李 樾，韓 維，陳清陽(yáng)，張 勇

(1. 海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院,煙臺(tái) 264001；2. 國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

有人/無(wú)人機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)是指在信息化、網(wǎng)絡(luò)化及體系對(duì)抗環(huán)境下，有人機(jī)與無(wú)人機(jī)聯(lián)合實(shí)施攻擊的作戰(zhàn)方式[1]。該作戰(zhàn)方式是潛在的第六代穿透型戰(zhàn)機(jī)的發(fā)展方向之一[2]。美國(guó)于2015年提出“忠誠(chéng)僚機(jī)”計(jì)劃[3]，并于2017年利用有人戰(zhàn)斗機(jī)與由F-16改裝的無(wú)人機(jī)驗(yàn)證了協(xié)同系統(tǒng)對(duì)地打擊的效能，下一步計(jì)劃由五代機(jī)控制無(wú)人機(jī)執(zhí)行半自主/自主協(xié)同任務(wù)[4]。為充分發(fā)揮協(xié)同系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，提高有人駕駛平臺(tái)的安全性能和生存能力，研究協(xié)同系統(tǒng)的航跡規(guī)劃技術(shù)是十分必要的。

目前，航跡規(guī)劃從建模的方式上可分為兩種，一種是基于加速度或過載等控制量來(lái)建立微分運(yùn)動(dòng)方程，將航跡規(guī)劃作為最優(yōu)控制問題進(jìn)行研究；另一種是基于轉(zhuǎn)彎角、航段長(zhǎng)度而建立代數(shù)運(yùn)動(dòng)方程，相應(yīng)的規(guī)劃方法主要有圖搜索、樹搜索、勢(shì)場(chǎng)法等[5]。本文以前者作為建模方式，其求解思路分為直接法和間接法。直接法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為有限維參數(shù)優(yōu)化問題，用非線性規(guī)劃方法進(jìn)行求解，其缺點(diǎn)是求解精度不高；間接法則重點(diǎn)研究最優(yōu)控制問題的一階必要條件并將其轉(zhuǎn)化為哈密頓邊值問題，其缺點(diǎn)是收斂半徑較小，對(duì)初值要求較高[6]。具體而言，求解最優(yōu)控制問題的主要方法有偽譜法[7]、混合整數(shù)規(guī)劃算法[8]以及啟發(fā)式算法[9]等。其中，偽譜法在近年來(lái)較為流行，其具有良好的收斂性和較低的初值敏感度，常用的類型包括Gauss偽譜法、Legendre偽譜法和Radau偽譜法等；混合整數(shù)規(guī)劃算法常采用CPLEX軟件來(lái)求解，該軟件是由ILOG公司開發(fā)的一種優(yōu)化引擎，專門用來(lái)解決涉及線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和二階錐規(guī)劃的典型問題，其求解速度快，具有基于超線性的加速功能[10]；啟發(fā)式算法包括遺傳算法、模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蟻群算法等，當(dāng)用于多機(jī)航跡優(yōu)化時(shí)，對(duì)初始解要求較高，且規(guī)劃時(shí)間較長(zhǎng)，不易收斂，給實(shí)際工程應(yīng)用造成了不小難度。

近年來(lái)，凸優(yōu)化理論得到不斷完善，特別是在求解多維最優(yōu)控制問題方面優(yōu)勢(shì)明顯[11]，其本質(zhì)上屬于直接法的一種，主要采用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解[12]。凸優(yōu)化理論在星際軌道轉(zhuǎn)移、多智能體航跡規(guī)劃以及無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)等領(lǐng)域均有應(yīng)用。文獻(xiàn)[13]對(duì)于小天體附著多約束軌跡優(yōu)化問題，通過約束松弛、線性化、離散化過程，提出一種基于序列凸優(yōu)化的航跡優(yōu)化方法；文獻(xiàn)[14]結(jié)合某航天器的姿軌控一體化推進(jìn)系統(tǒng)配置，提出一種基于凸優(yōu)化算法的制導(dǎo)方案；文獻(xiàn)[15]以地面多機(jī)器人系統(tǒng)為研究對(duì)象，將一致性理論和序列凸規(guī)劃思想結(jié)合，研究了系統(tǒng)的協(xié)同交匯問題；文獻(xiàn)[16]以四旋翼為研究對(duì)象，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為若干二階錐規(guī)劃的子問題，并利用內(nèi)點(diǎn)法求解機(jī)體避障航跡；文獻(xiàn)[17]利用序列凸規(guī)劃思想，將非凸最優(yōu)控制問題近似為一系列凸優(yōu)化子問題，解決了多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問題。

