劉田禾，安 昊，王常虹

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001)

0 引 言

高超聲速飛行器主要指飛行速度馬赫數(shù)在5以上的飛行器。該類飛行器具有飛行速度快、飛行空域廣、作戰(zhàn)距離長(zhǎng)等特點(diǎn)，自問世以來就得到了各個(gè)航空航天大國(guó)的重視[1]。隨著電子技術(shù)、超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)、復(fù)合材料學(xué)等高新科技相繼取得重大突破，高超聲速飛行器的制導(dǎo)控制、氣動(dòng)布局、熱防護(hù)等關(guān)鍵技術(shù)的研究也有了長(zhǎng)足的進(jìn)展[2]。根據(jù)所使用的動(dòng)力系統(tǒng)不同，高超聲速飛行器主要分為火箭助推式和吸氣式。其中，吸氣式高超聲速飛行器主要依靠超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為動(dòng)力，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、維護(hù)方便、有效載荷高等優(yōu)點(diǎn)，是目前國(guó)內(nèi)外的研究重點(diǎn)[3]。

高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)特性帶有的強(qiáng)非線性、飛行器模型中存在的不確定參數(shù)以及飛行過程中需要滿足苛刻的工作條件均為高超聲速飛行器控制帶來了非常大的挑戰(zhàn)[4-5]。眾多研究人員致力于研究高超聲速飛行器的建模及控制問題，并嘗試了包括反步法[6-7]、自適應(yīng)控制[8]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[9-10]、模糊控制[11-12]等眾多控制方法。在諸多控制方法當(dāng)中，反饋線性化由于先期研究成果較為豐富、設(shè)計(jì)流程簡(jiǎn)單而受到眾多學(xué)者的青睞[13-15]。然而，由于一般的反饋線性化控制方法需要滿足線性化條件，使得高超聲速飛行器在進(jìn)行大幅度機(jī)動(dòng)時(shí)容易造成模型失真，且使用Lie導(dǎo)數(shù)求取需要大量的運(yùn)算，難以保證系統(tǒng)實(shí)時(shí)性，使得實(shí)際工程上難以直接實(shí)現(xiàn)。切換系統(tǒng)通過在多個(gè)子系統(tǒng)模型之間進(jìn)行切換的方式為復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制問題提供了簡(jiǎn)單而有效的解決方案。本文提出一種基于切換系統(tǒng)的高超聲速飛行器建模方法。通過將高超聲速飛行器的飛行包線進(jìn)行分區(qū)，為各個(gè)區(qū)域建立獨(dú)立的系統(tǒng)模型，使得飛行器在單個(gè)區(qū)域內(nèi)機(jī)動(dòng)時(shí)的模型參數(shù)變化可以忽略。當(dāng)飛行器需要進(jìn)行大范圍機(jī)動(dòng)時(shí)，可通過在不同區(qū)域之間切換的方式，自主選取對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)模型，降低模型失真所帶來的影響。

