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        定常Navier-Stokes方程的三個(gè)梯度-散度穩(wěn)定化Taylor-Hood有限元

        2021-07-15 09:09:30王炷霖敬璐如馮民富
        關(guān)鍵詞:有限元

        王炷霖, 敬璐如, 馮民富

        (四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

        1 引 言

        Navier-Stokes方程(簡(jiǎn)稱(chēng)NS方程)是描述不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程.解NS方程的有限元法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要課題之一.

        作為一個(gè)比較常用的有限元空間,Taylor-Hood有限元空間(簡(jiǎn)稱(chēng)TH元)采用連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間,連續(xù)的分片k-1次多項(xiàng)式空間作為壓力逼近空間.文獻(xiàn)[1-3]介紹了Scott-Vogelius有限元空間(簡(jiǎn)稱(chēng)SV元),其速度逼近空間也采用連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間,壓力逼近空間則采用非連續(xù)的分片k-1次多項(xiàng)式空間.

        在解不可壓縮流問(wèn)題時(shí),TH元有比較廣泛的應(yīng)用.利用TH元雖能得到連續(xù)的速度及壓力,但其離散速度解往往不滿足質(zhì)量守恒性質(zhì).文獻(xiàn)[9-12]討論了NS方程的帶梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)的有限元法,表明梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)可以有效降低離散速度解的散度.此外,文獻(xiàn)[13-14]證實(shí)當(dāng)梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù)γ→∞時(shí),梯度-散度穩(wěn)定化TH元離散解逼近SV混合有限元離散解.

        有限元法求解偏微分方程最終歸結(jié)于解線性方程組.許多研究致力于發(fā)展有效求非線性NS方程有限元離散解的算法.其中,文獻(xiàn)[15]介紹了求定常NS方程有限元離散解的迭代方法,并證明了在一定的強(qiáng)唯一性條件下某些迭代格式能夠得到收斂到真解的離散解.文獻(xiàn)[16-17]分別對(duì)比了三種求齊次和非齊次定常NS方程有限元離散解的迭代格式.受文獻(xiàn)[13-14,16]啟發(fā),我們將文獻(xiàn)[16]中求NS方程有限元離散解的迭代格式推廣到梯度-散度穩(wěn)定化迭代格式,用梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)克服TH元解不滿足質(zhì)量守恒性質(zhì)的問(wèn)題.在強(qiáng)唯一性條件下,我們證明了這些梯度-散度穩(wěn)定化TH元迭代格式的解在一定的迭代次數(shù)下逼近SV混合有限元離散解,且當(dāng)梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù)γ→∞時(shí)TH元離散迭代解的散度趨于零.利用TH元求NS方程離散解時(shí),相較于文獻(xiàn)[16]中的三種迭代格式,本文提出的三種穩(wěn)定化迭代格式的解能夠更好的滿足質(zhì)量守恒性質(zhì).數(shù)值模擬驗(yàn)證了這一結(jié)論.

        2 預(yù)備知識(shí)

        考慮二維多邊形區(qū)域Ω上的定常NS方程

        (1)

        對(duì)X賦予范數(shù)‖v‖X=‖?v‖.一般地,f∈X′的范數(shù)

        眾所周知,TH元取Ω上連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間,壓力逼近空間則是取Ω上連續(xù)的k-1次分片多項(xiàng)式空間.SV元同樣以Ω上連續(xù)的分片k次多項(xiàng)式空間作為速度逼近空間,其壓力逼近空間也采用k-1次多項(xiàng)式空間,與TH元不同的地方僅在于SV元的壓力逼近空間不要求在Ω上連續(xù).當(dāng)取特定網(wǎng)格剖分且選擇合適的多項(xiàng)式次數(shù)時(shí)SV元是LBB穩(wěn)定的,而TH元在以上情況下都是LBB穩(wěn)定的.以下假設(shè)SV元與TH元是在特定網(wǎng)格剖分Λh下建立的LBB穩(wěn)定的有限元空間.

        定義TH元和SV元的速度有限元逼近空間為

        vh=0 on ?Ω}.

        對(duì)TH元,定義其壓力有限元逼近空間

        定義SV元的壓力有限元逼近空間

        盡管TH元和SV元有相同的速度有限元逼近空間,但是它們的弱無(wú)散有限元子空間是不同的.定義

        分別定義X×X,X×Q上的雙線性形式

        aγ(u,v)=(?u,?v)+γ(?·u,?·v),

        ?(u,v)∈X×X,

        b(v,q)=-(?·v,q),?(v,q)∈X×Q.

        對(duì)TH元和SV元,都存在β>0,使得

        (2)

        定義F(v)=(f,v),?v∈X.