在目前基于凸優(yōu)化理論的多機(jī)航跡規(guī)劃研究中，缺乏對(duì)異構(gòu)的固定翼集群的研究，特別是有人/無(wú)人機(jī)協(xié)同系統(tǒng)。對(duì)此，本文根據(jù)協(xié)同系統(tǒng)中有人機(jī)與無(wú)人機(jī)的任務(wù)特點(diǎn)，建立不同的航跡凸優(yōu)化模型，同時(shí)從保證有人機(jī)飛行安全的角度出發(fā)，建立有人機(jī)與無(wú)人機(jī)航跡的時(shí)空關(guān)系，并采用序列凸規(guī)劃的方法進(jìn)行求解，以確保協(xié)同系統(tǒng)能夠在復(fù)雜環(huán)境中安全、快速地抵達(dá)任務(wù)區(qū)域。

1 有人/無(wú)人機(jī)協(xié)同系統(tǒng)建模

1.1 協(xié)同系統(tǒng)的體系結(jié)構(gòu)

有人/無(wú)人機(jī)協(xié)同系統(tǒng)本質(zhì)上是異構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，有人機(jī)和各無(wú)人機(jī)均可視為其中的Agent[18]。多智能體系統(tǒng)的基本體系結(jié)構(gòu)分為分布式、集中式以及混合式三類，針對(duì)有人/無(wú)人機(jī)系統(tǒng)，一般采用兼有集中式和分布式優(yōu)點(diǎn)的混合式體系結(jié)構(gòu)[19]。

設(shè)由M架有人機(jī)與N架無(wú)人機(jī)組成協(xié)同系統(tǒng)，其中多無(wú)人機(jī)之間構(gòu)成分布式體系結(jié)構(gòu)，有人機(jī)與無(wú)人機(jī)之間構(gòu)成集中式體系結(jié)構(gòu)。該混合式結(jié)構(gòu)既可以充分發(fā)揮有人機(jī)中人的最高決策能力，又可以發(fā)揮多無(wú)人機(jī)應(yīng)對(duì)突變信息的實(shí)時(shí)調(diào)整能力。

為簡(jiǎn)化系統(tǒng)，本文取M=1，N≥2進(jìn)行研究。

1.2 協(xié)同系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型的建立

設(shè)系統(tǒng)中飛機(jī)在空中無(wú)側(cè)滑地飛行，且發(fā)動(dòng)機(jī)推力與飛行速度方向重合，則可得到三維空間中飛機(jī)的點(diǎn)質(zhì)量運(yùn)動(dòng)模型，具體如下

(1)

式中：下標(biāo)i表示系統(tǒng)中的第i架飛機(jī)，i=1,2,…,M+N； (xi,yi,hi)表示飛機(jī)i在地面坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)； (γi,χi)表示飛機(jī)i的航跡傾角和航向角；Vi表示飛機(jī)i的地速；(nx,i,ny,i,nz,i)分別表示飛機(jī)i的水平軸向過載、水平法向過載和垂直法向過載；飛機(jī)i的控制量和狀態(tài)量分別用集合ui和si表示，即ui=[nx,i,ny,i,nz,i]T及si=[xi,yi,hi,Vi,χi,γi]T。