在建立高超聲速飛行器切換系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步提升飛行控制器性能，可為不同的子系統(tǒng)單獨(dú)設(shè)計(jì)控制器。其優(yōu)勢(shì)在于可以進(jìn)一步細(xì)化各控制器對(duì)應(yīng)的飛行空域，提升控制效率。然而，在系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行切換時(shí)，可能會(huì)遇到信號(hào)傳輸時(shí)滯等問題，使得控制器的切換滯后于系統(tǒng)模態(tài)的切換，通常稱這種現(xiàn)象為異步切換。異步切換會(huì)使得本應(yīng)單調(diào)遞減的Lyapunov函數(shù)出現(xiàn)上升的可能，進(jìn)而影響切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，在設(shè)計(jì)切換控制器時(shí)，還有必要將異步切換的影響納入考慮。此外，切換信號(hào)的選擇同樣是切換系統(tǒng)控制的一部分。通過適當(dāng)?shù)剡x擇切換信號(hào)，能夠?qū)ψ酉到y(tǒng)模態(tài)的切換進(jìn)行正確的描述，有助于控制器的設(shè)計(jì)以及系統(tǒng)穩(wěn)定性的保障。駐留時(shí)間信號(hào)(Dwell time, DT)和平均駐留時(shí)間信號(hào)(Average dwell-time,ADT)作為兩類常見的切換信號(hào)而受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，也在眾多工程問題上得到了應(yīng)用[16-18]。然而，對(duì)于具有復(fù)雜動(dòng)態(tài)模型的高超聲速飛行器而言，盡管DT和ADT信號(hào)能夠?qū)Χ鄶?shù)情況下的飛行器飛行狀態(tài)進(jìn)行描述，但在飛行器進(jìn)行復(fù)雜機(jī)動(dòng)等極端情況下，飛行器的系統(tǒng)模態(tài)切換頻率可能會(huì)超出該類切換信號(hào)所允許的極限。為了更精確地對(duì)高超聲速飛行器的飛行過程進(jìn)行描述，并確?？刂破髂軌蚴冀K保持有效，本文所考慮的切換信號(hào)為持續(xù)駐留時(shí)間(Persistent dwell-time,PDT)信號(hào)。該類切換信號(hào)由子系統(tǒng)模態(tài)不可切換的τ部和子系統(tǒng)模態(tài)可任意切換的T部構(gòu)成。通過適當(dāng)調(diào)整兩者的長(zhǎng)度，PDT可涵蓋包括DT、ADT、隨機(jī)切換等多種切換信號(hào)。因此PDT具有更強(qiáng)的一般性及對(duì)快速切換的描述能力。然而，由于PDT信號(hào)較為復(fù)雜，目前對(duì)該類信號(hào)的研究相對(duì)較少[19]。

另一方面，高超聲速飛行器由于自身物理特性的限制使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出幅值不能無限增大，在執(zhí)行飛行任務(wù)中可能會(huì)受到執(zhí)行器飽和的影響[20]。例如，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)燃流量存在限制；鴨翼、升降舵等偏角無法任意轉(zhuǎn)動(dòng)等。因此，在設(shè)計(jì)控制器的同時(shí)還需要考慮執(zhí)行器飽和的問題，以避免由于控制器的控制量與被控對(duì)象的執(zhí)行程度不匹配而造成系統(tǒng)性能退化甚至不穩(wěn)定[21]。目前，對(duì)飽和非線性的處理方法主要分為兩種：?jiǎn)尾椒ê蛢刹椒?。其中，單步法的特點(diǎn)在于不回避飽和環(huán)節(jié)，根據(jù)系統(tǒng)性能需求從底層設(shè)計(jì)控制器。盡管單步法從原理上可行，但存在著一些問題：1)在線性區(qū)域內(nèi)(即執(zhí)行器未發(fā)生飽和時(shí))，系統(tǒng)性能會(huì)受到一定影響；2)在一些帶有約束的系統(tǒng)中，該方法的控制器保守性較高，缺乏實(shí)用性[22]。相對(duì)而言，兩步法的思路更為直觀：首先不考慮飽和約束，直接為系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，然后通過加入抗飽和補(bǔ)償器處理飽和約束。本文針對(duì)高超聲速飛行器的切換系統(tǒng)模型，以線性矩陣不等式的形式給出了一類抗飽和切換控制器的設(shè)計(jì)方法，使得受到飽和非線性約束的切換系統(tǒng)能夠在特定切換信號(hào)的作用下保持全局一致漸近穩(wěn)定性。

本文主要研究了高超聲速飛行器的抗飽和切換控制問題。首先使用Jacobin矩陣的方式，將高超聲速飛行器模型線性化，并將飛行包線分區(qū)以建立切換系統(tǒng)模型。在該模型的基礎(chǔ)上，為高超聲速飛行器設(shè)計(jì)了抗飽和切換控制器。

1 高超聲速飛行器的面向控制的切換系統(tǒng)模型

1.1 高超聲速飛行器的剛體動(dòng)力學(xué)模型

吸氣式高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)模型非常復(fù)雜。本文采用目前較為常見的高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型[23-24]，其具體表達(dá)式如下

(1)