        在后面的分析中需要用到以下引理.

        引理2.1[16]存在只與Ω,h有關(guān)的常數(shù)CS,使得對(duì)uh,vh,wh∈Xh有

        |b*(uh,vh,wh)|≤

        CS‖?uh‖·‖?vh‖·‖?wh‖

        (3)

        引理 2.2[14]?M<∞,使得對(duì)任意rh∈Rh,

        ‖?rh‖≤M‖?·rh‖

        (4)

        下面我們研究四種求解定常NS方程的有限元.SV混合有限元法:

        a0(uh,vh)+b*(uh,uh,vh)+

        b(vh,ph)=F(vh),b(uh,qh)=0

        (5)

        梯度-散度穩(wěn)定化TH元1:

        (6)

        梯度-散度穩(wěn)定化TH元2:

        (7)

        梯度-散度穩(wěn)定化TH元3:

        (8)

        (9)

        在唯一性條件

        CSν-2‖f‖-1<1

        (10)

        利用SV元,我們可以得到無(wú)散的離散速度解,但得到的離散壓力解是不連續(xù)的.另一方面,利用TH元雖得到了連續(xù)的離散壓力解,但離散速度解不是無(wú)散的.本節(jié)中我們將證明在γ→+∞時(shí)梯度-散度穩(wěn)定化TH元1~3可以得到散度趨于零的離散速度解和連續(xù)的離散壓力解,且梯度-散度穩(wěn)定化TH元在強(qiáng)唯一性條件下隨迭代次數(shù)增加逼近SV元解.

        引理3.1設(shè)唯一性條件(10)成立.則對(duì)問(wèn)題(5)的解uh有

        ‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1,?n≥1

        (11)

        (12)

        4CSν-2‖f‖-1<1

        (13)

        下有

        (14)

        (15)

        下有

        (16)

        證明 在問(wèn)題(5)中取vh=uh有

        ν‖?uh‖2=(f,uh)≤‖f‖-1‖?uh‖.

        由Young不等式得

        ‖?uh‖≤ν-1‖f‖-1.

        同理可證式(12).

        即式(14)成立.同理可證(16).證畢.

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        證明 由問(wèn)題(5)(6)有

        又由式(5)(9)知

        故式(18)成立.同理可得式(19).

        又由式(16)知

        顯然,當(dāng)n=0時(shí)(20)式成立.假設(shè)n=J時(shí)(20)式成立.則由上式可得當(dāng)n=J+1時(shí)(20)式成立.證畢.

        C‖f‖-1(CSν-2‖f‖-1)n

        (21)

        C‖f‖-1(3CSν-2‖f‖-1)n

        (22)

        (23)

        證明 由問(wèn)題(5)(6)有

        即(21)式成立.同理可證(22)(23)式成立.證畢.

        4 數(shù)值算例

        例4.1在問(wèn)題(1)中取Ω=[0,1]×[0,1],f及邊界條件由二維定常NS方程的精確解確定.設(shè)精確解為

        u1=10(x4-2x3+x2)(2y3-3y2+y),

        u2=-10(y4-y3+y2)(2x3-3x2+x),

        p=10(2x-1)(2y-1).

        取k=2.采用圖1所示10×10重心細(xì)分網(wǎng)格剖分.

        圖1 Ω上10×10重心細(xì)分的三角形劃分

        設(shè)(uh,ph)為問(wèn)題(5)的解.表1,2給出了不同參數(shù)下梯度-散度穩(wěn)定化迭代法1的計(jì)算結(jié)果,表3,4分別給出了ν=0.5時(shí)梯度-散度穩(wěn)定化迭代法2及梯度-散度穩(wěn)定化迭代法3的計(jì)算結(jié)果.

        表1 ν=0.5時(shí)迭代法1的計(jì)算結(jié)果

        表2 ν=0.25時(shí)迭代法1的計(jì)算結(jié)果

        表3 ν=0.5時(shí)迭代法2的計(jì)算結(jié)果

        表4 ν=0.5時(shí)迭代法3的計(jì)算結(jié)果

        計(jì)算結(jié)果顯示,經(jīng)過(guò)一定的迭代次數(shù)后,三種梯度-散度穩(wěn)定化TH元迭代方法的解都可以很好的逼近SV混合有限元的離散解.通過(guò)增大梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng)系數(shù),我們可以得到散度趨于零的離散速度解,且系數(shù)增大并不會(huì)造成TH元離散解與SV有限元離散解的誤差增大.換句話說(shuō),通過(guò)在文獻(xiàn)[16]中的三種迭代格式上加梯度-散度穩(wěn)定項(xiàng),利用TH元我們可以得到散度趨于零的離散速度解和連續(xù)的離散壓力解.

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