1.3 協(xié)同系統(tǒng)控制模型的建立

在混合式體系結(jié)構(gòu)中，有人機(jī)的ui和si作為其控制系統(tǒng)的輸入，由航跡規(guī)劃器離線求出，通過飛行員的操控生成相應(yīng)地航跡，并作為輸入進(jìn)入編隊(duì)規(guī)劃器；編隊(duì)規(guī)劃器主要用于無(wú)人機(jī)編隊(duì)的航跡規(guī)劃，其充分考慮了有人機(jī)航跡的優(yōu)先性，有利于保證有人機(jī)的絕對(duì)領(lǐng)導(dǎo)；通過編隊(duì)規(guī)劃器生成的ui和si，輸入到各無(wú)人機(jī)制導(dǎo)系統(tǒng)中，并通過控制系統(tǒng)生成油門、舵面等控制量，最終利用飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)模型輸出實(shí)際飛行航跡；系統(tǒng)中導(dǎo)航系統(tǒng)的主要作用是計(jì)算飛機(jī)實(shí)際狀態(tài)量與si的偏差，并生成修正指令。協(xié)同系統(tǒng)的航跡控制框圖如圖1所示。

圖1 協(xié)同系統(tǒng)航跡控制框圖Fig.1 Block diagram of trajectory control in system

2 航跡規(guī)劃器的設(shè)計(jì)

2.1 約束條件與目標(biāo)函數(shù)

在飛行過程中，有人機(jī)應(yīng)始終滿足狀態(tài)量和控制量的幅值約束，并且控制量的變化率應(yīng)在一定的范圍內(nèi)，即

(2)

(3)

另外，防碰撞約束是航跡規(guī)劃器應(yīng)重點(diǎn)考慮的約束之一，由于文中取M=1，因此只需考慮與外部威脅的碰撞。假設(shè)在規(guī)劃空間中總共探測(cè)到M0個(gè)靜態(tài)威脅，用圓柱體近似表示，并假設(shè)其高度遠(yuǎn)大于飛機(jī)的高度幅值，則防碰撞約束可表示為下式

(4)

式中：矩陣E=[I2×2,O4×4]，pobs,m和rm分別是外部障礙的橫截面圓心坐標(biāo)和半徑。

在此基礎(chǔ)上，確定航跡規(guī)劃器的目標(biāo)函數(shù)。在協(xié)同系統(tǒng)中，有人機(jī)具有絕對(duì)領(lǐng)導(dǎo)權(quán)，其續(xù)航能力直接影響整個(gè)系統(tǒng)的作戰(zhàn)周期。因而，從增加協(xié)同系統(tǒng)作戰(zhàn)周期的角度出發(fā)，選取最小化耗能量為目標(biāo)函數(shù)，得到優(yōu)化模型為

(5)

2.2 模型凸化

利用凸優(yōu)化理論進(jìn)行求解時(shí)，要求目標(biāo)函數(shù)和不等式約束均為凸函數(shù)，等式約束為仿射函數(shù)，而式(5)中含有非線性運(yùn)動(dòng)方程和非凸的約束條件，因而需要進(jìn)行近似和凸化。

梯形法是一種求解常微分方程初值問題的常用方法，針對(duì)非線性運(yùn)動(dòng)方程，利用梯形法可得到離散化狀態(tài)量等式約束，如式(6)

si[k+1]=si[k]+Δt/2·[f(si[k],ui[k])]+

f(si[k+1],ui[k+1]),

k=0,1,…,K-1, Δt=(tf-t0)/K

(6)

式中：si[k],ui[k]分別為離散時(shí)刻tk的狀態(tài)量和控制量，K為已知的離散點(diǎn)數(shù)，且相鄰離散點(diǎn)之間用零階保持器控制，所求Δt是離散的時(shí)間步長(zhǎng)。

借鑒基準(zhǔn)軌跡的思想[11]對(duì)式(6)進(jìn)行線性化，具體表達(dá)式如下

Ak+1·si[k+1]+Ak·si[k]+Bk+1·ui[k+1]+

Bk·ui[k]+(Ck+Ck+1)·Δt+Dk+Dk+1=0,

k=0,1,…,K-1

(7)

式中：

(8)

另一方面，式(4)中非凸約束條件的離散化及凸化過程詳見文獻(xiàn)[17]。具體地，通過聯(lián)立式(7)和式(9)，可將有人機(jī)的狀態(tài)量用控制量的仿射函數(shù)表征，從而達(dá)到約束凸化的目的。

i=1,2,…,M,m=1,2,…,M0,k=1,…,K

(9)