式中：V為飛行器速度；h為飛行高度；α,θ和Q分別為攻角、俯仰角和俯仰角速率；T,D和L分別是推力、阻力和升力；Myy為俯仰力矩；Iyy為俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m和g為質(zhì)量和重力加速度。

式(1)中的推力、阻力、升力和俯仰力矩可通過下式進(jìn)行擬合

(2)

為了進(jìn)一步模擬發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的燃燒過程，引入二階動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)如下

(3)

式中：Φc為發(fā)動(dòng)機(jī)的控制輸入；ξΦ和ωΦ均為二階動(dòng)態(tài)中的常數(shù)，且有0<ξΦ<1，ωΦ>0。則式(1)可改寫如下

(4)

經(jīng)過上述變換，可以得到高超聲速飛行器的剛體動(dòng)力學(xué)模型。顯然地，該模型具有很強(qiáng)的非線性以及系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入間的耦合，難以直接用于控制器設(shè)計(jì)，因此需要對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。根據(jù)式(4)，可以寫出非線性控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式如下

(5)

式中：系統(tǒng)狀態(tài)變量為x=[V,h,α,θ,Q,Φ,Ψ]T，控制輸入為u=[Φc,δe,δc]T；dl為擾動(dòng)；系統(tǒng)輸出為y(t)=[V-Vref,h-href]T，其中，Vref和href分別為速度和高度的參考軌跡。

令xeq=[Veq,heq,αeq,θeq,Qeq,Φeq,Ψeq]T，定義xδ?x-xeq，使用Jacobin矩陣線性化的方式得線性系統(tǒng)模型如下

(6)

式中：

1.2 高超聲速飛行器的切換系統(tǒng)模型

由于高超聲速飛行器的高度、速度、動(dòng)壓的變化均呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性函數(shù)關(guān)系，且高超聲速飛行器的飛行運(yùn)動(dòng)通道之間存在著強(qiáng)耦合特性，導(dǎo)致其飛行過程中的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)不僅與飛行器高度和速度的變化相關(guān)，還呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性變化特點(diǎn)[27]。這使得以動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)的控制方法很難在高超聲速飛行器進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)始終保持穩(wěn)定。為提升系統(tǒng)模型精度并使動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)的控制方法能夠得到良好的應(yīng)用，本節(jié)提出一種根據(jù)飛行器飛行包線分區(qū)并分別建模的高超聲速飛行器切換系統(tǒng)模型。

圖1是高超聲速飛行器的飛行包線示例?？梢钥吹?，根據(jù)飛行器動(dòng)壓和速度將飛行包線分割成了九個(gè)區(qū)域，其具體劃分方式可參見表1。根據(jù)劃分方式可以得到切換律如下

σ(t)=i， (V,h)∈Ai

(7)

值得一提的是，盡管根據(jù)飛行器的速度和高度進(jìn)行包線分割更為直觀，但是動(dòng)壓的計(jì)算方式并非根據(jù)飛行速度和高度進(jìn)行線性變化，因此這種分區(qū)方式會(huì)使得單一工作區(qū)內(nèi)的動(dòng)壓存在巨大變化。飛行器動(dòng)壓可根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算[28]

(8)

式中：ρ0=0.03514 kg/m3，h0=25908 m，hs=6510 m。

結(jié)合式(7)中的切換信號(hào)，可以得到高超聲速飛行器面向控制的切換系統(tǒng)模型如下

(9)

圖1 飛行包線示意圖Fig.1 Illustration of flight envelope

表1 飛行包線分區(qū)方式Table 1 Partition of flight envelope

本文中切換系統(tǒng)(9)的切換序列假定未知，但可以實(shí)時(shí)獲得，其切換規(guī)律受到PDT切換信號(hào)的約束，其定義如下

定義1[29].考慮切換信號(hào)σ和切換時(shí)刻k0，k1，…，其中k0=0。若存在無限多個(gè)長(zhǎng)度不小于τ的不相交區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)σ為常值，并且?guī)в性撔再|(zhì)的兩個(gè)相鄰區(qū)間間隔不超過TP，則稱τ為持續(xù)駐留時(shí)間，稱TP為持續(xù)周期。

