李慶容

摘 要 針對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的高斯公式教學(xué)中存在數(shù)學(xué)理論化較重、實(shí)際應(yīng)用不強(qiáng)等問(wèn)題，采用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，緊密聯(lián)系實(shí)際物理背景，在矢量分析基礎(chǔ)上，通過(guò)發(fā)現(xiàn)、直覺(jué)、探究和提取，介紹散度及其在物理上的應(yīng)用，歸納出高斯公式的具體形式，對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)，具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 高斯公式 散度

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.01.049

Research on Gauss Formula Teaching Based on Physical Meaning

LI Qingrong

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract Aiming at the problems of heavy mathematical theorizing and weak practical application in the teaching of Gaussian formula in college mathematics， the discovery teaching method is used to closely connect with the actual physical background. Based on vector analysis， through the discovery， intuition， exploration and extraction， the introduction of divergence and its application in physics summarize the specific form of the Gauss formula， which has certain reference significance for the cultivation of students' application ability.

Keywords discovery teaching method; Gauss formula; divergence

高斯公式是微積分學(xué)中非常重要的一個(gè)公式，思維上繼承了微積分基本公式、格林公式“馭繁于簡(jiǎn)”的思想，揭示了曲面積分和三重積分的聯(lián)系，方法上一定程度地解決了曲面積分繁雜的計(jì)算問(wèn)題，形式上統(tǒng)一了與上述兩個(gè)公式具有類(lèi)似的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式;物理應(yīng)用上，由高斯公式發(fā)展而來(lái)的高斯定理，是靜電場(chǎng)中不可或缺的重要工具。受學(xué)時(shí)和專(zhuān)業(yè)的限制，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上主要側(cè)重于高斯公式的介紹和定理的證明，課后習(xí)題也側(cè)重于計(jì)算，較少涉及應(yīng)用，一方面推導(dǎo)過(guò)程抽象，不易理解，另一方面學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)離實(shí)際很遠(yuǎn)，產(chǎn)生“數(shù)學(xué)無(wú)用”的思想，導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高，但是在大學(xué)物理等其它學(xué)科的學(xué)習(xí)時(shí)又不會(huì)用，尤其在對(duì)電磁學(xué)相關(guān)問(wèn)題要用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理時(shí)，覺(jué)得無(wú)從下手，成功的用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的時(shí)候很少。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，利用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，探索高斯公式在數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)，為數(shù)學(xué)上針對(duì)本次課的教學(xué)改革提供一些有益的參考。

1 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法簡(jiǎn)介

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，[1]上世紀(jì)50年代由美國(guó)的教育學(xué)家布魯納首先提出，該方法遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，注重思維過(guò)程，在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，不直接把現(xiàn)成的理論成果提供給學(xué)生，而是從學(xué)生好奇、喜究的心理特點(diǎn)出發(fā)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)教材和教師提供的材料，自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者而不是被動(dòng)的接受者。一般操作流程是：首先是創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;其次是提出問(wèn)題，形成探究動(dòng)機(jī);然后是引導(dǎo)觀(guān)察、分析比較，提出假說(shuō);最后是驗(yàn)證假說(shuō)，得出結(jié)論。運(yùn)用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法時(shí)，需要強(qiáng)調(diào)四個(gè)方面：（1）發(fā)現(xiàn)過(guò)程（即“好奇”的過(guò)程）;（2）直覺(jué)思維（防止過(guò)早結(jié)論化）;（3）內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)（即“喜究”的心理，具有對(duì)知識(shí)探究的內(nèi)在的興趣）;（4）信息提?。础皻w納提煉”的過(guò)程，對(duì)新知識(shí)加以組織，形成內(nèi)化效果）。

2 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的實(shí)施

高斯公式的傳統(tǒng)教學(xué)立足于數(shù)學(xué)角度，從解決曲面積分計(jì)算問(wèn)題入手，引出公式，利用重積分理論進(jìn)行分析證明，然后舉例應(yīng)用，最后介紹物理上的通量、散度概念，[2]這種教學(xué)方式有一定的不足，缺乏實(shí)際背景，主要是就數(shù)學(xué)講數(shù)學(xué)，學(xué)生容易在諸多積分的學(xué)習(xí)中引起混淆，更是不知道在其他方面有何應(yīng)用。針對(duì)現(xiàn)行教學(xué)中存在的問(wèn)題，現(xiàn)利用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，在科學(xué)實(shí)施的基礎(chǔ)上，緊扣實(shí)際背景，主要從物理意義出發(fā)，對(duì)學(xué)生激趣，然后逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、探究和提煉，本次設(shè)計(jì)由曲面積分的物理意義，即通量出發(fā)，探究閉合曲面通量問(wèn)題，引出散度概念，由散度和通量的關(guān)系，歸納出高斯公式，這種設(shè)計(jì)遵循教育規(guī)律，學(xué)生能夠既理解所學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，又學(xué)習(xí)了科學(xué)的研究方法，并且掌握了公式的應(yīng)用。具體實(shí)施過(guò)程如下：