至此，得到了航跡規(guī)劃器的凸優(yōu)化模型，如式(10)

(10)

式中:式(2)中t取各離散時(shí)刻，下文中狀態(tài)量的幅值約束均采用該方式進(jìn)行處理。求解后輸入到編隊(duì)規(guī)劃器中。

3 編隊(duì)規(guī)劃器的設(shè)計(jì)

3.1 與航跡規(guī)劃器的異同

與航跡規(guī)劃器類似，在對(duì)編隊(duì)規(guī)劃器設(shè)計(jì)時(shí)也需要考慮飛機(jī)狀態(tài)量和控制量的幅值約束以及外部防碰撞約束，具體同式(2)和式(4)。

與航跡規(guī)劃器的不同，表現(xiàn)在以下幾方面：

1)協(xié)同系統(tǒng)中的無(wú)人機(jī)與有人機(jī)的任務(wù)不同，其主要負(fù)責(zé)偵查、打擊和掩護(hù)等任務(wù)，因此其機(jī)動(dòng)性要強(qiáng)于有人機(jī)，即狀態(tài)量和控制量的幅值要大于有人機(jī)。

2)編隊(duì)規(guī)劃器所考慮的約束更多。具體包含無(wú)人機(jī)編隊(duì)內(nèi)部約束以及協(xié)同時(shí)空約束。

(1)基于前者，由于N≥2，因此需考慮無(wú)人機(jī)之間的碰撞，即應(yīng)約束任意時(shí)刻的兩架無(wú)人機(jī)的機(jī)間距離均大于設(shè)定的安全距離，具體如

(11)

式中：F=[I3×3,O3×3]，Rt是機(jī)間三維安全距離，ts和te分別表示無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃的初始時(shí)刻和終端時(shí)刻。

同時(shí)，為更好地發(fā)揮多無(wú)人機(jī)在系統(tǒng)中的優(yōu)勢(shì)，系統(tǒng)中多無(wú)人機(jī)在ts和te時(shí)刻需保持一定的編隊(duì)構(gòu)型，具體的編隊(duì)構(gòu)型約束如下

(12)

式中：Γij和ζij分別為ts和te時(shí)刻的機(jī)間相對(duì)狀態(tài)矩陣，通常從提前設(shè)定的編隊(duì)隊(duì)形庫(kù)中提取。

(2)針對(duì)協(xié)同時(shí)空約束，編隊(duì)規(guī)劃器應(yīng)考慮時(shí)序約束、終端狀態(tài)量關(guān)系約束及與有人機(jī)的防碰撞約束。

設(shè)系統(tǒng)中多無(wú)人機(jī)與有人機(jī)在同一時(shí)刻開始變換航跡，通常多無(wú)人機(jī)要先于有人機(jī)抵達(dá)任務(wù)區(qū)域進(jìn)行偵查等任務(wù)，一旦發(fā)現(xiàn)敵情可令有人機(jī)改變航跡，確保飛行員安全。因而無(wú)人機(jī)航跡的終端時(shí)刻和狀態(tài)量si(te)是非固定的，具體滿足式(13)～(14)的約束條件

(13)

(14)

式中:第一式：G=[I3×3,O3×3]，R0為一個(gè)三維空間，表示無(wú)人機(jī)i相對(duì)于有人機(jī)j所處的區(qū)域，由于多無(wú)人機(jī)滿足構(gòu)型約束(12)，因此，第一個(gè)式中i只需取1～N中的任意一值即可；第二個(gè)式中：H=[O4×4,I2×2]，表明各無(wú)人機(jī)在航跡終端的航跡角均與有人機(jī)保持一致。

與有人機(jī)的防碰撞約束與式(11)類似，其關(guān)鍵是要確定同一時(shí)刻下的三維坐標(biāo)，并進(jìn)而確定機(jī)間距，其約束如

(15)

式中：R0是有人機(jī)與無(wú)人機(jī)間的安全距離；時(shí)間t的上限為te，即默認(rèn)多無(wú)人機(jī)到達(dá)目標(biāo)區(qū)域后保持新隊(duì)形繼續(xù)飛行，在te