在給出高超聲速飛行器抗飽和切換控制器的設(shè)計(jì)方法之前，首先給出如下引理:

(10)

(11)

Vi(x(t))≤μVj(x(t)), ?i≠j

(12)

若PDT信號(hào)滿足

(13)

2 高超聲速飛行器抗飽和切換控制器設(shè)計(jì)

高超聲速飛行器在實(shí)際飛行過程中不可避免地會(huì)遇到執(zhí)行器飽和的問題。因此，設(shè)計(jì)的飛行控制器需要帶有一定的抗飽和機(jī)制。本節(jié)將針對(duì)高超聲速飛行器建立帶有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)模型，并給出抗飽和控制器的設(shè)計(jì)方法。

2.1 帶有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)模型

考慮一類帶有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)

(14)

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)；uσ(t)為控制輸入；y為系統(tǒng)輸出；σ(t)=i為切換信號(hào)。sat(ui(t))為受到執(zhí)行器飽和約束的控制輸入，其元素uk可由下式給出

(15)

令σ(t)=i，σ(t-τd)=j，則帶有異步時(shí)滯的無約束切換控制器可由下式給出

(16)

式中：xc為控制器狀態(tài)；yc,j為控制器輸出(無執(zhí)行器飽和時(shí)等價(jià)于系統(tǒng)控制輸入)；Ac,j，Bc,j，Cc,j，Dc,j為具有適當(dāng)維數(shù)的控制器矩陣。這里假定該控制器已經(jīng)設(shè)計(jì)完畢，并且當(dāng)系統(tǒng)不受到執(zhí)行器飽和約束時(shí)，該控制器可以良好地鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

為了對(duì)執(zhí)行器飽和帶來的負(fù)面效果進(jìn)行補(bǔ)償，考慮一類具有如下形式的抗飽和補(bǔ)償器

(17)

經(jīng)過抗飽和補(bǔ)償?shù)目刂破鞯男问饺缦?/p>

(18)

(19)

式中：

2.2 抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

本節(jié)將針對(duì)帶有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)(14)，給出形如式(17)的抗飽和補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)(19)是全局一致漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)文獻(xiàn)[31]，飽和控制輸入滿足如下扇形條件

(20)

式中：Wi為正定對(duì)角矩陣。根據(jù)式(17)及φi的定義可知，當(dāng)ui處于飽和非線性區(qū)時(shí)，φi與φi+ui的符號(hào)相反；當(dāng)ui處于非飽和線性區(qū)時(shí)，φi=0。因此扇形條件(20)必然成立。

下面給出抗飽和切換補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法。

定理1.考慮帶有執(zhí)行器飽和的切換系統(tǒng)(14)，令α>0，β>0，μ>1為已知常數(shù)。對(duì)于預(yù)先給定的持續(xù)周期TP，若存在正定矩陣Si，正定對(duì)角矩陣Mi，矩陣Zi，使得?σ(t)=i，σ(t-τd)=j，i≠j，下列不等式成立

(21)

(22)

Sj-μSi≤0

(23)

式中：“*”為對(duì)應(yīng)的矩陣模塊的轉(zhuǎn)置。

(24)

證.式(21)可分解為如下形式

(25)

(26)

(27)

令Lyapunov函數(shù)具有如下形式

Vi(ε)=εTPiε, ?i∈

(28)

則式(27)可改寫為

(29)

同理，當(dāng)式(22)成立時(shí)，可得

(30)

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)將通過仿真算例來對(duì)文中提出的抗飽和控制器的有效性進(jìn)行校驗(yàn)。高超聲速飛行器的初始狀態(tài)如表2所示。首先根據(jù)表1中給出的分區(qū)方式，選取各區(qū)域中心點(diǎn)為平衡點(diǎn)，則可以得到形如式(11)的切換系統(tǒng)模型。飛行器的機(jī)動(dòng)方式由下式給出高超聲速飛行器系統(tǒng)參數(shù)的選取可參考文獻(xiàn)[21]。其他系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)給定如下：α=0.83，β=1.12，μ=1.24，采樣周期Ts=0.1 s，持續(xù)周期TP=10 s，最大異步時(shí)滯τdmax=0.2 s，切換次數(shù)上限Qmax=10次。