2.1 實(shí)施過(guò)程

2.1.1 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——任一點(diǎn)處通量

設(shè)不可壓縮流體的流速為，當(dāng)通過(guò)曲面時(shí)，則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲面的通量為：。若為方向向外的閉合曲面，則通量為?，F(xiàn)需要研究曲面內(nèi)任一點(diǎn)處的通量，顯然現(xiàn)有公式已不適合。如何合理有效的解決？這時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的問(wèn)題，也必然想辦法去解決問(wèn)題。

2.1.2 直覺(jué)思維——借助微元法

直覺(jué)思維很重要，教師可以略作提示引導(dǎo)，此時(shí)就是利用高等數(shù)學(xué)里的微元法思想，借鑒導(dǎo)數(shù)求解瞬時(shí)速度的方法，將閉曲面∑所包圍的體積進(jìn)行劃分，其中點(diǎn)包含在中，其曲面為，則得到點(diǎn)M的通量應(yīng)該為，但無(wú)法回避極限的計(jì)算困難，必須尋求其它有效方法來(lái)解決。又出現(xiàn)了問(wèn)題，怎么辦？

2.1.3 “喜究”心理——散度定義[3]

教師要鼓勵(lì)學(xué)生，進(jìn)行進(jìn)一步思考和探索?？紤]一個(gè)平行于坐標(biāo)面的微長(zhǎng)方體，邊長(zhǎng)為，其體中心坐標(biāo)為（），易知在長(zhǎng)方體的表面計(jì)算的積分即為六面積分之和。如圖1所示。

考察圖1中標(biāo)記為的面，易知有。因面中心的坐標(biāo)為，因此。同理，在其相對(duì)的面，有，兩式合并，得

，

利用，變形得

，

兩邊取極限，有

，

其他四個(gè)面類(lèi)似處理可得，于是

，

該結(jié)果表明通量的極限并不依賴(lài)于體積的幾何形狀，且這個(gè)量是標(biāo)量，不同點(diǎn)有不同的值，記作，稱(chēng)為散度。

將哈密爾頓算子與進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，得到。

繼續(xù)考慮由封閉曲面∑包圍的體積 ，將其任意劃分成個(gè)微幾何體，為研究方便，本文取內(nèi)部的一個(gè)立方體，如圖2所示。易知通過(guò)曲面∑的通量應(yīng)等于通過(guò)每一個(gè)小體積的面的通量之和，即，這里是包圍小體積的面。觀(guān)察圖3，可以發(fā)現(xiàn)，除了部分外表面，通過(guò)內(nèi)部的立體面的通量會(huì)相互抵消，從而通過(guò)曲面∑的通量?jī)H來(lái)自于這些小立體面的和相加構(gòu)成的面∑。這時(shí)獲得了初步的成果，雖然和預(yù)先設(shè)想的不完全一致，但為成功解決本課次問(wèn)題提供了方向，應(yīng)該繼續(xù)探究下去。

2.1.4 信息提取——高斯公式

將進(jìn)行變形，得：

，

結(jié)合三重積分的定義，上式有

因?yàn)?，，從?/p>

，此即為高斯公式的形式，再進(jìn)行必要的條件完善和補(bǔ)充，即可得到數(shù)學(xué)教材中所給的高斯公式和物理教材上的高斯定理。[4]

2.2 不同坐標(biāo)系下的散度公式

柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系也是工程中常見(jiàn)的坐標(biāo)系，實(shí)際應(yīng)用也較為廣泛，因此在教學(xué)中有必要拓展一下這兩個(gè)坐標(biāo)系下的高斯公式問(wèn)題。具體推導(dǎo)過(guò)程有一定的繁瑣性，教師可以把其作為參考資料發(fā)放給學(xué)生，讓學(xué)有余力的學(xué)生借鑒和參考，一定程度上也體現(xiàn)了因材施教、分層教學(xué)的理念。具體推導(dǎo)過(guò)程如下：

柱坐標(biāo)系中變量有，設(shè)其對(duì)應(yīng)單位向量分別為，，，由正交性及與直角坐標(biāo)系的關(guān)系，有，或，，。設(shè)，，表示的分量，由于，從而。

球坐標(biāo)系中變量為，設(shè)其對(duì)應(yīng)單位向量分別為，由正交性及與直角坐標(biāo)系的關(guān)系，有，，或，，。設(shè)，，表示的分量，類(lèi)似有，從而。

3 結(jié)束語(yǔ)

多元函數(shù)積分學(xué)是大學(xué)物理課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)所涉及到的積分類(lèi)型比較多，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍感到各類(lèi)積分交織在一起，容易產(chǎn)生混淆，特別是高斯公式、斯托克斯公式及物理應(yīng)用，更使得學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒，學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí)又不會(huì)應(yīng)用，導(dǎo)致大學(xué)物理的學(xué)習(xí)困難。實(shí)際上只要緊密聯(lián)系實(shí)際物理背景，采用合理的教學(xué)方法，積極發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)探索意識(shí)，就能使學(xué)生由厭學(xué)變樂(lè)學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 布魯納.發(fā)現(xiàn)的行為[J].哈佛教育評(píng)論，1961年冬季號(hào).

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3] H.M斯徹.散度、旋度、梯度釋義[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2017.

[4] 姜大華等.大學(xué)物理[M].北京：科學(xué)出版社，2017.11.