3)編隊(duì)規(guī)劃器的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與航跡規(guī)劃器不同。由于無(wú)人機(jī)相比有人機(jī)具有重量輕、成本低、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，因而對(duì)其到達(dá)任務(wù)區(qū)域的時(shí)間要求高于對(duì)其續(xù)航的要求，則目標(biāo)函數(shù)選取為最短到達(dá)任務(wù)區(qū)的時(shí)間。

至此，得到編隊(duì)規(guī)劃器的優(yōu)化模型

(16)

3.2 協(xié)同時(shí)空約束的凸化

與航跡規(guī)劃器的凸化過程類似，首先設(shè)定K個(gè)離散點(diǎn)，離散時(shí)間步長(zhǎng)未知，用Δt0表示，則任意離散時(shí)刻可表示為

tk=ts+k·Δt0, 0≤k≤K,ts≤tk≤te

(17)

編隊(duì)規(guī)劃器和航跡規(guī)劃器所共有的約束(2)、(7)、(9)，在此節(jié)不加贅述。另外，無(wú)人機(jī)內(nèi)部防碰撞約束(11)的凸化過程在文獻(xiàn)[16]中已詳盡推導(dǎo)，約束如

(18)

式中：第二式所含η為機(jī)間安全距離的修正系數(shù)，R是二維平面內(nèi)安全距離，通過該式的約束，可進(jìn)一步保證離散時(shí)間段內(nèi)無(wú)人機(jī)在三維空間內(nèi)的飛行安全。

本節(jié)重點(diǎn)分析協(xié)同時(shí)空約束的凸化過程。由于無(wú)人機(jī)與有人機(jī)非同時(shí)到達(dá)目標(biāo)區(qū)域，因而在凸化無(wú)人機(jī)與有人機(jī)的防碰撞約束前，應(yīng)首先確定二者所對(duì)應(yīng)的離散時(shí)刻對(duì)(kU,kM)所組成的集合。結(jié)合時(shí)序約束(13)，得到的表達(dá)式，如

1≤kU≤K, 1≤kM≤kU}

(19)

(20)

該式在幾何上的示意圖如圖2所示，si[kU]的可行域?yàn)閳D中陰影區(qū)域，其邊界垂直于有人機(jī)航跡上兩相鄰離散點(diǎn)sj[kM-1]與sj[kM]的連線，并且位于有人機(jī)前進(jìn)方向的一側(cè)，這有利于保證無(wú)人機(jī)先于有人機(jī)抵達(dá)任務(wù)區(qū)域的時(shí)序約束。另外，由于sj[kU]位于sj[kM-1]至sj[kM]之間，通過式(20)約束，可保證si[kU]至si[kM]與sj[kU]至sj[kM]無(wú)碰撞。

圖2 與有人機(jī)防碰撞約束的凸化示意圖Fig.2 Convexification of avoiding MAV constraint

除了保證離散時(shí)刻點(diǎn)的飛行安全，有人機(jī)與無(wú)人機(jī)在相鄰離散時(shí)間對(duì)內(nèi)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)域也存在碰撞可能，因此在式(20)的基礎(chǔ)上還應(yīng)進(jìn)一步約束，具體如

E·sj[kM+1])≥0,

i=1,2,…,N,j=1,2,…,M,kM≥1,

(kU,kM)∈

(21)

其原理與式(20)類似，即建立了si[kU]與sj[kM],sj[kM+1]段航跡的關(guān)系，聯(lián)立式(20)和式(21)可得到圖3的示意圖，si[kU]的可行域?yàn)閳D中可行域1與可行域2的交集，由于si[kU+1]一定位于可行域2內(nèi)，因此由凸集性質(zhì)可知無(wú)人機(jī)在離散點(diǎn)si[kU]至si[kU+1]段內(nèi)不會(huì)與有人機(jī)sj[kM]至sj[kM+1]航跡發(fā)生碰撞，從而易推出si[kM]至si[kU+1]段內(nèi)不會(huì)與sj[kM]至sj[kU+1]航跡發(fā)生碰撞，結(jié)合已分析的kU至kM時(shí)刻的航跡關(guān)系，可知有人機(jī)與無(wú)人機(jī)始終不會(huì)發(fā)生碰撞。

