶騄在內(nèi)的眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究，優(yōu)秀成果不斷涌現(xiàn)［3-5］。然而，國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的諸多研究成果語(yǔ)言比較專(zhuān)業(yè)化，不夠通俗易懂，而且主要注重的是理論推導(dǎo)，對(duì)問(wèn)題的闡述和證明非?？菰?，使學(xué)習(xí)對(duì)象望而卻步，提不起深入學(xué)習(xí)的興趣。

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的長(zhǎng)期課堂教學(xué)過(guò)程中，作者發(fā)現(xiàn)這門(mén)重要基礎(chǔ)課程的課堂教學(xué)往往存在著以下幾個(gè)方面的問(wèn)題和窘境：

（1）缺乏實(shí)踐學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新應(yīng)用?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一門(mén)很注重實(shí)踐應(yīng)用的學(xué)科，從最初的賭博和博弈、巴拿赫火柴盒問(wèn)題、布豐投針實(shí)驗(yàn)，到現(xiàn)在的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、金融數(shù)據(jù)分析、Monte Carlo隨機(jī)模擬等等，無(wú)不體現(xiàn)了實(shí)踐與應(yīng)用［6-8］。然而，在現(xiàn)實(shí)的課堂上，教師和學(xué)生往往都缺乏對(duì)實(shí)踐與應(yīng)用的重視，只關(guān)心考試，忽略了應(yīng)用。這很大程度上導(dǎo)致了授課對(duì)象逐漸失去了對(duì)本課程深入學(xué)習(xí)的興趣，創(chuàng)新應(yīng)用更加無(wú)從談起。

（2）重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)抓不住本質(zhì)，不會(huì)學(xué)以致用。很多授課對(duì)象不能準(zhǔn)確地闡述隨機(jī)事件的概率P（A）、制。隨機(jī)變量X等基本概念的本質(zhì)和應(yīng)用。很多同學(xué)不清楚引入隨機(jī)變量的目的，不能清晰地理解實(shí)際推斷原理，在學(xué)習(xí)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)很難準(zhǔn)確地給出拒絕域和接受域。諸如全概率公式、貝葉斯（Bayes）公式、大數(shù)定律，中心極限定理、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析等重要知識(shí)點(diǎn)，很多授課對(duì)象沒(méi)有從根本上理解其本質(zhì)和機(jī)理，只是為了考試死記硬背知識(shí)點(diǎn)，往往不能學(xué)以致用，非常迷茫和困惑。

（3）在課堂教學(xué)中不能深刻理解復(fù)雜概率問(wèn)題的本質(zhì)。在課堂教學(xué)中如果不借助現(xiàn)代多媒體技術(shù)，很難讓學(xué)生明白諸如多維聯(lián)合密度函數(shù)、邊際密度函數(shù)、條件密度函數(shù)等概念的本質(zhì)。例如，學(xué)生很難深刻理解二維正態(tài)分布（Gauss分布）的密度函數(shù)：

對(duì)其實(shí)際應(yīng)用更是無(wú)法開(kāi)展。

（4）由于對(duì)基本概念理解不夠深刻，不能舉一反三，大量的習(xí)題不會(huì)做，學(xué)生無(wú)力參加研究生考試和各類(lèi)晉級(jí)考試。由于抓不住重要知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，授課對(duì)象只是簡(jiǎn)單地死記硬背，結(jié)果導(dǎo)致大量的練習(xí)題不會(huì)做，期末考試勉強(qiáng)過(guò)關(guān)，害怕參加大型考試，沒(méi)有能力參加研究生考試和各類(lèi)晉級(jí)考試。這種狀況嚴(yán)重制約了授課對(duì)象的自身發(fā)展和職業(yè)上升空間，也不利于個(gè)人工作能力的提升。

（5）學(xué)生不會(huì)操作相應(yīng)的應(yīng)用軟件，不會(huì)編程，埋沒(méi)了本學(xué)科自身廣泛的應(yīng)用價(jià)值，制約了本學(xué)科服務(wù)社會(huì)的能力。SPSS、SAS、Eviews、Matlab等統(tǒng)計(jì)軟件可以很好地解決《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中遇到的實(shí)際問(wèn)題，極大地減少計(jì)算工作量。但是，在實(shí)際的課堂教學(xué)中教師一般只講授知識(shí)點(diǎn)，授課對(duì)象對(duì)上述統(tǒng)計(jì)軟件了解甚少，當(dāng)遇到處理大數(shù)據(jù)量的實(shí)際問(wèn)題時(shí)無(wú)能為力，少數(shù)同學(xué)雖然知道用這些軟件，但缺乏對(duì)軟件的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的處理也是無(wú)所適從。