(31)

表2 高超聲速飛行器初始狀態(tài)Table 2 Initial state of hypersonic vehicle

為驗(yàn)證切換控制方法的有效性和優(yōu)越性，首先對(duì)比切換控制器和一般非切換控制器的跟蹤效果。采用文獻(xiàn)[32]中的方法為各子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器，并使用定理1設(shè)計(jì)抗飽和補(bǔ)償器來對(duì)控制輸入的飽和非線性進(jìn)行補(bǔ)償。通過對(duì)比使用多個(gè)子系統(tǒng)切換和僅使用單個(gè)子系統(tǒng)(本文使用A5對(duì)應(yīng)的控制器)之間的跟蹤效果，可以得到圖2～圖4中給出的仿真結(jié)果。從圖2可以看出，切換控制器作用下的高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡與參考軌跡基本相符，而由非切換控制器得到的飛行軌跡則與參考軌跡之間存在著明顯差距?？梢娗袚Q控制器的跟蹤效果要優(yōu)于一般的非切換控制器。

圖3和圖4進(jìn)一步給出了飛行速度誤差和飛行高度誤差的變化曲線?？梢钥闯觯袚Q控制器的速度誤差在15 m/s左右，最大高度誤差不超過150 m，而非切換控制器的速度誤差可達(dá)120 m/s，最大高度誤差超過760 m，兩者之間的差距較為明顯。造成兩種跟蹤控制器的跟蹤誤差差異明顯的主要原因在于非切換控制器的系統(tǒng)模型中僅存在單一的平衡點(diǎn)，因此在高超聲速飛行器跨越較大幅度的空域進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，其系統(tǒng)模型參數(shù)的變化較大，模型失真較為明顯，進(jìn)而導(dǎo)致跟蹤誤差明顯增大。

圖2 飛行軌跡對(duì)比Fig.2 Comparison between flight trajectories

此外，切換控制器可將攻角的變化幅度限制在1°以內(nèi)，而非切換控制器作用下的攻角變化幅度則相對(duì)較大。由于高超飛行器飛行過程中需要避免攻角過大引起的飛行器失速，可見切換控制器的效果要優(yōu)于非切換控制器。由于篇幅所限，在此省略攻角的變化曲線圖。

圖3 飛行速度誤差Fig.3 Flight velocity error

圖4 飛行高度誤差Fig.4 Flight altitude error

下面將對(duì)抗飽和補(bǔ)償器的有效性進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。圖5給出了是否帶有抗飽和補(bǔ)償器對(duì)飛行軌跡影響的對(duì)比圖?？梢钥闯?，帶有抗飽和補(bǔ)償?shù)目刂破骺梢粤己玫馗檯⒖架壽E。相對(duì)地，當(dāng)失去抗飽和補(bǔ)償時(shí)，飛行器無法跟蹤參考軌跡且飛行軌跡超出既定的飛行包線。顯然地，抗飽和補(bǔ)償器是有效且必要的。

圖5 是否帶有抗飽和補(bǔ)償器的飛行軌跡對(duì)比Fig.5 Trajectory with and without anti-windup compensator

4 結(jié) 論

本文主要研究了高超聲速飛行器的抗飽和切換控制問題。首先通過對(duì)飛行包線劃分區(qū)域并選取多個(gè)平衡點(diǎn)的方式，建立了高超聲速飛行器切換系統(tǒng)模型。在該切換系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，以線性矩陣不等式的形式給出了高超聲速飛行器抗飽和補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)方法，使得高超聲速飛行器能夠在受到執(zhí)行飽和約束時(shí)進(jìn)行較為復(fù)雜的機(jī)動(dòng)，并能夠保持系統(tǒng)的全局一致漸近穩(wěn)定性。最后，通過仿真算例對(duì)比了切換系統(tǒng)模型和一般控制系統(tǒng)模型之間的差異，校驗(yàn)了切換系統(tǒng)模型的優(yōu)越性以及抗飽和補(bǔ)償器的有效性。