圖3 離散點(diǎn)間防碰撞約束凸化示意圖Fig.3 Convexification of inter-sample threat avoidance constraint

另一方面，由于無(wú)人機(jī)與有人機(jī)的終端航跡角相同，因此對(duì)于終端狀態(tài)量約束只需對(duì)位置關(guān)系約束進(jìn)行相應(yīng)地近似與凸化，以圖4中si[K]相對(duì)于sj[K]的軸向約束為例，可得到

?i∈{1,2,…,N},j=1,2…M

(22)

式中：Ri,a，Ri,b分別為有人機(jī)與編隊(duì)中無(wú)人機(jī)i所允許的最小、最大軸向距離。

縱向約束凸化過程與軸向類似，在此不加贅述，且由多個(gè)半平面相交組成的可行域仍為凸集。值得一提的是，協(xié)同時(shí)空約束的凸化與前文提到的防碰撞等約束的凸化類似，也分別是原約束條件成立的充分條件而非充要條件，會(huì)帶來(lái)一定的保守性，目前的研究中多采用序列凸規(guī)劃的方法來(lái)進(jìn)行緩解[20]。

至此，可以得到編隊(duì)規(guī)劃器的凸優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，與航跡規(guī)劃器不同，該目標(biāo)函數(shù)約束眾多，且進(jìn)行了一定程度的近似，因而易出現(xiàn)無(wú)解的情況，文獻(xiàn)[21]所用的罰函數(shù)方法，得到如下目標(biāo)函數(shù)：

(23)

式中：優(yōu)化變量Z包括集合zi及離散時(shí)間步長(zhǎng)Δt0，集合zi包含各無(wú)人機(jī)的狀態(tài)量及控制量，即

Z=[z1,z2,…,zN, Δt0]T,zi=(si[0],si[1],…,si[K],ui[0],ui[1],…,ui[K]),i=1,2,…,N

(24)

等式約束Aeq·Z=beq包含式(7)，不等式約束Ain·Z≤bin包含式(2)、(9)、(13)、(18)～(22)；μeq和μin分別為等式約束和不等式約束的比例系數(shù)。

圖4 終端位置軸向約束凸化示意圖Fig.4 Convexification of axial constraint in terminal position

4 仿真校驗(yàn)

之前的文獻(xiàn)中，已校驗(yàn)過凸優(yōu)化算法在單機(jī)和同構(gòu)的多機(jī)航跡規(guī)劃中高效且準(zhǔn)確的求解能力，因此本節(jié)針對(duì)典型隊(duì)形之間的切換問題，重點(diǎn)校驗(yàn)協(xié)同時(shí)空約束的效果。

設(shè)協(xié)同系統(tǒng)由五架(M=1，N=4)飛機(jī)組成，初始構(gòu)型為菱形護(hù)航隊(duì)形。該構(gòu)型中，有人機(jī)位于編隊(duì)中心位置，四架無(wú)人機(jī)位于其四周組成菱形，且處在同一高度。該構(gòu)型的最大優(yōu)勢(shì)是能夠保證有人機(jī)的飛行安全，當(dāng)協(xié)同系統(tǒng)面對(duì)空中來(lái)襲時(shí)，有人機(jī)能在無(wú)人機(jī)的掩護(hù)下進(jìn)行撤離，特殊情況下，無(wú)人機(jī)還可以通過“自殺”的方式為有人機(jī)爭(zhēng)取更多的逃離時(shí)間和空間。該構(gòu)型的分布如圖5所示，初始狀態(tài)量如表1所示。

終端構(gòu)型設(shè)為五邊攻擊隊(duì)形。該構(gòu)型中，有人機(jī)位于無(wú)人機(jī)后方，且高于四架無(wú)人機(jī)所在平面，五架飛機(jī)的投影組成一個(gè)五邊形，具體分布如圖6所示。該隊(duì)形主要用于執(zhí)行攻擊任務(wù)，面對(duì)敵機(jī)時(shí)，在最前方無(wú)人機(jī)的牽制下，后排無(wú)人機(jī)迅速?gòu)膬蓚?cè)加速包抄，形成對(duì)敵機(jī)的包圍，有人機(jī)在后方相對(duì)安全，并能俯瞰全局，利于進(jìn)行全局指揮。設(shè)定tf時(shí)刻，有人機(jī)狀態(tài)量s(tf)=[250,1200,150,20,π/2,0]T，無(wú)人機(jī)的相對(duì)位置矩陣ζij如表2所示，表中列出的是i=1的情況，同i值下，取Ri,a=180，Ri,b=220。