1 本學(xué)科線上線下混合式教學(xué)闡釋

作為一種新興的教育形式，在線學(xué)習(xí)符合當(dāng)今信息化社會(huì)網(wǎng)絡(luò)化的學(xué)習(xí)潮流，正在改變著實(shí)體課堂的傳統(tǒng)教學(xué)模式。在線學(xué)習(xí)中教師提供以教學(xué)課件、視頻為主要形式的學(xué)習(xí)資源，學(xué)生在線觀看課件、視頻，借助于網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行師生間、生生間的交流互動(dòng)，完成預(yù)設(shè)的在線測(cè)試作業(yè)、在線考試等［9-11］。這是對(duì)“課上教師講授+課下學(xué)生作業(yè)”的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式的補(bǔ)充和拓展，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)模式必將產(chǎn)生巨大的沖擊。

在線課程一般分為大型開(kāi)放式和小規(guī)模限制性課程。MOOC（Massive Open Online Courses），即大型開(kāi)放式在線課程［12-15］；SPOC（Small Private Online Courses），即小規(guī)模限制性在線課程［16-19］?；旌鲜綄W(xué)習(xí)最早是指線上與線下的混合，即“E（Electronic Learning）+C（Classroom）”，當(dāng)人們認(rèn)識(shí)到單一的ELearning模式并不能取得滿意的效果時(shí)，開(kāi)始考慮E-Learning與傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)合，通過(guò)實(shí)踐取得了很好的效果［12-20］。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，除要求學(xué)習(xí)者掌握基本知識(shí)點(diǎn)之外，還要求學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)點(diǎn)深層次的探究和應(yīng)用。實(shí)踐教學(xué)可以讓學(xué)習(xí)者深刻理解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，強(qiáng)化訓(xùn)練重點(diǎn)和難點(diǎn)。將《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》實(shí)踐教學(xué)成果系統(tǒng)化后轉(zhuǎn)化為在線課程，教師要求學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，線下回到學(xué)校的課堂上與老師、同學(xué)進(jìn)行交互式學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻把握，節(jié)約課堂課時(shí)量，避免教師的滿堂灌而教學(xué)效果不佳的窘境，亟待得到加強(qiáng)。

因此，為了使得相關(guān)專(zhuān)業(yè)能夠達(dá)到對(duì)學(xué)生探索精神、科學(xué)思維、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)要求，必須大力提升實(shí)踐教學(xué)理念，借助先進(jìn)的在線學(xué)習(xí)方式，整合與優(yōu)化線上線下混合式教學(xué)方式，更新課程內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法和技術(shù)手段，改革考試考核和成績(jī)?cè)u(píng)定方法。通過(guò)對(duì)本學(xué)科線上線下混合式教學(xué)模式的探索，促進(jìn)學(xué)生對(duì)金融學(xué)、控制論、排隊(duì)論、信息論和決策論等交叉學(xué)科的初步認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)對(duì)新世紀(jì)高級(jí)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)［21-24］。

基于以上分析，非常有必要開(kāi)展對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》線上線下混合式教學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新應(yīng)用的研究。迄今為止，對(duì)本學(xué)科線上線下混合式教學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新應(yīng)用的研究相對(duì)來(lái)說(shuō)還比較薄弱，亟待加強(qiáng)和完善。

2 目標(biāo)與方案

本著促進(jìn)教學(xué)、服務(wù)社會(huì)的目的，圍繞實(shí)踐教學(xué)與創(chuàng)新應(yīng)用這個(gè)中心，在積極推進(jìn)實(shí)踐教學(xué)的基礎(chǔ)上逐步開(kāi)展對(duì)線上線下混合式教學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新應(yīng)用的研究。具體研究目標(biāo)是：

（1）建立起完善的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》實(shí)踐教學(xué)大綱、實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)，將實(shí)踐教學(xué)成果轉(zhuǎn)化為在線課程，突出線上線下混合式教學(xué)；

（2）依托在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，建設(shè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》在線教學(xué)課程，積極開(kāi)展微課、慕課（MOOC）、SPOC及精品課程的建設(shè)；

