王偉

[摘 ?要] 圓錐曲線是一類開放性問題，問題的突破要求學生能夠針對問題條件，結合已有知識和策略方法對其深入探究，需要學生具備扎實的基本和相應的數(shù)學思想. 文章剖析圓錐曲線問題的背景，探究兩道代表性問題的突破過程，總結相應的解題策略，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 圓錐曲線;存在性;數(shù)值;幾何;面積;平行四邊形

問題背景

圓錐曲線是高中數(shù)學的重難點內容，高考特別注重對該內容的考查. 存在性問題是其中較為特殊的一類問題，包括與代數(shù)數(shù)值相關的存在性問題和幾何元素相關的存在性問題. 該類問題一般綜合性較強，除了可以考查圓錐曲線的定義、幾何性質、位置關系外，還常常與向量、方程、不等式等內容聯(lián)合考查，因此探索性強，具有極高的難度，需要學生采用一定的解題策略來加以突破，下面對其進行深入探究.

實例探究

圓錐曲線存在性問題常作為高考壓軸題出現(xiàn)，數(shù)值類存在性問題有定值、最值等多種問題形式，而幾何元素類存在性問題有定點、定直線、定形狀等多種形式，下面結合實例加以探析.

評析：上述第（2）問探究四邊形OAPB為平行四邊形的情形，屬于圓錐曲線幾何形狀存在類問題. 求解時提煉出平行四邊形的特性，將其轉化為相應的代數(shù)條件，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，同樣結合韋達定理，通過設而不求的方式獲得了為平行四邊形時的條件，從而完成了問題的高效作答.

策略提煉

圓錐曲線存在性問題是一類較為典型的問題，具有較強的探究性. 從上述兩道題的突破過程來看，該類問題的求解具有一定的規(guī)律性，可以采用一定的策略，按照一定的流程進行，總結如下.

求解存在性問題一般采用“肯定順推法”，即將不確定的問題假設為存在，設出關鍵的元素條件（點坐標、線斜率、曲線參數(shù)等），聯(lián)立相關曲線的方程，結合問題條件構建相應的代數(shù)模型，通過設而不求的方式來完成求證.

另外，從上述兩道存在性問題的突破過程來看，可以將步驟細化為如下四步.

第一步：設出直線與曲線的交點坐標，如（x1，y1）和（x2，y2）;

第二步：聯(lián)立直線與曲線的方程，通過消x或消y的方程，獲得相應的一元方程，再由韋達定理來表示相關參數(shù)關系式;

第三步：根據(jù)假設的存在性問題提煉相應的條件，結合第二步獲得的參數(shù)關系式來構建相應的代數(shù)模型;

第四步：深入分析代數(shù)模型，推理結果，確定問題情形是否存在.

其中第三步提煉存在性問題的成立條件是問題突破的核心，也是后續(xù)構建分析模型的基礎.在提煉條件時要注意兩點：一是確保提煉條件的全面性，必要時對其進行分類討論;二是確保所提煉條件的準確性，不能將性質條件與判定條件相混淆. 這就需要學生在復習時深入挖掘圓錐曲線的關系特性，形成系統(tǒng)的知識體系.

探究思考

圓錐曲線存在性問題屬于探究性問題，從上述兩道存在性問題突破過程來看，其解題過程和方法策略具有一定的代表性，有一定的參考價值，下面提出一定的教學建議.

1. 透視信息表象，挖掘問題本質

探究存在性問題的首要條件是精準審題，包括提取關鍵信息，讀懂題意，能夠從題干信息中獲得直切問題本質的內容. 例如上述問題中直線與曲線有兩個交點，實際上就是要求所聯(lián)立的方程判別式Δ>0;給出兩直線的乘積的值，實際上就是要求學生能夠根據(jù)直線方程來建立代數(shù)模型. 基于上述要求，教師在教學時就應注重圓錐曲線問題的審題環(huán)節(jié)，引導學生逐字審題，讀懂題意，能夠發(fā)現(xiàn)題干信息中的關鍵詞，包括“有且”“僅有”“各異”等. 同時建立核心詞眼與圓錐曲線性質特征之間的關聯(lián)，實現(xiàn)條件的具體化和代數(shù)化.

2. 回顧反思總結，形成解題策略

解題的意義在于“解一題，通類題”，即通過典型問題的探究突破，從中歸納總結出類型問題的解決思路和方法策略. 例如上述兩道典型存在性問題在突破時均是采用肯定順推的方式，假設情形存在，設出關鍵參數(shù)，轉化存在性條件，聯(lián)立方程構建模型，通過設而不求細化證明. 因此在實際教學中教師不能僅開展考題的過程探究，而應將其上升到解題策略的歸納總結層面，引導學生回顧解題環(huán)節(jié)，貫通整個解題思路，深入了解問題的基本結構，思考探究過程的關鍵步驟. 同時類比同類型題目，思考問題的異同，在解法上有哪些相似之處，以及該類問題在突破時涉及哪些思想方法，幫助學生逐步形成該類問題的解題策略.