圖5 菱形隊(duì)形分布示意圖Fig.5 Distribution diagram of rhombic formation

表1 菱形隊(duì)形中各機(jī)狀態(tài)量表Table 1 State information of rhombus formation

另外，規(guī)劃空間內(nèi)隨機(jī)生成三個(gè)柱形障礙，截面圓心及半徑分別為

(25)

圖6 五邊攻擊隊(duì)形分布示意圖Fig.6 Distribution diagram of pentagon attack formation

表2 無(wú)人機(jī)相對(duì)狀態(tài)矩陣Table 2 UAV relative state matrix

有人機(jī)的參數(shù)設(shè)定如

(26)

無(wú)人機(jī)的參數(shù)設(shè)定如

i=1,2,3,4

(27)

其他參數(shù)設(shè)定如

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然后利用凸優(yōu)化工具包CVX中的MOSEK求解器對(duì)系統(tǒng)航跡進(jìn)行規(guī)劃，該求解器與SEDUMI、GUROBI及SDTP3等求解器相比，更適合求解優(yōu)化變量較多的問題，且效率更高。同時(shí)，為減少初始預(yù)測(cè)的基準(zhǔn)航跡對(duì)模型求解帶來(lái)的誤差影響，也為降低約束帶來(lái)的保守性，本文采取序列凸規(guī)劃[17]的思想進(jìn)行迭代求解，其參數(shù)設(shè)定與文獻(xiàn)[17]保持一致。

為校驗(yàn)協(xié)同時(shí)空約束的效果，首先對(duì)式(10)進(jìn)行求解，并將得出的有人機(jī)航跡輸入到編隊(duì)規(guī)劃器中；其次對(duì)完整的編隊(duì)規(guī)劃器模型(23)進(jìn)行求解，得到Zc；之后，將Zc中的si[K]作為固定的已知量輸入到模型(23)，并求解未加約束(19)～(22)的模型(23)，得到Zs。仿真對(duì)比結(jié)果如表3及圖7～圖11所示。其仿真平臺(tái)為Matlab2013a，計(jì)算機(jī)配置為Intel酷睿i7處理器，主頻3.60 GHz，內(nèi)存32 G，64位win7操作系統(tǒng)。

表3 有無(wú)協(xié)同時(shí)空約束的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 3 Results of with or without synergetic spatial-temporal constraints

圖7 協(xié)同時(shí)空約束效果對(duì)比圖Fig.7 Comparison between with or without synergetic spatial-temporal constraints

圖8 多無(wú)人機(jī)內(nèi)部最小間距對(duì)比圖Fig.8 History of minimum distance of UAVs

圖9 無(wú)人機(jī)與有人機(jī)最小間距對(duì)比圖Fig.9 History of minimum distance between UAVs and MAV