（3）優(yōu)化課堂教學(xué)，師生互動(dòng)，注重應(yīng)用，提高課堂效率，修訂教材，編寫(xiě)相應(yīng)的課件、習(xí)題集；

（4）基于應(yīng)用型的課堂教學(xué)，通過(guò)實(shí)習(xí)支教、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、服務(wù)社會(huì)等手段強(qiáng)化實(shí)踐教學(xué)，促進(jìn)課堂教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新應(yīng)用能力；

（5）探索線上線下混合式教學(xué)與創(chuàng)新應(yīng)用的新思路，尋找?guī)熒?dòng)、避免滿堂灌教學(xué)模式的新方法，提高課堂效率和應(yīng)用能力，努力提升服務(wù)社會(huì)的能力。

圖1 線上線下混合式教學(xué)研究方案

如圖1，研究方案總體思路：

（1）將重要的實(shí)踐教學(xué)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為微課和SPOC；

（2）加強(qiáng)課堂教學(xué)，側(cè)重知識(shí)點(diǎn)融匯貫通，強(qiáng)化練習(xí)應(yīng)用，師生互動(dòng)；

（3）根據(jù)SPOC反饋的情況，優(yōu)化課堂教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)；

（4）結(jié)合課堂教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)，基于已有的微課和SPOC課程，適時(shí)開(kāi)展MOOC建設(shè)，重點(diǎn)突出教學(xué)大綱中的重點(diǎn)和難點(diǎn)；

（5）將微課、SPOC、MOOC等在線課程教學(xué)情況反饋到課堂教學(xué)，進(jìn)一步優(yōu)化課堂教學(xué)，避免滿堂灌輸，減輕課堂壓力，提高課堂效率。

3 措施分析

（1）針對(duì)缺乏實(shí)踐創(chuàng)新的現(xiàn)象，在實(shí)踐教學(xué)中應(yīng)注重理論聯(lián)系實(shí)際，積極挖掘課本知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用。在針對(duì)貝葉斯（Bayes）公式的課堂教學(xué)中，作者引入了如下的實(shí)際問(wèn)題：統(tǒng)計(jì)表明約80%的感冒由病毒引起，另有約20%的感冒由細(xì)菌引起。目前比較常用的判斷感冒類(lèi)型的輔助手段是通過(guò)血常規(guī)檢查白細(xì)胞計(jì)數(shù)。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)顯示，患細(xì)菌性感冒的人中70%白細(xì)胞計(jì)數(shù)增多，而病毒性感冒者白細(xì)胞計(jì)數(shù)增多的比例只有10%.如何判斷白細(xì)胞增多是由病毒性感冒還是細(xì)菌性感冒引起的呢？

令A(yù)＝｛患細(xì)菌性感冒｝，B＝｛白細(xì)胞計(jì)數(shù)增多｝，則由題意知

由貝葉斯（Bayes）公式，得

（2）很多同學(xué)不清楚引入隨機(jī)變量的目的：將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，通過(guò)分布函數(shù)作為橋梁，借助高等數(shù)學(xué)中函數(shù)、求和、積分等工具來(lái)研究復(fù)雜隨機(jī)事件的概率問(wèn)題，完整地刻畫(huà)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。通過(guò)對(duì)比高等數(shù)學(xué)中單值函數(shù)f（x）的定義，可以清楚地闡述：

P（A）：滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性的單值、實(shí)值的集合函數(shù)，

X（e）：定義在樣本空間S＝｛e｝上的單值、實(shí)值的集合函數(shù)，

可見(jiàn)，P（A）、X（e）與高等數(shù)學(xué)中的單值實(shí)值函數(shù)f（x）本質(zhì)上是一致的。

應(yīng)用MATLAB軟件編寫(xiě)程序，實(shí)現(xiàn)了一維正態(tài)、二維正態(tài)和條件概率密度函數(shù)圖像，如圖2-5所示。此時(shí)，

圖2 一維正態(tài)概率密度函數(shù)——鐘形曲線

圖4ρ≠0時(shí)條件概率密度函數(shù)

圖5ρ＝0時(shí)條件概率密度函數(shù)