圖10 水平法向過載對(duì)比圖Fig.10 History of horizontal normal overload

圖11 水平軸向過載對(duì)比圖Fig.11 History of horizontal axial overload

結(jié)果中沒有單獨(dú)列出有人機(jī)的優(yōu)化結(jié)果，在K=20的情況下，其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值僅為22.54，說(shuō)明其只在必要時(shí)刻實(shí)施機(jī)動(dòng)，能達(dá)到減少耗能的目的，具體航跡詳如圖7所示，從該圖中還可以看出協(xié)同系統(tǒng)在有/無(wú)協(xié)同時(shí)空約束時(shí)，均可實(shí)現(xiàn)從初始菱形護(hù)航隊(duì)形到五邊形攻擊隊(duì)形的變換，且與外部障礙無(wú)碰撞，不同的是，由表3可知，無(wú)協(xié)同約束時(shí)所求Δt0小于有協(xié)同約束時(shí)的Δt0，兩者在終端時(shí)刻的離散時(shí)間對(duì)分別為(20,11)及(20,17)，有人機(jī)在無(wú)人機(jī)形成新隊(duì)形后的航跡在圖7中用帶五角星的虛線進(jìn)行區(qū)分；從圖8中可看出，在有/無(wú)協(xié)同時(shí)空約束下，同時(shí)刻的無(wú)人機(jī)機(jī)間距離均大于安全距離，即不會(huì)發(fā)生碰撞；由圖9可知，在不同離散時(shí)刻，添加協(xié)同時(shí)空約束后的無(wú)人機(jī)與有人機(jī)的最小間距始終在80 m以上，而未添加該約束時(shí)，在前7個(gè)離散時(shí)刻，機(jī)間距均小于80 m，甚至出現(xiàn)過只有34.2 m的情況，在第7個(gè)離散點(diǎn)之后，無(wú)人機(jī)迅速接近目標(biāo)區(qū)域，離散時(shí)間對(duì)的差不斷增大，導(dǎo)致最小機(jī)間距不斷增大；從圖10～11可看出，各無(wú)人機(jī)過載均在幅值范圍內(nèi)，但由圖11可看出，添加協(xié)同時(shí)空約束的情況下，四架無(wú)人機(jī)初始的水平軸向過載均在最大值附近，其原因是無(wú)人機(jī)通過迅速加速的方式以減少約束(20)～(21)帶來(lái)的罰函數(shù)項(xiàng)，特別是無(wú)人機(jī)1和無(wú)人機(jī)4，其位置坐標(biāo)沿初始航向落后于有人機(jī)，因而其最大水平軸向過載維持的時(shí)間更長(zhǎng)，但在最大過載的約束下，仍無(wú)法完全消除該罰函數(shù)項(xiàng)，同時(shí)各機(jī)的水平法向過載也因幅值的約束而存在類似的情況，這也解釋了表3中有協(xié)同時(shí)空約束時(shí)目標(biāo)函數(shù)值偏大的原因。

綜上，添加時(shí)序約束和與有人機(jī)防碰撞約束可進(jìn)一步保證協(xié)同系統(tǒng)的飛行安全，但會(huì)相應(yīng)地犧牲無(wú)人機(jī)到達(dá)任務(wù)區(qū)域的時(shí)間；通過將終端位置約束由固定點(diǎn)改為約束區(qū)域，能為系統(tǒng)的航跡規(guī)劃提供更多地可能，且求解耗時(shí)相近，未降低求解效率。因而，協(xié)同時(shí)空約束的添加對(duì)系統(tǒng)航跡規(guī)劃是十分必要的。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)凸優(yōu)化理論，對(duì)有人/無(wú)人機(jī)協(xié)同系統(tǒng)的航跡規(guī)劃進(jìn)行了研究。得到如下結(jié)論：

1) 給出了協(xié)同系統(tǒng)航跡控制的框架，并根據(jù)有人機(jī)與無(wú)人機(jī)任務(wù)特點(diǎn)的不同，分別設(shè)計(jì)航跡規(guī)劃器和編隊(duì)規(guī)劃器；選取最小耗能量和最短時(shí)間到達(dá)任務(wù)區(qū)域?yàn)楦髯缘哪繕?biāo)函數(shù)。

2) 相比航跡規(guī)劃器，編隊(duì)規(guī)劃器的約束更為復(fù)雜；添加協(xié)同時(shí)空約束，能有效保證系統(tǒng)的飛行安全，為系統(tǒng)的航跡規(guī)劃和隊(duì)形變換提供更多地可能。

3) 近似和凸化后的優(yōu)化模型，可采用凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解，并通過具體的數(shù)值仿真驗(yàn)證了其有效性。

當(dāng)協(xié)同系統(tǒng)的組成更為復(fù)雜，特別是有人機(jī)與無(wú)人機(jī)數(shù)量明顯增加時(shí)，考慮集群互補(bǔ)，集群毀傷之后的重組與重構(gòu)并構(gòu)建更為復(fù)雜的外部環(huán)境模型是下一步值得研究的內(nèi)容。