在實(shí)踐教學(xué)中積極開(kāi)展邊際密度函數(shù)、條件密度函數(shù)三維立體圖像的程序和軟件的研發(fā)，然后將這些實(shí)踐教學(xué)成果轉(zhuǎn)化為在線課程，展示出密度函數(shù)的三維立體剖面圖，學(xué)生會(huì)深刻理解多維密度函數(shù)和分布函數(shù)的概念及其重要應(yīng)用價(jià)值，完成對(duì)聯(lián)合密度函數(shù)的二重積分，輕松計(jì)算如下復(fù)雜事件的概率：

上述舉措不但可以促進(jìn)課堂教學(xué)，而且可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新應(yīng)用能力。

由正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖6，易得Φ（+∞）＝1，

圖6 正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)

圖7 雙邊檢驗(yàn)的拒絕域與接受域

從而避免了高等數(shù)學(xué)上用極坐標(biāo)變換來(lái)得到上述積分的復(fù)雜計(jì)算。若計(jì)算∫，只要做變量代換，令t＝x-，則 dt＝dx，且有

因此，只要根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中Φ（+∞）＝1的性質(zhì)，上述積分問(wèn)題迎刃而解。加強(qiáng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)φ（x）和分布函數(shù)Φ（x）的實(shí)踐教學(xué)，學(xué)習(xí)密度函數(shù)和分布函數(shù)的編程和仿真計(jì)算，具有明顯的實(shí)際意義。再將實(shí)踐教學(xué)成果轉(zhuǎn)化為在線課程，讓同學(xué)們隨時(shí)隨地方便地在線學(xué)習(xí)，必將促進(jìn)課堂教學(xué)效果的提升。

（5）很多授課對(duì)象不理解實(shí)際推斷原理：小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生，而這正是顯著性假設(shè)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)，從而很難準(zhǔn)確地給出假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域和接受域。例如：設(shè)某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分布N（26，5.22），現(xiàn)在抽取樣本容量為100的一個(gè)樣本，計(jì)算其樣本均值請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在的生產(chǎn)是否正常？（設(shè)顯著性水平α＝0.05）.

由于總體分布的樣本方差已知，可以使用U檢驗(yàn)法.根據(jù)題意，需要檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ＝26，H1：μ≠26，選用統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算得

（6）在深刻理解事件概率、隨機(jī)變量、隨機(jī)過(guò)程等概念的基礎(chǔ)上，作者進(jìn)行了正態(tài)分布、Brown運(yùn)動(dòng)（Wiener過(guò)程）、Markov過(guò)程等隨機(jī)過(guò)程的Matlab實(shí)現(xiàn)，完成了隨機(jī)系統(tǒng)的Monte carlo仿真與建模。我們探索了具有如圖8所示的3個(gè)模態(tài)的Markov跳變系統(tǒng)模態(tài)跳變程序的編寫(xiě)。

不難看出，在實(shí)踐教學(xué)中通過(guò)對(duì)大量實(shí)際問(wèn)題的仿真訓(xùn)練，可以讓學(xué)生深刻理解重要知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)和形成機(jī)理，而且在反復(fù)訓(xùn)練中舉一反三，計(jì)算能力在實(shí)踐訓(xùn)練中不斷被提升。再將這些實(shí)踐教學(xué)成果轉(zhuǎn)化為在線課程，將會(huì)極大地提高課堂教學(xué)水平和服務(wù)社會(huì)的能力。

圖8 Markov跳變系統(tǒng)模態(tài)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的若干棘手問(wèn)題，詳細(xì)闡釋了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》線上線下混合式教學(xué)模式的研究意義、研究目標(biāo)和研究方法，給出了具體、詳實(shí)的研究方案和執(zhí)行措施。本文的中心舉措是將重要的實(shí)踐教學(xué)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為微課和SPOC，根據(jù)SPOC反饋的情況，優(yōu)化課堂教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)；結(jié)合課堂教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)，基于已有的微課和SPOC課程，適時(shí)開(kāi)展MOOC的建設(shè)；將微課、SPOC、MOOC等在線課程教學(xué)情況反饋到課堂教學(xué)，進(jìn)一步優(yōu)化課堂教學(xué)。本文將課堂教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)和在線學(xué)習(xí)有機(jī)地融合為一體，凸顯了課堂教學(xué)成果、實(shí)踐教學(xué)成果轉(zhuǎn)化為在線課程的優(yōu)勢(shì)及在線學(xué)習(xí)促進(jìn)、優(yōu)化課堂教學(xué)的能力。